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第 二章 分子动理学理论的平衡态理论

第 二章   分子动理学理论的平衡态理论


第 二 章

分子动理学理论的平衡态理论

2-1 设有一群粒子按速率分布如下: 粒子数 Ni 速率 Vi(m/s) 2 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00

试求(1)平均速率 V; (2)方均根速率 解: (1)平均速率:
V ?

2

V

(3)最可几速率 Vp

2 ? 1 . 00 ? 4 ? 2 . 00 ? 6 ? 3 . 00 ? 8 ? 4 . 00 ? 2 ? 5 . 00 2? 4 ? 6 ?8? 2

? 3 . 18

(m/s)

(2) 方均根速率
2

V

?

? N iV i ? Ni

2

? 3 . 37

(m/s)

2-2 计算 300K 时,氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。 解: V P
? 2 RT ? 2 ? 8 . 31 ? 300 32 ? 10
?3

?

? 395 m / s

V ?

8 RT

??
2

?

8 ? 8 . 31 ? 300 3 . 14 ? 32 ? 10
?3

? 446 m / s

V

?

3 RT

?

?

3 ? 8 . 31 ? 300 32 ? 10
?3

? 483 m / s

2-3 计算氧分子的最可几速率,设氧气的温度为 100K、1000K 和 10000K。 解: V P
? 2 RT

?

代入数据则分别为:
2

T=100K 时 T=1000K 时 T=10000K 时

V P ? 2 . 28 ? 10

m/s
2

V P ? 7 . 21 ? 10

m/s
3

V P ? 2 . 28 ? 10 m / s

2-4 某种气体分子在温度 T1 时的方均根速率等于温度 T2 时的平均速率, T2/T1。 求 解:因
2

V

?

3 RT

?

V ?

8 RT

2

??

由题意得:
3 RT

?

?
3? 8

8 RT

2

??

∴T2/T1=

2-5 求 0℃时 1.0cm3 氮气中速率在 500m/s 到 501m/s 之间的分子数 (在计算中可 将 dv 近似地取为△v=1m/s) 解:设 1.0cm3 氮气中分子数为 N,速率在 500~501m/s 之间内的分子数为△N, 由麦氏速率分布律: △ N= N
? 4? ( m 2 ? KT
3 ? m 2 KT V
2

)

2

e

?V

2

? ?V

∵ Vp2=

2KT ,代入上式 m
?V
?1

△N=

4N

?

? ?

V

2 2

?

V

2 2

?V

e

Vp

Vp

因 500 到 501 相差很小,故在该速率区间取分子速率 V =500m/s, 又V P
? 2 ? 8 . 31 ? 273 28 ? 10
?3

? 402 m / s

△V=1m/s



v =1.24)代入计算得:△N=1.86×10-3N 个 vp

2-6

设氮气的温度为 300℃,求速率在 3000m/s 到 3010m/s 之间的分子数△N1 与速率在 1500m/s 到 1510m/s 之间的分子数△N2 之比。 解: 取分子速率为 V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s

由 5 题计算过程可得: △V1=
4N ?V
?1 p

?
4N

?

V

2 2

?

V1

2 2

e

Vp

? V1

Vp V

2 2

?

V2

2 2

△N2=

?

?V p

?1

?

e

Vp

?V2

Vp

(

V1 Vp

?(

V1 Vp

)

2

)

2

?e
?(

∴ △N/△N2=

(

V1 V
p

V1 Vp

)

2

) e

2

其中 VP=

2 ? 8 . 31 ? 573 2 ? 10
?3

? 2 . 18 ? 10

3

m/s

v1 v2 =1.375, =0.687 vp vp ∴
?N 1 ?N
2

?

1 . 375 0 . 687

2 2

?e ?e

? 1 . 375 ? 0 . 687

2

2

? 0 . 969

解法 2:若考虑△V1=△V2=10m/s 比较大,可不用近似法,用积分法求△N1, △N2 dN=
4N ?V
?3 p ? V
2 2

V

2

dV

?
V2

e

VP

△N1= ? △N2= ? 令 Xi=
Vi

dN ? dN ?

