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常用数学公式

常用数学公式


GCT 常用数学公式总结

一、初等数学部分
1.德摩根公式 CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B . 2. A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R 3. card ( A B ) ? cardA ? cardB ? card ( A B ) card ( A B C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B )
? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C A) ? card ( A B C) .

4. 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式 f ( x) ? ax2 ? bx? c ( a? 0); ② 顶点式 5.设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;③零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

设 函 数 y ? f ( x) 在 某 个 区 间 内可 导 , 如果 f ?( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 为 增 函 数 ;如 果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. 6. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 ? f ( a ? x) ? f ( a ? x ) ? f ( 2a ? x) ? f ( x). ② 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 a?b x? 对称 ? f (a ? mx ) ? f (b ? mx ) ? f (a ? b ? mx ) ? f (mx ) . 2 7. 两 个 函 数 图 象 的对 称 性 : ① 函数 y ? f ( x) 与 函 数 y ? f ( ? x ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 0 ( 即 y 轴 ) 对称 . ②函数 y ? f (mx ? a ) 与函数 y ? f (b ? mx ) 的图象关于直线 a?b x? 对称.③函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 2m

-1-

8.分数指数幂 a ?
a
m ? n

m n

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

9. log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . log m N n 10.对数的换底公式 log a N ? .推论 log am b n ? log a b . m log m a

n ?1 ?s1 , 11. an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? an ). ?sn ? sn?1 , n ? 2 12.等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; n(a1 ? an ) n( n ? 1) d 1 其前 n 项和公式 sn ? ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a 13.等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ; q
? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? ?na , q ? 1 ?na1 , q ? 1 ? 1 ?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; , q ? 1 ? q ?1 ? ?nb ? n(n ? 1)d , q ? 1 ? 其前 n 项和公式为 sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, q ? 1 ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?

14.等比差数列 ?an ?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

15.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款 x ?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 (1 ? b) n ? 1
sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?

b ).
16.同角三角函数的基本关系式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? = 17.正弦、余弦的诱导公式 n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

α 为偶数 α 为奇数
-2-

n ? α 为偶数 n? ?(?1) 2 co s ? , co s( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 sin ? , α 为奇数 ? 18.和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? =
定, tan ? ?
a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a , b ) 的 象 限 决
b ). a 19.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? .

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 20.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A, 2? ω , ? 为 常 数 , 且 A ≠ 0 , ω > 0) 的 周 期 T ? ; 函 数 y ? t a n? , ( x ?? )
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . tan 2? ?

?

x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

21.正弦定理

22. 余 ; b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . 1 1 1 23.面积定理(1)S ? aha ? bhb ? chc( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 . (3) S ?OAB ? 2 24.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 C ? A? B A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2 25.平面两点间的距离公式
d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
-3-

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C 弦 定 理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

26.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 a b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a ·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 27.线段的定比分公式 设 P , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 的分点, ? 是实 1 ( x1 , y1 ) 1 2 数,且 PP 1 ? ? PP 2 ,则
x ? ? x2 ? x? 1 ? OP ? ? OP2 1 ? 1? ? ). ? OP ? 1 ? OP ? tOP ? 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?

28. 三角形的重心坐标公式 △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 ) 、

C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ? OP ' ? OP ? PP ' (图形 F 上的任意一 29.点的平移公式 ? ' ?? ' ?y ? y ? k ? ? ?y ? y ? k

点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' ( x' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) ). 30.常用不等式: (1) a, b ? R ? a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a, b ? R? ? 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R. (5) a ? b ? a ? b ? a ? b 31.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4 2 2 32. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在 两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
33.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有
x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

-4-

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
? f ( x) ? 0 34.无理不等式(1) f ( x) ? g ( x) ? ? . ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 (2) f ( x) ? g ( x) ? ? . 或? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

35.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

(2)当 0 ? a ? 1时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

36.斜率公式 k ?

y2 ? y1 (P 2 ( x2 , y2 ) ). 1 ( x1 , y1 ) 、 P x2 ? x1

37.直线的四种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 ? (3)两点式 ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 (4)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、 B 不同时为 0). 38.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1 、A2 、B1 、B2 都不为零,
A1 B1 C1 ;② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; ? ? A2 B2 C2 k ?k 39.夹角公式 tan ? ?| 2 1 | .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 tan ? ? 1 2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). A1 A2 ? B1 B2

① l1 l2 ?

