9299.net
大学生考试网 让学习变简单
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

§8.6 空间向量及其运算(理)

§8.6 空间向量及其运算(理)


步步高大一轮复习讲义

空间向量及其运算

山东金榜苑文化传媒集团

知识网络

空间向量的 加减运算 空间向量的 数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算 直线的方向向量 与平面的法向量

共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直条件 向量夹角及距离

空间向量 及其运算

空间向量与 立体几何

线线角 线面角 面面角

立体几何中 的向量方法

求空间角

求空间距离

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

1.空间向量的有关概念

方向 大小 (1)空间向量:在空间中,具有_____和_____的量
叫做空间向量.

(2)相等向量:方向_____且模_____的向量. 相同 相等
(3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直

线互相___________的向量. 平行或重合
平行于同一个平面 (4)共面向量:__________________的向量.

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件 是存在实数λ,使得a=λb.
→ → → → 推论:点 P 在 ll上的充要条件是:OP=OA+ta ① 推论:点 P 在 上的充要条件是:OP=OA+ta ① 其中 a 叫直线 ll的方向向量, t∈R, 其中 a 叫直线 的方向向量, t∈R, → → 在 ll上取 AB=a,则 ① 可化为 在 上取 AB=a,则 ① 可化为 → → → →=OA+tAB或OP=(1-t)OA+tOB. → → → → → → → → OP =OA+tAB或OP=(1-t)OA+tOB. OP

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)共面向量定理的向量表达式: p=xa+yb,其中 x, y∈R, → → → a, b 为不共线向量, 推论的表达式为MP=xMA+yMB或对空 → → → → → → → 间任意一点 O, 有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOM+yOA → +zOB,其中 x+y+z=______. 1

(3)空间向量基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组{x, y, z},使得 p=xa+yb+zc,把{a, b, c} 叫做空间的一个基底.
主页

要点梳理

忆一忆知识要点

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA → =a, OB=b, 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 π 〈a,b〉,其范围是 0≤〈a, b〉≤π, 若〈a, b〉= , 则 2
互相垂直 称 a 与 b________________, 记作 a⊥b.

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做 向量 a,b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 .

(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.
主页

要点梳理

忆一忆知识要点

4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a· a1b1 ? a2b2 ? a3b3 b=_________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),

a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 则 a∥b?a=λb?__________________________ (λ∈R),
a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 a⊥b?a· b=0?__________________(a, b 均为非零向量).
主页

要点梳理

忆一忆知识要点

4.空间向量的坐标表示及应用 (3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a· a= a2+a2+a2, 1 2 3 a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉=|a||b|= 2 2 2 2 2 2 . a1+a2+a3· b1+b2+b3 设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → 则 dAB=|AB|= ?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2.
主页

基础自测
题号 答案

1
2 3 4

(?2, 7, 4)

②③④
? ? ? 1a? 1b? 1c 2 4 4

2

主页

5

题 型 一 空间向量的线性运算 → → 【例 1】 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设AA1=a, AB → =b, AD=c, M,N,P 分别是 AA1, BC, C1D1 的中点,试用 → → → → a,b, c 表示以下各向量:(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1. 解:(1)∵P 是 C1D 的中点, 解:(1)∵P 是 C1D 1 的中点, 解:(1)∵P 是 C11D11的中点, 解:(1)∵P 是 C11D11的中点, 1 → → → → → → → → → → → =AA +A→ +D P=a+AD+1 D→ → → 1→ → =AA11+A→11+D11P=a+AD+1D→ 11 → 11 → =a+AD+1 D11C11 → → → ∴AP ∴AP =AA1+A 11D1+D 1P ∴AP=AA11 11D1+D11 =a+AD+ 2D11C1 1+A 1D ∴AP 2 1C1 1D 1P 2 1C 2 1→ 1 1→ 1 → 1→ 1AB=a+c+1b. 1 b. =a+c+ =a+c+ 2AB=a+c+2 =a+c+ 2AB=a+c+ 2b. =a+c+2 AB=a+c+2 b. 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点, (2)∵N 是 BC 的中点, (2)∵N 是 BC 的中点, (2)∵N 是 BC 的中点, 1→ → → → → → → → → → → → → → →N=A A+AB+BN=-a+b+1 BC → =A→ +AB+BN=-a+b+1BC →A+AB+BN=-a+b+1 → → ∴A1N BC ∴A1N ∴A11 =A11 1A ∴A11N=A11 +AB+BN=-a+b+2BC A 2 1 2 2 1→ 1 1→ 1 → 1→ 1AD=-a+b+1c. 1 c. =-a+b+ =-a+b+ 2AD=-a+b+2 =-a+b+ 2AD=-a+b+ 2c. =-a+b+2 AD=-a+b+2 c. 2 2
主页