V1 V4

?

V2

dN ? dN ?

0 V4

?

V1

dN dN

0 V3

V3

?

0

?

0

vi vp

i=1、2、3、4 利用 16 题结果:
2

?

0

dN ? N [ erf ( x i ) ?

?

xie

? xi

2

∴ △N1= N [ erf

(x2 ) ?

2

?

xie

? x2

2

] ? N [ erf ( x 1 ) ?

2

?
2

x1 e

? x1

2

]

(1)

△N2= N [ erf

(x4 ) ?

2

?

x4e

? x4

2

] ? N [ erf ( x 3 ) ?

?

x3e

? x3

2

]

(2)

其中 VP=
V1 VP V3 VP

2 RT

?

? 2 . 182 ? 10 m / s
3

x1 ?

? 1 . 375

x2 ?

V2 VP

? 1 . 379

x3 ?

? 0 . 687

x4 ?

V4 VP

? 0 . 6722

查误差函数表得: erf(x1)=0.9482 erf(x3)=0.6687 erf(x2)=0.9489 erf(x4)=0.6722

将数字代入(1)(2)计算,再求得: 、
?N 1 ?N 2 ? 0 . 703

2-7 试就下列几种情况,求气体分子数占总分子数的比率: (1) 速率在区间 vp~1.0vp1 内 (2) 速度分量 vx 在区间 vp~1.0vp1 内 (3) 速度分量 vp、vp、vp 同时在区间 vp~1.0vp1 内 解:设气体分子总数为 N,在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 (1) 由麦氏速率分布律: △ N= ? V
V2
1

dN ?

?

V2

dN ?

0

?

V1

dN

0

令 v2=1.01vp,vi=vp, x i ? 题结果可得;
?N1 N ? erf ( x 2 ) ? 2

vi vp

,则 x 1 ?

v1 vp

? 1, x2 ?

v2 vp

? 1 . 01 ,利用

16

?

x2e

? x2

2

? erf ( x 1 ) ?

2

?

x1 e

? x1

2

查误差函数表:erf(x1)=0.8427 ∴
?N1 N ? 0 . 008

erf(x2)=0.8468

(2) 由麦氏速率分布律:

dN

x

?

N

?

vx

2

?
N

vp e

?1

vp

2

dv

x

∴ ?N 2
?N N

?

?
1

v

?1 p

?

v2

?(

vx vp

)

2

e

dv

0

x

?

N

?
vx vp

v

?1 p

?

v1

?(

vx vp

)

2

e

dv

0

x

v2

2

?

?

?

vp

exp[ ? (

vx vp

) ]d (

2

) ?

1

v1

0

?

?

vp

exp[ ? (

vx vp

) ]d (

2

vx vp

)

0

令x ?
?N N

vx vp

, x1 ?

v1 vp
x2

? 1, x2 ?

v2 vp
1

? 1 . 01



2

?

1

?

?

?x

2

e

dx ?

0

?

?

x1

?x

2

e

? dx

0

利用误差函数:
erf ( x ) ? 2

?

?

x

e xp ( ? x ) dx
2

0

?N N ? 1 2

2

?

1 2

[ erf ( x 2 ) ? erf ( x 1 )

[ 0 . 8468 ? 0 . 8427 ] ? 0 . 21 %

(3)令 x ?

vx vp

,由麦氏速度分布律得:
vx ?vy ?vz
2 vp 2 2 2

dN N

3

?

1

?

?

?
1

vp e

?3

? dv x dv y dv
? x1
2

z

?N 3 N ? (

? (
3

?

) [?
3

x2

? x2

2

e
3

dx ?