-5-

? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 | Ax0 ? By0 ? C | 40.点到直线的距离 d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 41. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .
(2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0). ? x ? a ? r cos ? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 (x ? x y )? ( 0圆 的 直 径 的 端 点 是 1 ) ( x? x 2 )? ( y ? y 1 ) ( y? 2

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
42.椭圆 43.椭圆
? x ? a cos ? x2 y 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 a2 a2 焦半径公式 , ? ? 1( a ? b ? 0) PF ? e ( x ? ) PF ? e ( ? x) . 1 2 a 2 b2 c c x2 y 2 44.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 , PF1 ?| e( x ? ) | PF2 ?| e( ? x) | . c c 2 y 45. 抛物线 y 2 ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y ? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 2p
y 2 ? 2 px .

46.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

b 2 4ac ? b2 (1)顶点 (a ? 0) 的图象是抛物线: ) ? 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b2 ? 1 坐标为 (? , (2)焦点的坐标为 (? , (3)准线方程是 ); ); 2a 4a 2a 4a 4ac ? b2 ? 1 y? . 4a

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?

( 弦 端 点

? y ? kx ? b A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,由方程 ? 消去 y 得到 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 ,? 为 ?F( x , y) ? 0 直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 48.圆锥曲线的两类对称问题:
-6-

(1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) F (x ? ,y? ) ? 0. 2 2 A ?B A2 ? B 2 49. “四线” 一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 x0 x
x ?x y ?y x0 y ? xy0 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中 2 2 2 点弦,弦中点方程均是此方程得到. 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b( b≠0 ), a∥ b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

代 x 2 ,用 y0 y 代 y 2 ,用

51.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 . 52. 空 间 两 个 向量 的 夹 角公 式 cos 〈 a , b 〉 =
a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

(a =

(a1 , a2 , a3 ) ,b = (b1 , b2 , b3 ) ).
53.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin
AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平 | m || n | | m || n |

54.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos

面 ? , ? 的法向量). 55.设 AC 是α 内的任一条直线, 且 BC⊥AC, 垂足为 C, 又设 AO 与 AB 所成的角为?1 , AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 56.若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ?1 ,? 2 , 与 二 面 角 的 2 s 2? i n ? ? s 1i 2 ?? n 棱
2

所 成 的 角 s2? ? i n ?; 2 s 1

是 θ , 则 i ? n ? 2 s

有 i n

s

| ?1 ? ? 2 |? ? ? 180 ? (?1 ? ? 2 ) (当且仅当 ? ? 90 时等号成立).

57.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则
d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .

58.点 Q 到直线 l 距离 h ? a= PA ,向量 b= PQ ).

1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 |a|

-7-

59.异面直线间的距离 d ?

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分 |n| | AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量,AB 是经过面 ? 的一条 |n|

别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). 60.点 B 到平面 ? 的距离 d ? 斜线, A ?? ). 61.异面直线上两点距离公式 d ? d 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? (两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分 别取两点 E、F, A' E ? m , AF ? n , EF ? d ). 2 62. l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos 2 ?1 ? cos 2 ? 2 ? cos 2 ? 3 ? 1 (长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 ?1、? 2、?3 ) (立几中长方体对角线长的公式是其特例).

S' 63. 面积射影定理 S ? cos? (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为? ). 64.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F) 4 65.球的半径是 R,则其体积是 V ? ? R 3 ,其表面积是 S ? 4? R 2 . 3 66.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? mn .
67.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ?
m 68.排列数公式 An = n( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) =

? mn .

n! .( n , m ∈N *,且 m ? n ). (n ? m)! n m m m m ?1 m m ?1 ? An ? (n ? m ? 1) An ? nAn 69.排列恒等式 (1)An ; (2)An (3)An ?1 ; ?1 ; (4) n?m n n ?1 n m m m ?1 nAn ? An . ?1 ? An ;(5) An ?1 ? An ? mAn
Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * 70.组合数公式 C = m = = ( n ,m ∈N , 且 m ? n ). Am 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)!
m n

71.组合数的两个性质(1)
m ? 72.组合恒等式(1) Cn

m n?m Cn = Cn ;(2) C nm + C nm ?1 = C nm?1

n ? m ? 1 m ?1 n n m ?1 m m m Cn ;(2) Cn ? Cn Cn ?1 ; ?1 ;(3) Cn ? m n?m m

r r ?1 r ? Cn (4) ? C n = 2 n ;(5) C rr ? C rr?1 ? C rr? 2 ? ? ? C n ?1 .

n

r ?0

m m ?m ! ? Cn 73.排列数与组合数的关系是: An .