(3)∵M 是 AA 的中点, (3)∵M 是 AA1 1 的中点, (3)∵M 是 AA1 的中点, (3)∵M 是 AA1 的中点, (3)∵M 是 AA→ 11→ 的中点, → → → → 1→ 1 → → → → → → A1A+AP → → ∴MP=MA+AP= 1A→ +AP → =MA+AP= → → → 1A ∴MP=MA+AP= 2 A1A+AP ∴MP → ∴MP=MA+AP=1A1A+AP → → 22 → → ∴MP=MA+AP= 2A1A+AP 1 11 11 1a+ aa ?2 ? 11 b) = a+111 =- a+ ( ( ? c c ? 1 b) =1 a+1 b+c, =- 1 a+( a ?c ? 1 ) = 2a+2b+c, b 2 2b+c, =-1 22 =-2a+ (a ? c ?22 b) =1a+1b+c, 2 2 2 =-2a+ (a ? c ? 1 b) =2a+2b+c, 2 → 211 → → 11 → →2 → 1 1→2 → → → → =NC+CC =1BC+AA = 1AD+AA = 1c+a, → →2 → → → → BC+AA1 1 AD+AA1= c+a, → 1 → →1 → 又NC1 =NC+CC1 =1 → →1 → → 1 1 → →= 2 → 又NC1=NC+CC1= 2 BC+AA1=1 AD+AA1=1c+a, 又NC1=NC+CC1= BC+AA1= AD+AA1=2 c+a, 又NC → → → 22 → → 2 2→ → 21 2BC+AA =2AD+AA =2c+a, 2 又NC1=NC+CC1= 1 13 → → → → +NC = ( 1 a ?11 b ? c ) ? (a ?11 c ) = 3a+11 333 32 1 → →= ( 11 ? 2 1 ? c ) ? (a 2 1 ) =3a+1b+ c. ∴MP +NC ∴MP+NC1 1 = ( 1 a ? 1 b ? c ) ? (a ? 1 c ) = a+ b+2c. a b ? c → → ∴MP+NC1= ( 2 a ?22 b ? c ) ? (a ? 2 c ) =2 a+2 b+3c. ∴MP → 1 21 → 2 2 2 3 2 2 b+2c. 1 b ? c ) ? (a ? 1 c ) =2a+1b+2c. 2 2 23 2a ? 2 2 ∴MP+NC1= ( 2 2 探究提高 2 2 2 2 2 2

用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形 为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘 运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则 称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.
主页