0

?

x1

3

e
?8

dx ]

0

?N 2 N

)

? ( 0 . 002 )

? 0 . 8 ? 10

2-8 根据麦克斯韦速率分布函数,计算足够多的点,以 dN/dv 为纵坐标,v 为横 坐标,作 1 摩尔氧气在 100K 和 400K 时的分子速率分布曲线。 解:由麦氏速率分布律得:
dN dv ? 4? N ( m 2 ? KT
3 ? m 2 KT v
2

)2 e

v

2

将π =3.14,N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3 代入上式得到常数: A= 4 ? N ∴
dN dv

( A

m 2 ? KT
? BV
2

3

)2 e

B ?

m 2 KT

? Ae

?V

2

(1)

为了避免麻烦和突出分析问题方法,我们只做如下讨论: 由麦氏速率分布律我们知道,单位速率区间分布的分子数随速率的变化,必 然在最可几速率处取极大值,极大值为: 令
dy dv y ? dN dv ? A[ e
? BV
2

? Ae

? BV

2

?V
2

2


?e
? BV
2

? 2V ? V

( ? 2 BV )] ? 0

得V

? VP ?

1 B

又在 V=0 时,y=0,V→∞时,y→0 又V P 1
? 1 B1 ? 2 KT 1 m VP2 ? 1 B2 ? 2 KT m
2

∵T1=100K<T2=400K ∴ V P 1 < V P 2 由此作出草图

2-9 根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数的平均值 。
v

1

1 v

?

?

?

1 V

f (V ) dv
3

0

? 4? (

m 2 ? KT m 2 ? KT m 2 ? KT ?

)2
3

?

?

?

mv

2

e

2 KT

VdV
? ? m 2 KT

0

解: ? 4 ? (
? 4? (

) (?
2 3

KT m

)?? e
0

V
? 0

2

? d (?

m 2 KT

V )

2

) ? (?
2

KT m

)?e

?

mV

2

2 KT

?

2m

4

? KT

?V

2-10 一容器的器壁上开有一直径为 0.20mm 的小圆孔,容器贮有 100℃的水银, 容器外被抽成真空,已知水银在此温度下的蒸汽压为 0.28mmHg。 (1) 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 (2) 每小时有多少克水银从小孔逸出? 解: (1)
V ? 8 RT

??
2

?

8 ? 8 . 31 ? 373 3 . 14 ? 201 ? 10
?3

? 1 . 98 ? 10

(m / s)

(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数,所以每小时从小孔逸 出的分子数为: N 其中
1 4 nV ? 1 4 ?
? 1 4 nV ? s ? t

PV KT

是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数,s
? 1 4 ? P KT V ?s ?t

? ?(

d 2

)

2

是小孔

面积,t=3600s,故 N N=4.05×1019(个) ∴
M ? mN ? ? 1 . 35 ? 10
?2

,代入数据得:

?
N
A

N ?

201 ? 10 6 . 02 ? 10

?3 23

19

? 4 . 05 ? 10

(g)

2-11 如图 3-11,一容器被一隔板分成两部分,其中气体的压强,分子数密度分 别为 p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同,都等于 T。摩尔质量也相同,均 为μ 。 试证明: 如隔板上有一面积为 A 的小孔, 则每秒通过小孔的气体质量为:
M ?

?
2 ? RT

A ( P1 ? P2 )

证明:设 p1>p2,通过小孔的分子数相当于和面积为 A 的器壁碰撞的分子数。 从 1 跑到 2 的分子数: N 1 从 2 跑到 1 的分子数: N 2
1 4 P KT ? ? 1 4 1 4 n 1 V1 ? A ? t n 2V2 ? A ? t

实际通过小孔的分子数: (从 1 转移到 2)
?N ? N1 ? N
2

?

At ( n 1 V 1 ? n 2 V

2)

因 t=1 秒, n T1=T2=T

?

,V

?

8 RT

??

M ? m ? n ?? 1 4 ?

1 4

Am

8 RT

??

(

P1 KT

?

P2 KT )

∴?

A

?
RT

8 RT

??

