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高二数学线性回归方程教案

高二数学线性回归方程教案


线性回归方程

【目标引领】 1.学习目标:
了解非确定性关系中两个变量的统计方法; 掌握散点图的画法及在统计中的作用, 掌握 回归直线方程的求解方法。

2.学法指导:
①求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方 程才有实标意义.否则,求出的回归直线方程毫无意义.因此,对一组数据作线性回归分 析时,应先看其散点图是否成线性. ②求回归直线方程,关键在于正确地求出系数 a、b,由于求 a、b 的计算量较大,计 算时仔细谨慎、分层进行,避免因计算产生失误. ③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用. 应用回归直线方程可以把非确定 性问题转化成确定性问题,把“无序”变为“有序”,并对情况进行估测、补充.因此, 学过回归直线方程以后,应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.

【教师在线】 1.解析视屏:
1.相关关系的概念 在实际问题中,变量之间的常见关系有两类: 一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积 S 与其 边长 x 之间的函数关系 S ? x 2 (确定关系); 一类是相关关系,变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达。例如一块农田 的水稻产量与施肥量的关系(非确定关系) 相关关系:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系 叫做相关关系。 相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的关系。 不同点:函数关系是一种确定关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变 量与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与 随机变量的关系。 2.求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征,发现各点大致分布在一条直线的附近,思考:类似图中的直线可 画几条? 引导学生分析,最能代表变量 x 与 y 之间关系的直线的特征:即 n 个偏差的平方和最 小,其过程简要分析如下:

? ? bx ? a ,其中 a、b 是待定系数。 设所求的直线方程为 y

?i ? bxi ? a (i ? 1, 2, ? ? ??, n) ,于是得到各个偏差。 则y ??y ?i ? yi ? (bxi ? a ), (i ? 1, 2,...n) y

??y ?i 的符号有正负,若将它们相加会造成相互抵消,所以它们的和不能 显见,偏差 y
代表几个点与相应直线在整体上的接近程度,故采用 n 个偏差的平方和

Q ? ( y1 ? bx1 ? x) 2 ? ( y2 ? bx2 ? a ) 2 ? .... ? ( yn ? bxn ? a ) 2
表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度。 记Q ?

?(y
i ?1

n

2

i

? bxi ? a ) 。

上述式子展开后,是一个关于 a,b 的二次多项式,应用配方法,可求出使 Q 为最小 值时的 a,b 的值,即
n ? x i y i ? nxy ? i ?1 ? ?b ? n ? 2 x i ? nx 2 ? i ?1 ? ? a ? y ? bx ?

?

?

其中 x ?

1 n 1 n x , y ? ? i ? yi n i ?1 n i ?1

以上方法称为最小二乘法。

2.经典回放:
例 1:下列各组变量哪个是函数关系,哪个是相关关系? (1)电压 U 与电流 I (2)圆面积 S 与半径 R (3)自由落体运动中位移 s 与时间 t (4)粮食产量与施肥量 (5)人的身高与体重 (6)广告费支出与商品销售额 分析:函数关系是一种确定关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变量 与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与随 机变量的关系。 解:前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化,两者之间是函数关系。 对于粮食与施肥量,两者确实有非常密切的关系,实践证明,在一定的范围内,施肥 量越多,粮食产量就越高,但是,施肥量并不能完全确定粮食产量,因为粮食产量还与其 他因素的影响有关,如降雨量、田间管理水平等。因此,粮食与施肥量之间不存在确定的 函数关系。 人的身高与人的体重也密切相关,一般来说,一个人的身高越高,体重也越重,但同 样身高的人,其体重不一定相同,身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。 广告费支出与商品销售额有密切的关系,但广告费的支出不能完全决定商品的销售 额。由此可见,后三小题各对变量之间的关系是相关关系。 点评:不要认为两个变量间除了函数关系,就是相关关系,事实是上,两个变量间 可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。 例 2:已知 10 只狗的血球体积及红血球的测量值如下:

x y

4 5 2

4 6

4 8

4 2

4 5

3 8

5 0

4 9 6 .20

3 0 6 .55

5 7 .72

6 6 9 7 6 5 9 .53 .30 .25 .50 .99 .90 .49 x(血球体积,mm),y(血红球数,百万) (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。 解:(1)见下图

y
10

5

30

35

40

45

50

55

x

(2) x ?