→ 1→ → → 在例 1 的条例下,若AE→ EC, A1F=2FD, 试用 a, b, → → =2 解:连接 AF,则EF=EA+AF. → → → → → → → =EA+AF. 解:连接 AF,则EF → → c 表示EF. → → → 解:连接 AF,则EF=EA+AF. → → → → → → → =EA+AF 解:连接 AF,则EF=EA+AF.... 解:连接 AF,则EF =EA+AF 解:连接 AF,则EF=EA+AF 由已知AF,则EF → → ABCD→ 是平行四边形, 解:连接 AF,则EF=EA+AF. 解:连接 ABCD 是平行四边形, 由已知 由已知 ABCD → → ABCD是平行四边形, 由已知 ABCD→ 由已知 ABCD是平行四边形, ABCD是平行四边形, 是平行四边形, 由已知 → 由已知 ABCD 是平行四边形, 故AC=AB+AD=b+c, → → →是平行四边形, → 由已知 → 故AC=AB+AD=b+c, 故AC=AB+AD=b+c, → → → → → →→ → → → → → =AB+AD=b+c, → → →→ =AB+AD=b+c, → → 故AC =AB+AD=b+c, 由已知,A→ =2FD, 故AC → +AD=-a+c. 故AC =AB+AD=b+c, → 1A → → 故AC → A→ =A +AD=b+c, → 1 故AC=AB+AD=-a+c. 由已知,A11F =2FD, →D =A1A → →F → A→ 1D → A→ =A→ +AD=-a+c.→ → 1 → =2FD, D → → → → → → → → → → → 1 → 1→ 1→ →D=AAA+AD=-a+c.由已知,A→F=2FD, → → →+AD=-a+c. 由已知,A→ =2FD, → =-a+c. 由已知,AFF=2FD, A11D=A1→+AD=-a+c. 由已知,A11D → , F A 1D 1A A1D =A1A → →→ → A1→=A→A+AD → →由已知,A→ =2FD ∴AF=AD+DF=AD-FD由已知,A1F=2FD, → → → 1 A→ 11 +AD=-a+c.→ =AD- 1 1F 11 A1D=A1A +DF=AD-FD=AD-3 A1D → ∴AF=AD → =AD-FD=AD- 111→ → → → → → → 3 1→ ∴AF=AD+DF → → → 1 → → → → → → → 31 → → → → → → → → → → =AD+DF=AD-FD=AD-1AADD ∴AF =AD+DF=AD-FD=AD- A11D ∴AF=AD+DF =AD-FD=AD- A1 ∴AF=AD1 → =AD-FD=AD- A1D → → +DF → → → 1 ∴AF=AD+DF=AD-FD=AD- 33→D 3 ∴AF =c- 1(c-a)= 1(a+2c), 3A11D 3 1 (c-a)=3 (a+2c), 1 =c-31 1 11 1 1 =c- 1 (c-a)= 1 3(c-a)=1(a+2c), 3(a+2c), =c-1 (c-a)= (a+2c), =c- =c- (c-a)= (a+2c), 13 133 → =c-3→ =c-33(c-a)=3(a+2c), 3 3(c-a)=3(a+2c), 又EA=- 1AC=- 1(b+c), → → 13 1 3 → =-3→ =-3 (b+c), 又EA 1AC → 又EA=- 11→=- 11 AC → → → → 3 → =-1(b+c), 1AC=-1(b+c), → =-1 → =-1(b+c), 1 又EA =- AC=-3(b+c), 又EA=- → 3 (b+c), 又EA=- AC → →33 1 又EA=-33AC 33 1 又EA=EA+AF=- 1(b+c)+ 1(a+2c)= 1(a-b+c). AC→ 3(b+c), =- 3 ∴EF → 3 → → →3 3 → =EA+AF=-3 (b+c)+3 (a+2c)=3 (a-b+c). ∴EF →+AF=-1(b+c)+1(a+2c)=1(a-b+c). 11 1 1 → → → ∴EF=EA → → → → → → → 3 (b+c)+1(a+2c)=1(a-b+c). 3 1(b+c)+11(a+2c)=1(a-b+c). → =EA+AF=-11(b+c)+1(a+2c)=11(a-b+c). 3 33 ∴EF =EA+AF=- 主页 3 ∴EF → → ∴EF =EA+AF=- →

变式训练 1

题 型 二 共线、共面向量定理的应用
【例 2】已知 E, F, G, H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 的中点, (1)求证:E, F, G, H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O, → 1 → → → → 有OM= (OA+OB+OC+OD). 4