( P1 ? P2 )

?
2 ? RT

A ( P1 ? P2 )

若 P2>P1,则 M<0,表示分子实际是从 2 向 1 转移。 2-12 有 N 个粒子,其速率分布函数为
f (v ) ? dN Ndv ? C (v0 ? v? 0)

f (v ) ? 0(v0 ?v )

(1)作速率分布曲线。 (2)由 N 和 v0 求常数 C。 (3)求粒子的平均速率。 解: (1)
f (v ) ? C (v0 ? v ? 0 )

f (v ) ? 0(v0 ?v )

得速率分布曲线如图示

(2)∵ ? ∴?
0

?

f ( v ) dv ? 1
f ( v ) dv ? 0 ?
v0

0

?

cdv ? 1

即 cv 0 (3) v
?

?1

c ?

1 v0

?

?

vf ( v ) dv ?

1 2

0

cv 0 ?
2

1 2

v0

2-13 N 个假想的气体分子,其速率分布如图 3-13 所示(当 v>v0 时,粒子数为 零)(1)由 N 和 V0 求 a。 。 (2)求速率在 1.5V0 到 2.0V0 之间的分子数。 (3) 求分子的平均速率。 解:由图得分子的速率分布函数:
Va V0 N

( 0 ?V ?V 0 ) (V 0
?V ? 2V 0

a N

)

f(v)= (1) ∵ dN

0

( V ? 2V 0 )

? Nf (V ) dv

N ?

?

?

N f (V ) dV
2

? 3 2


? 1

0

?

V0

Va V0

dV

?

0

?

2V

adv

V0

a

2 V0
a ? 2N 3V 0

V0

? aV

0

?

V0 a

(2) 速率在 1.5V0 到 2.0V0 之间的分子数

?N ?

?

2V 0

Nf (V ) dV

?

1 .5V 0

?

2V 0

adV
0

1 .5 V

? a ( 2 V 0 ? 1 . 5V 0 ) ? 1 2N 2 3V 0 ? V0 ? N 3

2-14 证明:麦克斯韦速率分布函数可以写作:
dN dx ? F (x )
2

其中 x

?

v vp

vp ?

2 KT m

F (x ) ?
2

4N

?

x

2

?e

?x

2

证明:
dN ? Nf ( v ) dv ? 4? N ( m 2 ? KT
? 3 2
2

3

?

mv

2

) e
?

2

2 KT

v dv

2

v

2 2

? 4? N ? ? 4N

?v ?v
2

?3 p v
2

?e

vp

v dv

2

?

v v

?
4N

e

2 p

2 p

d(

v vp

)

?

?
dN dx

?e

?x

x dx

2



?

4N

?

?e

?x

2

? x

2

? F (x )
2

2-15 设气体分子的总数为 N,试证明速度的 x 分量大于某一给定值 vx 的分子数 为: ? N v
x

??

?

N 2

[1 ? erf ( x )] N 2

(提示:速度的 x 分量在 0 到 ? 之间的分子数为



证明:由于速度的 x 分量在区间 vx~vx +dvx 内的分子数为:
dNv ? N
? vx
2

x

?

vp e

?1

vp

2

? dv

x

故在 vx~ ? 范围内的分子数为:

? N Vx? ? ? ?

?
?
?

?

dN

vx

vx

?

?

dN

0

x

?

vx

dN

0

vx

由题意:
vx

?
?

dN

0

vx

?

N 2
? vx v
2

?

dN

N

0

vx

?

?

vx

0

vp e

?1

2 p

? dv

x

令x

?

vx vp

利用误差函数得:

?

vx

dN N 2

0

vx

?

N 2

?

2

?

?

x

e

?x

2

dx

0

?

erf ( x )



N Vx? ? ? ? N 2

N 2

?

N 2 erf ( x )

[1 ? erf ( x )]

2-16 设气体分子的总数为 N,试证明速率在 0 到任一给定值 v 之间的分子数为:
? N 0 ? v ? N [ erf ( x ) ? 2

?

e

?x

2

]

其中 x

?

v vp

,vp 为最可几速率。
2

[提示: d ( xe ? x 证明:
? N 0? v ? N ? N

) ? e

?x

2

dx ? 2 x e
2

?x

2

dx

]

?

v

f ( v ) dv m
3 ? m 2 KT v
2

0

?
?

v

4? (

0

2 ? KT
? v v
2 2 p

) e

2

v dv

2

?