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r n n a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; 74.二项式定理 (a ? b) n ? C n

-8-

r n?r r 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? C n a b ( r ? 0, 1, 2 ?,n) .

m . n 76.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An).

75.等可能性事件的概率 P ( A) ?

78.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2· ?· An)=P(A1)· P(A2)· ?· P(An).
k k 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n ? k .

81.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1)P (2)P ); i ? 0(i ? 1, 2, 1?P 2 ? 82.数学期望 E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ?
2

?1.

? xn Pn ?
2

83.数学期望的性质: (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b ; (2)若 ? ~ B (n, p ) ,则 E? ? np . 84.方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? 85.标准差 ?? = D? . 86.方差的性质(1) D ?? ? ? E? 2 ? ( E? )2 ;(2) D ? a? ? b ? ? a 2 D? ; (3)若 ? ~ B (n, p ) , 则 D? ? np (1 ? p ) .
? 1 87.正态分布密度函数 f ? x ? ? e 2??

? ? xn ? E? ? ? pn ?
2

? x ? ? ?2
2? 2

, x ? ? ??, ?? ? 式中的实数μ , ? ( ? >0)

是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
x ? 1 88.标准正态分布密度函数 f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2?? ? x?? ? 89.对于 N ( ? , ? 2 ) ,取值小于 x 的概率 F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ?
2

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ???? ?. ? ? ? ? ? ?
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n ? n 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx

90.回归直线方程

-9-

91.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. | q |? 1 ?0 ? q ?1 92.特殊数列的极限 (1) lim q n ? ?1 . n ?? ?不存在 | q |? 1或q ? ?1 ?
?0 ? ak n ? ak ?1n ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 ?
k k ?1

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 ( S 无穷等比数列 a1q n ?1? ( | q |? 1 )的和). n ?? 1? q 1? q 93. lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .这是函数极限存在的一个充要条件.

(3) S ? lim
x ? x0

a1 1 ? q n

?

??

?

x ? x0

x ? x0

94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x), g(x), h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),则 lim f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0 x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 95.两个重要的极限 (1) lim
sin x ? 1? ?1; (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?0 x ?? x ? x?
x

96. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ? x ? 0 ?x ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 97.瞬时速度 ? ? s?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ?0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 98.瞬时加速度 a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim 99. f ( x ) 在 ( a , b ) 的导数 f ?( x) ? y? ? . ? x ? 0 ? x ? 0 dx dx ?x ?x 100. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ? y?
x ? x0

? lim

?x ?0

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .
101.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nx n ?1 (n ? Q) .
- 10 -

(3) (sin x )? ? cos x . (4) (cos x )? ? ? sin x . 1 1 (5) (ln x)? ? ; (log a x )? ? log a e . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . 102. 复 合 函 数的 求 导 法则 设 函 数 u ? ? ( x) 在 点 x 处 有 导 数 u x ' ? ? ' ( x) , 函 数 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ' ? f ' (u ) ,
' ' ' 处有导数,且 yx ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) . ? yu ? ux

103.可导函数 y ? f ( x) 的微分 dy ? f ?( x )dx . 104. a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 105.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 106.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? 2 c ? d 2 c2 ? d 2 107. 复 平 面 上 的 两 点 间 的 距 离 公 式 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ). 108.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 ,OZ 2 , 则

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

OZ1 ? OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ?

z2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 ( λ 为非零

实数). 109. 实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解
? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ① 若

?b ? b 2 ? 4ac b ;②若 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ;③ 2a 2a 2 若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共
轭复数根 x ?
?b ? ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

- 11 -

二、微积分部分
导数公式:

(tgx )? ? sec 2 x (ctgx )? ? ? csc2 x (sec x )? ? sec x ? tgx (csc x )? ? ? csc x ? ctgx ( a x )? ? a x ln a (log a x )? ?
基本积分表:

(arcsin x)? ?