主页

题 型 二 共线、共面向量定理的应用 证明:(1)连接 BG, 证明:(1)连接 BG, → → → → 1 → → → → → → → → 则EG=EB+BG=EB+ 1(BC+BD)) 则EG=EB+BG=EB+2 (BC+BD 2 → → → → → → → → → → =EB+BF+EH=EF+EH, =EB+BF+EH=EF+EH, → → → 1 →E, F, G, → → 由共面向量定理的推论知:→ -1 ABH 四点共面. E, 1 → → =AH-AE=1 AD F, → H 四点共面. 由共面向量定理的推论知: (2)因为EH (2)因为EH=AH-AE=→ - 2AB AD 1 → G, 2 → → → 1→ 1→ 2 - AB 2 → → → (2)因为EH=AH-AE=1AD- AB (2)因为EH=AH-AE=2AD 1 2 1 → → → → → 1 (AD-AB)=1BD, 2 2 → = → → 1 BD = 2(AD-AB)=→ , 12 2 1(AD-AB)=1BD, 2 → → → = (AD-AB)= BD, =2 2 2 2 所以 EH∥BD. EH∥BD. 所以 所以 EH∥BD. 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 又 所以 BD∥平面 EFGH. BD∥平面 EFGH. 所以 BD∥平面 EFGH. 所以 BD∥平面 EFGH. 所以
主页

题 型 二 共线、共面向量定理的应用 (3)找一点 O,并连接 OM, OA, OB, OC, OD, OE, OG. O,并连接 OM, OA, (3)找一点 O,并连接 OM, OA, OB, OC, OD, OE, OG. (3)找一点 O,并连接 OM, OA, OB, OC, OD, OE, OG. (3)找一点 O,并连接 OM, OA, OB, OC, OD, OE, OG. (3)找一点 1→ → 1→ → → → 11→ → 111 → =1 → ,同理FG= →→ , → =→ , → = BD ,同理FG 1 → → → → = BD,同理FG=1BD, → 由(2)知EH 由(2)知EH= 2BD,同理FG= 2BD BD BD 由(2)知EH 由(2)知EH 2BD BD, 由(2)知EH=22 ,同理FG=2BD, 2 2 2 2 → → → → → =FG,即 EH 綊 FG, → =FG,即 EH//FG, → ,即 EH//FG, 所以EH=FG,即 EH//FG, 所以EH =FG,即 EH//FG, 所以EH =FG 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. 所以 EG,FH 交于一点 MM且被M M 平分. 所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. 所以 EG,FH 交于一点 M且被 M平分. 所以 EG,FH 交于一点 且被 平分. 1→ 1→ → 1 → → 1(OE+OG)=11OE+11→→ 故OM=1 → → 1 → → → → 1 → → 1→ 1 1 → → → → OG → 2→ → =2 (OE+OG)=21→ + OG → 故OM = (OE+OG)= OE +OG 故OM 2 故OM=2(OE+OG)=22OE+22 OG OE 故OM =2(OE+OG)=2OE +2OG 2 2 → ? 1?1 → → ? 2 1?1 → =1 ?1 ?OA+OB? ?+11?1 →+OD? ? 1? 2 → → ? 2?1 ?OC → → → → 1?1 → → ? + ?2 ?OC → ? 2?1 ?OA+OB?? ? 1?1 1→ +OD? ? 1?1?OA+OB?? →→ → →+OB + 1??OC+OD?? ? → + ?OC +OD ? = 2 ?OA+OB =1?2 =2?2?OA → ?? + ?2 ?OC+OD? 2? → ? ?→ ?? ? 2 ?2 → 2222 2 ? ? 2?2? ? 2(OA+OB+OC+OD). =1 4 → → → → 1 → → → → → → → 1 (OA+OB+OC+OD). 1 →+OB+OC+OD). →+OB+OC+OD). = (OA → → → =4(OA +OB+OC+OD). =4 (OA =4 4
主页

题 型 二 共线、共面向量定理的应用

探究提高
在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是 利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量 的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,进 行求解,若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的 向量满足线性a=λb关系,即可判定两直线平行.