4N

? ?

v

0

vp e
? v
2 2

?3

v dv v
2 2

2

?

4N

v

?

e

vp

0

vp

?1

? dv

vp

令X

?

v vp

,则 dv

? v p dx

∴ ? N 0? v

?

4N

?
2

?

x

e

?x

2

x dx

2

0

由提示得: xe ? x
? N 0? v ?

dx ?

1 2

[e

?x

2

dx ? d ( xe
x

?x

2

)x]

4N



?

?

1 2 2

[? e
0

x

?x

2

dx ?

?

d ( xe

?x

2

)]

0

? N [ erf ( x ) ?

?

e

?x

2

]

2-17 求速度分量 vx 大于 2 vp 的分子数占总分子数的比率。 解:设总分子数 N,速度分量 vx 大于 2 vp 的分子数由 15 题结果得:
?N
2 vx ??

?

N 2

[1 ? erf ( x )]

其中 x

?

v vp

?

2v p vp

? 2

可直接查误差函数表得:erf(2)=0.9952 也可由误差函数: erf(z)=
2

?

[z ?

z

3

1!? 3

?

z

6

3!? 7

?

z

9

4!? 9

?

z ?? 5!? 11

? ? ?]

将 z=2 代入计算得: erf(2)=0.9752 ∴
?N
2vp ? ?

?

1 ? 0 . 9952 2

? 0 . 24 %

N

2-18 设气体分子的总数为 N,求速率大于某一给定值的分子数,设(1)v=vp (2)v=2vp,具体算出结果来。 解: (1)v=vp 时,速率大于 vp 的分子数:
?N1 ? N

?

?

v

f ( v ) dv ? N [ ?

?

f ( v ) dv ?

0

?

v

f ( v ) dv ]

0

利用 16 题结果:
? N ? N [1 ? erf ( x ) ? 2

?

xe

?x

2

]

这里 x

?

v vp

? 1

∴ ? N 1?

N [1 ? 0 . 8427 ? 0 . 41 ] ? 0 . 57 N

(2)v=2vp 时, x

?

v vp

? 2

,则速率大于 2vp 的分子数为:
2? 2

?N

2

? N [1 ? erf ( 2 ) ?

?

e

?4

] ? 0 . 046 N

2-19 求速率大于任一给定值 v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。 解:由 18 题结果可得单位体积中速率大于 v 的分子数为:
n v ? ? ? n [1 ? erf ( x ) ? 2

?

xe

?x

2

], ( n ?

N V

)

在垂直 x 轴向取器壁面积 dA,则速率大于 v 能与 dA 相碰的分子,其 vx 仍在 0~ ? 间,由《热学》P30 例题,每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于 v 的分子 数为:
? N ?? ? 1 4
x ? v vp

?

?

0

n v ? ? f ( v x ) v x dv 2

x

?
?x
2

1 4 ]

vn v ? ?

n v [1 ? erf ( x ) ?

?

xe

2-20 在图 3-20 所示的实验装置中,设铋蒸汽的温度为 T=827K,转筒的直径为 D=10cm,转速为ω =200π l/s,试求铋原子 Bi 和 Bi2 分子的沉积点 P′到 P 点(正对着狭缝 s3)的距离 s,设铋原子 Bi 和 Bi2 分子都以平均速率运动。

解:铋蒸汽通过 s3 到达 P′处的时间为:
t ? D v
1 2

在此时间里 R 转过的弧长为:
?D
2v
2

S ?

D?t ?

∵ ? Bi ∴ S Bi

? 209

? Bi 2 ? 418
2

?

?D
2v

?

?D
2

2

??

Bi

8 RT

代入数据得:
S Bi ?

?D
2

2

??

Bi

? 1 . 53 ( cm )

8 RT


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