1

1 x ln a

1? x2 1 (arccos x)? ? ? 1? x2 1 (arctgx )? ? 1? x2 1 (arcctgx )? ? ? 1? x2

? tgxdx ? ? ln cos x ? C ? ctgxdx ? ln sin x ? C ? sec xdx ? ln sec x ? tgx ? C ? csc xdx ? ln csc x ? ctgx ? C
dx 1 x ? arctg ?C 2 ?x a a dx 1 x?a ? x 2 ? a 2 ? 2a ln x ? a ? C dx 1 a?x ? a 2 ? x 2 ? 2a ln a ? x ? C dx x ? a 2 ? x 2 ? arcsin a ? C

? cos ? sin

dx
2

x x

? ? sec 2 xdx ? tgx ? C ? ? csc2 xdx ? ?ctgx ? C

dx
2

?a

? sec x ? tgxdx ? sec x ? C ? csc x ? ctgxdx ? ? csc x ? C
ax ? a dx ? ln a ? C
x

2

? shxdx ? chx ? C ? chxdx ? shx ? C ?
dx x ?a
2 2

? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ? C

?
2 n

?
2

I n ? ? sin xdx ? ? cosn xdx ?
0 0

n ?1 I n?2 n

? ? ?

x 2 a2 x ? a 2 ? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ? C 2 2 x 2 a2 x 2 ? a 2 dx ? x ? a 2 ? ln x ? x 2 ? a 2 ? C 2 2 x 2 a2 x 2 2 2 a ? x dx ? a ? x ? arcsin ? C 2 2 a x 2 ? a 2 dx ?

- 12 -

三角函数的有理式积分:

sin x ?

2u 1? u 2 x 2du ,  cos x ? , u ? tg , dx ? 2 2 2 1? u 1? u 1? u 2

一些初等函数:

两个重要极限:

e x ? e?x 2 x e ? e?x 双曲余弦 : chx ? 2 shx e x ? e ? x 双曲正切 : thx ? ? chx e x ? e ? x 双曲正弦 : shx ? arshx ? ln( x ? x 2 ? 1) archx ? ? ln( x ? x 2 ? 1) 1 1? x arthx ? ln 2 1? x

lim

sin x ?1 x 1 lim (1 ? ) x ? e ? 2.7182818284 59045 ... x ?? x
x ?0

三角函数公式:
- 13 -

·诱导公式: 函数 角A -α 90° -α 90° +α 180° -α 180° +α 270° -α 270° +α 360° -α 360° +α ·和差角公式: sin -sinα cosα cosα sinα -sinα cos cosα sinα tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα

-sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -ctgα -cosα tgα ctgα -tgα tgα ctgα tgα -ctgα ctgα

-cosα -sinα -cosα sinα -sinα sinα cosα cosα

-ctgα -tgα

·和差化积公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? tg (? ? ? ) ? tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg? ctg ? ? ctg ? ? 1 ctg (? ? ? ) ? ctg ? ? ctg ?

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

2 2 ??? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 sin sin 2 2

cos

? ??

- 14 -

·倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ctg 2? ? 1 ctg 2? ? 2ctg ? 2tg? tg 2? ? 1 ? tg 2?
·半角公式:

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? tg 3? ? 3tg? ? tg 3? 1 ? 3tg 2?

sin tg

?
2

?? ??

1 ? cos? ? 1 ? cos?               cos ? ? 2 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ?   ctg ? ? ? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? 2 1 ? cos? sin ? 1 ? cos?
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2 ·余弦定理: c ? a ? b ? 2ab cos C

?
2

·正弦定理:

·反三角函数性质: arcsin x ?

?
2

? arccos x   arctgx ?

?
2

? arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
k ( n?k ) ( k ) (uv) ( n ) ? ? C n u v k ?0 n

? u ( n ) v ? nu ( n?1) v? ?

n(n ? 1) ( n?2 ) n(n ? 1)?(n ? k ? 1) ( n?k ) ( k ) u v?? ? ? ? u v ? ? ? uv ( n ) 2! k!