主页

变式训练 2

已知 A,B,C 三点不共线, 对平面 ABC 外的任一点 O, 若 → 1 → → → 点 M 满足OM= (OA+OB+OC). 3 → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.

→ → → → → → → → → → → → → +OB+OC=3OM, → → +OB+OC=3OM, → → → → +OB+OC=3OM, → 解:(1)由已知OA 解:(1)由已知OA 解:(1)由已知OA +OB+OC=3OM, 解:(1)由已知OA 解:(1)由已知OA+OB+OC=3OM, → → → → → → → → → → → → → → → → → → → -OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → -OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → → -OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → ∴OA ∴OA ∴OA -OM=(OM-OB)+(OM-OC), ∴OA ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → → → → → → → → → → → → → =BM+CM=-MB-MC, → → =BM+CM=-MB-MC, → → → → → =BM+CM=-MB-MC, → 即MA 即MA 即MA =BM+CM=-MB-MC, 即MA 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → → → → → → → → → ,MB,MC共面. → ,MB,MC共面. → → → ,MB,MC共面. ∴MA ∴MA ∴MA ,MB,MC共面. ∴MA ∴MA,MB,MC共面. → → → → → → → → → → → → → → → MB MC共面且基线过同一点 M, (2)由(1)知, MA,, MB,, MC共面且基线过同一点 M, MA MB MC共面且基线过同一点 M, (2)由(1)知, MA,,, MB,,, MC共面且基线过同一点 M, MA MB MC共面且基线过同一点 M, (2)由(1)知, (2)由(1)知, (2)由(1)知, MA
∴四点 M, A, B, C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内. ∴四点 M, A, B, C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内. ∴四点 M, A, B, C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内. ∴四点 M, A, B, C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内. ∴四点 M, A, B, C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.
主页

题 型三

空间向量性质的应用

【例 3】 已知空间中三点 A(-2, 0, 2), B(-1, 2), 1, C(-3, 0, 4), → → 设 a=AB,b=AC, → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c; (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值; (4)若 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直,求 λ,μ 应满足的关系.

→ → 解:(1)∵c∥BC,BC=(-3, 0, 4)-(-1, 1, 2)=(-2,-1, 2), → → → → ,BC=(-3, 0, 4)-(-1, 1, 2)=(-2,-1, 2), 解:(1)∵c∥BC 解:(1)∵c∥BC,BC=(-3, 0, 4)-(-1, 1, 2)=(-2,-1, 2), → ∴c=mBC=m(-2,-1, 2)=(-2m,-m, 2m), → → =m(-2,-1, 2)=(-2m,-m, 2m), ∴c=mBC ∴c=mBC=m(-2,-1, 2)=(-2m,-m, 2m), 2 2 2 2 2 2 所以|c|= ?-2m?2 +?-m?2 +?2m?2 =3|m|=3, 所以|c|= ?-2m? 2+?-m? 2+?2m? 2=3|m|=3, 所以|c|= ?-2m? +?-m? +?2m? =3|m|=3, ∴m=± ∴c=(-2,-1, 2)或(2, 1, -2). 1. ∴m=± ∴c=(-2,-1, 2)或(2, 1, -2). ∴m=±1. ∴c=(-2,-1, 2)或(2, 1, -2). 1.
主页

