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高中数学全程复习方略第一章 常用逻辑用语 章末总结 阶段复习课(共40张PPT)

高中数学全程复习方略第一章 常用逻辑用语  章末总结 阶段复习课(共40张PPT)


第一章 章末总结/阶段复习课

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对所学知识及时总结,将其构建成知识网络,既有助于整 体把握知识结构,又利于加深对知识间内在联系的理解。下面 是本阶段的知识结构图,请要求学生从后面的备选答案中选择 准确内容,填在框图中的相应位置。

C

A D M S N
【 备选答 案】A.互为逆 否命题 B.p与﹁p真假性 相反C.互逆命 题 D.互逆命 题真假 性没有 关系 E.全称量 词F.p与q中有一个为 真 ,则p∨q为真 G.全称命 题的否 定是特 称命题 , 特 称命题 的否定 是全称 命题 H.特称命 题 L.p与q中有一个 为假, 则p∧q为 假 M.互为否 命题之 间真假 性没有 关 系 N.p是q的充分条 件,q是p的必 要 条件 K.p与q互为充要 条件 S.互为逆 否命题 真假性 相同

K L F B E G H

四种命题及关系

【技法点拨】
1.四种命题的写法

(1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,
则q”的形式后再进行转换. (2)分清命题的条件和结论,然后进行互换和否定,即可得 到原命题的逆命题、否命题和逆否命题.

2.四种命题真假的判断方法 因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只 需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.

【典例1】a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大

的,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c的年龄不是最小的,
那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄的大小顺序

是否能确定?请说明理由.
【解析】能确定.理由如下: 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否 命题来考虑.

①由命题A为真可知,当b不是最大时,则a是最小的,即若c最
大,则a最小,所以c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“a不 是最小,则b是最大”为真,所以b>a>c.总之由命题A为真可知: c>b>a或b>a>c. ②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c. 从而可知,b>a>c. 所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小.

【想一想】在四种命题中,真命题的个数可能有几种?
提示:因为原命题和逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命题, 它们同真同假,所以真命题的个数可能为0,2,4,共三种.

充分条件、必要条件和充要条件的判断及应用 【技法点拨】

1.判断充分条件、必要条件和充要条件的一点注意和四个方面
(1)因为条件对结论有四种关系,所以在判断时,一定要全面.

(2)充分条件、必要条件和充要条件的判断,实质是判断由条件
和结论构成命题及其逆命题的真假.

①若原命题为真,逆命题为假,则条件是结论的充分但不必要 条件; ②若逆命题为真,原命题为假,则条件是结论的必要但不充分 条件; ③若原命题为真,逆命题也为真,则条件是结论的充要条件;

④若原命题为假,逆命题也为假,则条件是结论的既不充分也
不必要条件.

2.充分条件、必要条件和充要条件的应用 此类问题是指属于已知条件是结论的充分但不必要条件、必要 但不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或范围.涉及 到的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组) 求解.

【典例2】(1)(2011·山东高考)对于函数y=f(x),x∈R, “y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的

(
(A)充分而不必要条件

)

(B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(2)已知全集U=R,非空集合A={ x |

x ? a2 ? 2 ? 0 }. x?a ①当a= 1 时,求( ? B)∩A; U 2 ②命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a

x?2 ? 0 },B={x| x ? 3a ? 1

的取值范围.

【解析】(1)选B.“y=f(x)是奇函数”,图象关于原点对称, 所以“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”; “y=|f(x)|的图象关于y轴对称”,y=f(x)的图象关于y轴对称 或者关于原点对称,所以y=f(x)不一定为奇函数.

(2)①当 a= 1 时,
2

x?2 5 A={x| ? 0}= {x|2 ? x ? } 5 2 x? 2 9 x? 4 ? 0}= 1 ? x ? 9} B={x| {x| 1 2 4 x? 2 9 ? ?U B={x|x≤ 1 或x≥ }. 4 2
?( ? B)∩A={x| 9 ≤x< 5 }. U 2 4

②≧a2+2>a,?B={x|a<x<a2+2}. (i)当3a+1>2,即a> 1 时,A={x|2<x<3a+1}. 3 ≧q是p的必要条件,?A?B.

a?2 1 3? 5 ?? ,即 ? a ? . ? 2 3 2 ?3a ? 1 ? a ? 2

(ii)当3a+1=2,即a= 1 时,A=?,不符合题意; ? 3 (iii)当3a+1<2,即a< 1 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 , 1 ?a ? 3a ? 1 1 由A?B得 ? ?- ? a ? . 3 a 2 ? 2 ? 2, 2 ? 1 1 综上所述:a的取值范围为[? , )∪( 1 , 3 ? 5]. 2 3 3 2

【总结】题(2)的解答用到的数学思想及应用此种思想需要

注意的问题.
提示:题(2)的解答用到的思想方法是分类讨论思想. 应用 此种思想方法需要注意以下三点: (1)分类标准要唯一; (2)分类要做到各类之间不重复; (3)所有情况要找全.

命题“p∧q”、“p∨q”的真假判断
【技法点拨】 1.命题“p∧q”、“p∨q”的真假判断的三个过程 (1)首先将所给命题写为命题“p∧q”、“p∨q”. (2)判断命题p与q的真假.

(3)由命题“p∧q”、“p∨q”真假的判断方法做出判断.
2.命题“p∧q”、“p∨q”真假的应用 此类问题是指由命题“p∧q”、“p∨q”的真假,判断命题p 与q的真假,依次解决相关问题.