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理: f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) f (b) ? f (a) f ?(? ) 柯西中值定理: ? F (b) ? F (a) F ?(? ) 当F( x) ? x时,柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。

- 15 -

三、线性代数部分
1 、 行 列式
1. 2.
n 行列式共有 n 2 个元素,展开后有 n ! 项,可分解为 2n 行列式;

代数余子式的性质: ①、 Aij 和 a ij 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 A ;

3. 4.

代数余子式和余子式的关系: M ij ? (?1)i ? j Aij 设 n 行列式 D :

Aij ? (?1)i ? j M ij
n ( n ?1) 2

将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D1 ,则 D1 ? (?1)

D; D;

将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ,所得行列式为 D2 ,则 D2 ? (?1) 将 D 主副角线翻转后,所得行列式为 D4 ,则 D4 ? D ; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积 ??(?1)
n ( n ?1) 2

n ( n ?1) 2

将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 D3 ,则 D3 ? D ;



③、上、下三角行列式( ?◥? ? ?◣? ):主对角元素的乘积; ④、 ?◤? 和 ?◢? :副对角元素的乘积 ??(?1) ⑤、拉普拉斯展开式:
A O C B ? A C O B
n ( n ?1) 2


C A B O ? O A B C ? (?1) m n A B

? A B 、

⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 7. 对于 n 阶行列式 A ,恒有: ? E ? A ? ? n ? ? (?1)k Sk ? n ? k ,其中 Sk 为 k 阶主子式;
k ?1 n

证明 A ? 0 的方法: ①、 A ? ? A ; ②、反证法;
- 16 -

③、构造齐次方程组 Ax ? 0 ,证明其有非零解; ④、利用秩,证明 r ( A) ? n ; ⑤、证明 0 是其特征值;

2、 矩 阵
1.
A 是 n 阶可逆矩阵: ? A ? 0 (是非奇异矩阵); ? r ( A) ? n (是满秩矩阵) ? A 的行(列)向量组线性无关; ? 齐次方程组 Ax ? 0 有非零解; ? ?b ? R n , Ax ? b 总有唯一解; ? A 与 E 等价; ? A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ? A 的特征值全不为 0; ? AT A 是正定矩阵; ? A 的行(列)向量组是 Rn 的一组基; ? A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵;

2. 3.

对于 n 阶矩阵 A : AA* ? A* A ? A E 无条件恒成立;
( A?1 )* ? ( A* ) ?1 ( AB )T ? BT AT ( A?1 )T ? ( AT ) ?1 ( AB )* ? B * A* ( A* )T ? ( AT )* ( AB ) ?1 ? B ?1 A?1

4. 5.

矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论,其中均 A 、 B 可逆:
? A1 ? ? A ? 若 ? ? ? A2 ? ? ? ,则: ? ? As ?

Ⅰ、 A ? A1 A2
? A1?1 ? Ⅱ、 A?1 ? ? ? ? ? ?
?1

As ;
A
?1 2

? ? ?; ? ? As?1 ? ?
O ? ? ;(主对角分块) B ?1 ?

②、 ?

? A?1 ? A O? ? ? ? ?O B? ? O

- 17 -

③、 ?

? O ?O A? ? ? ? ?1 ?B O? ?A ? A?1 ?A C? ? ?? ?O B? ? O
?1 ?1

?1

B ?1 ? ? ;(副对角分块) O ? ? A?1CB ?1 ? ? ;(拉普拉斯) B ?1 ? O ? ? ;(拉普拉斯) B ?1 ?

④、 ? ⑤、 ?