1 (45 ? 42 ? 46 ? 48 ? 42 ? 35 ? 58 ? 40 ? 39 ? 50) ? 45.50 10

y?

1 (6.53 ? 6.30 ? 9.52 ? 7.50 ? 6.99 ? 5.90 ? 9.49 ? 6.20 ? 6.55 ? 8.72) ? 7.37 10

? ? bx ? a , 设回归直线为 y

则a ?

?x y
i i ?1 n

n

i

? nxy ? 0.176 , b ? y ? ax ? ?0.64 ? nx
2

?x
i ?1

2 i

? ? 0.176 x ? 0.64 ,图形如下: 所以所求回归直线的方程为 y

y
10

5

30

35

40

45

50

55

x

点评:对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再 依系数 a、b 的计算公式,算出 a、b.由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段, 认真细致,谨防计算中产生错误.求线性回归方程的步骤:计算平均数 x , y ;计算 xi 与y i 的积,求 程。

?x y
i

i

;计算

?x

2 i

;将结果代入公式求a;用 b ? y ? ax 求b;写出回归方

【同步训练】
1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 2.某市纺织工人的月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为 y=50+80x,则 下列说法中正确的是 ( ) A.劳动生产率为 1000 元时,月工资为 130 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,月工资提高约为 130 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,月工资提高约为 80 元 D.月工资为 210 元时,劳动生产率为 2000 元 3.设有一个回归方程为 y=2-1.5x,则变量 x 每增加一个单位时,y 平均 ( ) A.增加 1.5 单位 B.增加 2 单位 C.减少 1.5 单位 D.减少 2 单位 4.正常情况下,年龄在 18 岁到 38 岁的人们,体重 y(kg)依身高 x(cm)的回归方程为 y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦,身高 1 米 78,他的体重应在 kg 左右。 5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 施化肥 15 20 25 30 35 40 45 量x 水稻产 33 34 36 40 44 45 45 量y 0 5 5 5 5 0 5 (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 【拓展尝新】 6. 在某种产品表面进行腐蚀线试验, 得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间对应的一组数 据: 时间 5 t(s) 深度 6 y(μ m) (1)画出散点图; (2)试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程。 0 0 3 6 7 9 3 5 9 6 0 1 5 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 20 4 1 1 2 3 4 5 6 7 9 1

【解答】
1. D 2.C 3.C 4.69.66 5.解:(1)散点图(略). (2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格 i 1 2 3 xi yi xi yi 0 49 50 15 33 5 69 00 20 34 5 91 25 25 36 5 12 150

4 30 40 5

5 35 44 0 15 575

6 40 45 5 18 000

7 45 45 20 475

x ? 30, y ? 399.3 ,

?x
i ?1

7

2 i

? 7000,? yi2 ? 1132725, ? xi yi ? 87175
i ?1 i ?1

7

7

87175 ? 7 ? 30 ? 399.3 ? ? 4.75 ?b ? 故可得到 ? 。 7000 ? 7 ? 30 2 ?a ? 399.3 ? 4.75 ? 30 ? 257 ?

6.解:(1)散点图略,呈直线形. (2)经计算可得: t ? 46.36, y ? 19.45

?
i ?1

11

t i2 ? 36750,

?
i ?1

11

y i2 ? 5442,

?t
i ?1

11

i

y i ? 13910

? 13910 ? 11 ? 46.36 ? 19.45 ? 0.3 ?b ? 36750 ? 11 ? 46.36 2 ? ?a ? 19.45 ? 0.3 ? 46.36 ? 5.542 ?

^ ? 0.3t ? 5.542 。 故所求的回归直线方程为 y



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