【典例3】(1)给出两个命题:p:函数y=x2-x-1有两个不

同的零点;q:若
题是( )

1 <1,则x>1,那么在下列四个命题中,真命 x
(B)p∧q (D)(﹁p)∨(﹁q)

(A)(﹁p)∨q (C)(﹁p)∧(﹁q)

(2)已知命题p:函数f(x)=x2+mx+1的图象与x轴负半轴有两个 不同的交点;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p或q” 为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.

【解析】(1)选D.对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判 别式Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0. 可知函数有两个不同的零点,故p为真.

1 <1恒成立; x 当x>0时,不等式的解为x>1.
当x<0时,不等式

1 <1的解为x<0或x>1. x 故命题q为假命题.
故不等式
所以只有( ?p)∨( ? q)为真.

(2)因为命题p:函数f(x)=x2+mx+1的图象与x轴负半轴有两个
?? ? m 2 ? 4 ? 0, 不同的交点,所以 p : ? ??m ? 0, ?m>2.因为命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,所以
q:Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, ?1<m<3. ≧p或q为真,p且q为假,?p真q假或p假q真.

?m ? 2, ? ?m ? 2, 或? 故m ? 3或1 ? m ? 2. ? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3.

【想一想】在解题(2)时,对于条件是怎样处理的?从中你
又得到怎样的启示?

提示:在解题(2)时,首先将条件化简,找到与之等价的结
论. 从中得到的启示是:当题目的条件所反映的关系不直接时, 应先将其化简找到它的等价条件,然后再求解.

含有一个量词的命题的否定 【技法点拨】 1.全称命题与特称命题真假的判断方法

(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断
全称命题为假命题,只需举出反例.

(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命 题为假命题时,要有严格的逻辑证明. 2.含有一个量词的命题否定的关注点 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否 定时既要改写量词,又要否定结论.

【典例4】已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx; (1)若“存在实数x0,使得f(x0)≤0”是假命题,求实数m的 取值范围; (2)是否存在实数m,使得:对任意实数x,f(x)与g(x)至少 有一个为正数?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明 理由.

【解析】(1)因为“存在实数x0,使得f(x0)≤0”是假命题, 所以“对于任意实数x,使得f(x)>0”是真命题,即对于任意 实数x,f(x)>0恒成立. ①当m=0时,不成立; ②当m>0时Δ=4(4-m)2-8m<0,?2<m<8.

(2)当m≤0时,依题意显然不符合; 当m>0时,则只要f(x)>0在(-≦,0)上恒成立.
?4 ? m 4?m ? ? 2m ? 0, ? 0, ? ? 2m ? 0 ? m ? 4.或 ? ? 4 ? m ? 8. ? ?f ? 0 ? ? 0 ?f ( 4 ? m ) ? 0 ? ? 2m ?

?0<m<8.

【思考】题(1)解法的依据是什么?从中你又得到怎样的启 示? 提示:题(1)解法的依据是命题“p与 ? p真假性相反”,从 中得到的启示是:当一个问题从正面入手比较困难时,可以从 问题的反面入手来解决,即“正难则反”.

1.下列四个命题中,真命题个数是(

)

①若“x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题
②“全等三角形的面积相等”的否命题

③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的命题
④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【解析】选C.①:命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆

命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;②:命
题“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全 等,则这两个三角形的面积不相等”,是假命题;③:因为 q≤1,所以-q≥-1,即4-4q≥0,所以方程x2+2x+q=0有实根, 是真命题;④:因为命题“等边三角形的三个内角相等”是真 命题,所以它的逆否命题也是真命题.

2.命题p:“对任意一个实数x,均有x2≥0”,则p为(
2 (A)存在x0∈R,使得 x 0 ≤0

)

(B)对任意x∈R,均有x2≤0
2 (C)存在x0∈R,使得 x 0 <0

(D)对任意x∈R,均有x2<0 【解析】选C.因为命题p:“对任意一个实数x,均有x2≥0”
2 是全称命题,所以它的否定是“存在x0∈R,使得 x 0 <0”.

3.命题p:若x<-5,则x2+6x+5>0的否命题是________. 【解析】由否命题的定义知,命题p:若x<-5,则x2+6x+5>0的 否命题是“若x≥-5,则x2+6x+5≤0”.

答案:若x≥-5,则x2+6x+5≤0

4.已知A和B是两个命题,如果A是B的充分条件,那么 ?A是 ?B
的________条件. 【解析】因为“A是B的充分条件”,即命题“若 ?A,则 ?B” 是真命题,由此知它的逆否命题“若 ?B,则 ?A”也是真命 题,即A是B的必要条件. 答案:必要

5.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0, ? x 2 ? x ? 6 ? 0, 命题q:实数x满足 ? ? 2 ? x ? 2x ? 8 ? 0. ? (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若 ?p是 ?q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

【解析】(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
又a>0,所以a<x<3a,

当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是
1<x<3.

? x 2 ? x ? 6 ? 0, 由 ? 得2 ? x ? 3, ? 2 ? x ? 2x ? 8 ? 0, ? 即q为真时,实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真,则p真且q真,

所以实数x的取值范围是2<x<3. (2)﹁p是﹁q的充分不必要条件,即﹁p?﹁q,且﹁q ? ﹁p, ? 设A={x|﹁p},B={x|﹁q},则A B.

又A={x|﹁p}={x|x≤a或x≥3a},
B={x|﹁q}={x≤2或x>3}, 则0<a≤2,且3a>3, 所以实数a的取值范围是1<a≤2.



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