? A?1 ? A O? ? ? ?1 ?1 ? ?C B? ? ? B CA

3 、 矩 阵的 初 等 变换 与 线 性方 程 组
1. 一 个 m?n 矩 阵 A , 总 可 经 过 初 等 变 换 化 为 标 准 形 , 其 标 准 形 是 唯 一 确 定 的 :
?E F ?? r ?O O? ? ; O ?m?n

等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简 单的矩阵; 对于同型矩阵 A 、 B ,若 r ( A) ? r ( B)????? A B ; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非 0 元素必须为 1; ③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0; 3. 初等行变换的应用: (初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、若 ( A?,?E )? ?( E?,? X ) ,则 A 可逆,且 X ? A?1 ; ②、 对矩阵 ( A, B) 做初等行变化, 当 A 变为 E 时,B 就变成 A?1 B , 即:( A, B )???( E , A?1 B ) ; ③、求解线形方程组:对于 n 个未知数 n 个方程 Ax ? b ,如果 ( A, b) ( E , x ) ,则 A 可逆, 且 x ? A?1b ; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: ①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列
? ?1 ? ? ? ? ②、 ? ? ? ? ? ? ,左乘矩阵 A ,? 乘 A 的各行元素;右乘,? 乘 A 的各列元素; i i ? ? ?n ?
?1

r

c

r

矩阵;
?2

③、对调两行或两列,符号 E (i , j ) ,且 E (i , j )

? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?E (i , j ) ,例如:? 1 ? ? ?1 ?; ? ? ? 1? 1? ? ? ?

?1

- 18 -

1 ④ 、 倍 乘 某 行 或 某 列 , 符 号 E (i (k )) , 且 E ( i ( k?) ? )
?1 ?1 ?1 ? ? ? ? ? k ? ? ?? ? ? 1 ? ? ? ?

1 E (i (, )例 ) 如 : k

1 k

? ? ? (k ? 0 ; ) ? 1? ?

⑤ 、 倍 加 某 行 或 某 列 , 符 号 E ( i (j k ) , )且 E (ij (k )) ?1 ? E (ij (?k )) , 如 :
k? ?k ? ?1 ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ?? 1 ? (k ? 0) ; ? ? ? 1? 1 ? ? ? ?
?1

5.

矩阵秩的基本性质: ①、 0 ? r ( Am?n ) ? min(m, n) ; ②、 r ( AT ) ? r ( A) ; ③、若 A B ,则 r ( A) ? r ( B) ; ④、若 P 、 Q 可逆,则 r ( A) ? r ( PA) ? r ( AQ) ? r ( PAQ) ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、 max(r ( A), r (B)) ? r ( A, B) ? r ( A) ? r (B) ;(※) ⑥、 r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B) ;(※) ⑦、 r ( AB) ? min(r ( A), r ( B)) ;(※) ⑧、如果 A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? s 矩阵,且 AB ? 0 ,则:(※) Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX ? 0 解(转置运算后的结论); Ⅱ、 r ( A) ? r ( B) ? n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵,则 r ( AB) ? r ( A) ? r ( B) ? n ;

6.

三种特殊矩阵的方幂: ①、秩为 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) ? 行矩阵(向量)的形式,再采用

结合律;
?1 a c ? ? ? ②、型如 ? 0 1 b ? 的矩阵:利用二项展开式; ?0 0 1? ? ?


0 n (a ? b ) n ? C n a ? Cna n? b ?


m 1 n?m m ? Cn a b ?




m ?0





n? 1 n n ? Cn a bn? ? Cn b ?

?C
1

n

m n

a m bn?m ;

注:Ⅰ、 (a ? b) n 展开后有 n ? 1 项; Ⅱ、 Cnm ?
n(n ? 1) (n ? m ? 1) n! ? 123 m m!(n ? m)!
0 n Cn ? Cn ?1

Ⅲ、组合的性质: Cnm ? Cnn ? m

m m m ?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn

?C
r ?0

n

r n

? 2n

r r ?1 rCn ? nCn ?1 ;

- 19 -

③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:
?n ? ①、伴随矩阵的秩: r ( A ) ? ?1 ?0 ?
*

r ( A) ? n????? r ( A) ? n ? 1 ; r ( A) ? n ? 1
A

②、伴随矩阵的特征值: ③、 A* ? A A?1 、 A* ? A 8.

A

?

??( AX ? ? X , A* ? A A?1??? A* X ?

?

X) ;

n ?1

关于 A 矩阵秩的描述: ①、 r ( A) ? n , A 中有 n 阶子式不为 0, n ? 1 阶子式全部为 0;(两句话) ②、 r ( A) ? n , A 中有 n 阶子式全部为 0; ③、 r ( A) ? n , A 中有 n 阶子式不为 0;

9.

线性方程组: Ax ? b ,其中 A 为 m ? n 矩阵,则: ①、 m 与方程的个数相同,即方程组 Ax ? b 有 m 个方程; ②、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组 Ax ? b 为 n 元方程;

10. 线性方程组 Ax ? b 的求解: ①、对增广矩阵 B 进行初等行变换(只能使用初等行变换); ②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得; 11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程:
? a11 x1 ? a12 x2 ? ? a1n xn ? b1 ??? ?a x ? a x ? ? a x ? b ??? 21 1 22 2 2n n 2 ①、 ? ; ? ? ? ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? anm xn ? bn
? a11 ? ②、 ? a21 ? ? ? a m1 a12 a22 am 2 a1n ?? x1 ? ? b1 ? ?? ? ? ? a 2 n ?? x 2 ? ? b2 ? ? ? Ax ? b (向量方程, ?? ? ? ? ?? ? ? ? amn ?? xm ? ? bm ?

A 为 m ? n 矩阵, m 个方程, n 个

未知数) ③、 ? a1 a2
? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? x b an ? ? 2 ? ? ? (全部按列分块,其中 ? ? ? 2 ? ); ? ? ? ? ? ? ? ? ? xn ? ? bn ?

④、 a1 x1 ? a2 x2 ?

? an xn ? ? (线性表出)

⑤、有解的充要条件: r ( A) ? r ( A, ? ) ? n ( n 为未知数的个数或维数)

4 、 向 量组 的 线 性相 关 性
1.
m 个 n 维列向量所组成的向量组 A : ?1 , ? 2 ,

, ? m 构成 n ? m 矩阵 A ? (?1 , ? 2 ,

,?m ) ;
- 20 -

T m 个 n 维行向量所组成的向量组 B : ?1T , ? 2 ,

? ?1T ? ? T? ? T , ? m 构成 m ? n 矩阵 B ? ? 2 ? ; ? ? ? T ?? ? ? ? m?

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2. ①、向量组的线性相关、无关 (齐次线性方程组) ? Ax ? 0 有、无非零解; ②、向量的线性表出 (线性方程组) ? Ax ? b 是否有解; ③、向量组的相互线性表示 (矩阵方程) ? AX ? B 是否有解; 矩阵 Am?n 与 Bl ?n 行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组 Ax ? 0 和 Bx ? 0 同解; (P 101 例 14) 4. 5.
r ( AT A) ? r ( A) ;( P 101 例 15)

3.

n 维向量线性相关的几何意义: ①、 ? 线性相关 ? ? ?0;

②、 ? , ? 线性相关 ③、 ? , ? , ? 线性相关 6.

? ? , ? 坐标成比例或共线(平行); ? ? , ? , ? 共面;
, ? s , ? s ?1 必线性相关; , ? s ?1 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为

线性相关与无关的两套定理: 若 ?1 , ? 2 , , ? s 线性相关,则 ?1 , ? 2 , 若 ?1 , ? 2 ,
, ? s 线性无关,则 ?1 , ? 2 ,

对偶) 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n ? r 个分量,构成 n 维向量组 B : 若 A 线性无关,则 B 也线性无关;反之若 B 线性相关,则 A 也线性相关;(向量组的维 数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定; 7. 向量组 A (个数为 r )能由向量组 B (个数为 s )线性表示,且 A 线性无关,则 r ? s ; 向量组 A 能由向量组 B 线性表示,则 r ( A) ? r ( B) ; 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 ? AX ? B 有解; ? r ( A) ? r ( A, B) 向量组 A 能由向量组 B 等价 ??r ( A) ? r ( B) ? r ( A, B) 方阵 A 可逆 ? 存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pl ,使 A ? P1 P2
r

8.

Pl ;

①、矩阵行等价: A ~ B ? PA ? B (左乘, P 可逆) ? Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解 ②、矩阵列等价: A ~ B ? AQ ? B (右乘, Q 可逆) ; ③、矩阵等价: A ~ B ? PAQ ? B ( P 、 Q 可逆) ;
- 21 c

9.

对于矩阵 Am?n 与 Bl ?n : ①、若 A 与 B 行等价,则 A 与 B 的行秩相等;

②、若 A 与 B 行等价,则 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解,且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相 同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵 A 的行秩等于列秩; 10. 若 Am?s Bs?n ? Cm?n ,则: ①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示, B 为系数矩阵; ②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示, AT 为系数矩阵; (转置) 11. 齐次方程组 Bx ? 0 的解一定是 ABx ? 0 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证 明; ①、 ABx ? 0 只有零解 ???Bx ? 0 只有零解; ②、 Bx ? 0 有非零解 ??? ABx ? 0 一定存在非零解; 12. 设向量组 Bn?r : b1 , b2 , , br 可由向量组 An?s : a1 , a2 , , as 线性表示为: (b1 , b2 , , br ) ? (a1 , a2 , , as ) K ( B ? AK ) 其中 K 为 s ? r ,且 A 线性无关,则 B 组线性无关 ? r ( K ) ? r ; ( B 与 K 的列向量组具有 相同线性相关性) (必要性: r ? r ( B) ? r ( AK ) ? r ( K ), r ( K ) ? r ,? r ( K ) ? r ;充分性:反证法) 注:当 r ? s 时, K 为方阵,可当作定理使用; 13. ①、对矩阵 Am?n ,存在 Qn?m , AQ ? Em ? r ( A) ? m 、 Q 的列向量线性无关; ②、对矩阵 Am?n ,存在 Pn?m , PA ? En ? r ( A) ? n 、 P 的行向量线性无关; 14. ?1 , ? 2 , , ? s 线性相关 ? 存在一组不全为 0 的数 k1 , k2 ,
? (?1 , ? 2 , ? r (?1 , ? 2 ,
, ks ,使得 k1?1 ? k2? 2 ? ? ks? s ? 0 成立;(定义)

? x1 ? ? ? x , ? s ) ? 2 ? ? 0 有非零解,即 Ax ? 0 有非零解; ? ? ? ? ? xs ?

, ? s ) ? s ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15. 设 m ? n 的矩阵 A 的秩为 r , 则 n 元齐次线性方程组 Ax ? 0 的解集 S 的秩为: r(S) ? n ? r ; 16. 若 ? * 为 Ax ? b 的一个解, ?1 , ?2 , , ?n? r 为 Ax ? 0 的一个基础解系,则 ? * , ?1 , ? 2 , 无关;
, ? n ? r 线性

5 、 相 似矩 阵 和 二次 型
1. 正交矩阵 ? AT A ? E 或 A?1 ? AT (定义) ,性质: ①、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 aiT a j ? ?
?1 ?0 i? j i? j (i , j ? 1, 2, n) ;

②、若 A 为正交矩阵,则 A?1 ? AT 也为正交阵,且 A ? ?1 ; ③、若 A 、 B 正交阵,则 AB 也是正交阵;
- 22 -

2.

注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 施密特正交化: (a1 , a2 , , ar ) b1 ? a1 ;
b2 ? a2 ? [b1 , a2 ] b1 [b1 , b1 ]

br ? a r?

[b1 , ar ] b[ a , ] b1 ? 2 r b 2? [b1 , b1 ] b[2 b ,2 ]

?

b ?r [ a r, ] 1 b ? r ;1 br ? [ br1? , 1 ]

3. 4.

对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; ①、 A 与 B 等价
? A 经过初等变换得到 B ; ? PAQ ? B , P 、 Q 可逆; ? r ( A) ? r ( B) , A 、 B 同型;
? C T AC ? B ,其中可逆; ? xT Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数;

②、 A 与 B 合同

5. 6. 7.

③、 A 与 B 相似 ? P ?1 AP ? B ; 相似一定合同、合同未必相似; 若 C 为正交矩阵, 则 C T AC ? B ? A B , (合同、 相似的约束条件不同, 相似的更严格) ; A 为对称阵,则 A 为二次型矩阵;
n 元二次型 x T Ax 为正定:

? A 的正惯性指数为 n ; ? A 与 E 合同,即存在可逆矩阵 C ,使 C T AC ? E ; ? A 的所有特征值均为正数; ? A 的各阶顺序主子式均大于 0;

? aii ? 0, A ? 0 ;(必要条件 )

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