(2)∵a=(1, 1, 0),b=(-1, 0, 2), (2)∵a=(1, 1, 0),b=(-1, 0, 2), (2)∵a=(1, 1, 0),b=(-1, 0, 2), (2)∵a=(1, 1, 0),b=(-1, 0, 2), ∴a· b=(1, 1, 0)· (-1, 0, 2)=-1, b=(1, 1, 0)· (-1, 0, 2)=-1, ∴a· b=(1, 1, 0)· 1, 0)· 0)· 0, 2)=-1, (-1, (-1, 0, 2)=-1, ∴a· b=(1, 1, (-1, 0, 2)=-1, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又|a|= 122+122+022= 2,|b|= ?-1?2+02+22= 5, 122+12+02= 2,|b|= ?-1?2 +02 +22 = 5, = 2,|b|= ?-1?2+02+22= 5, 又|a|= 12+12+02= 2,|b|= ?-1?2+0 +2 = 5, 又|a|= 1 +1 +0 又|a|= a· -1 b 10 a· -1 bb -1 a· -1 10 a· = -1 =- 10 , b b = =- 10, ∴cos〈a,b〉= a· = ∴cos〈a,b〉= ∴cos〈a,b〉=|a||b|= 10 =- 10 , 10 ∴cos〈a,b〉=|a||b| 10 =-10 , |a||b| 10 10 10 |a||b| 10 10 10.. 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 1010. 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 . a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 . 10 (3)方法一 ∵ka+b=(k-1, k , 2), ka-2b=(k+2,k,-4), (3)方法一 ∵ka+b=(k-1, kk, 2), ka-2b=(k+2,k,-4), (3)方法一 ∵ka+b=(k-1, k ,, ,2), ka-2b=(k+2,k,-4), 2), ka-2b=(k+2,k,-4), (3)方法一 ∵ka+b=(k-1, k 2), ka-2b=(k+2,k,-4), (3)方法一 ∵ka+b=(k-1, 且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直, 且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直, 且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直, 与 ka-2b 互相垂直, 2 2 2 -8=0, ∴(k-1,k, 2)· 2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, ∴(k-1,k, 2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=0, ∴(k-1,k, 2)· ∴(k-1,k, (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=0, (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=0, ∴(k-1,k, 2)· 5 (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2 ∴k=2 或 k=-5,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, 5 ∴k=2 或 k=-5,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, ∴k=2 或 k=-2 ,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, 2 ,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, ∴k=2 或 k=-2,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, ∴k=2 或 k=-2 2 5 5.. 实数 k 的值为 2 或- 实数 k 的值为 2 或- 5. 实数 k 的值为 2 或-25. 2 实数 k 的值为 2 或- 实数 k 的值为 2 或-2. 2 2 主页

方法二 由(2)知|a|= 2, 方法二 由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, 方法二 由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, 方法二 由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, 2 2 ∴(ka+b)· 方法二 由(2)知|a|= 2 b=-1,(ka-2b)=k a - 知|a|= 2,|b|= 5,a· 22,|b|= 5,a· b=-1, 2 2 2 2 2 ∴(ka+b)· (ka-2b)=k2a2-ka· b-2b2 ∴(ka+b)· (ka-2b)=k a -ka· b-2b2 ∴(ka+b)· (ka-2b)=k a -ka· b-2b2 ∴(ka+b)·b-2b2 (ka-2b)=k a -ka· b-2b 5 -2b)=k2a2-ka· =2k2+k-10=0,得 k=2 2 5 5 2 2 =2k2+k-10=0,得 k=2 或 k=-5.. =2k +k-10=0,得 k=2 或 k=- 5 =2k +k-10=0,得 k=2 或 k=-2. 2 =2k +k-10=0,得 =0,得 k=2 或 k=- . k=2 或 k=-2. (4)∵a+b=(0, 1, 2),a-b 2 2 (4)∵a+b=(0, 1, 2),a-b=(2, 1,-2), (4)∵a+b=(0, 1, 2),a-b=(2, 1,-2), (4)∵a+b=(0, 1, 2),a-b=(2, 1,-2), ∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ, 1, 2),a-b=(2, 1,-2), (4)∵a+b=(0, 1, 2),a-b=(2, 1,-2), ∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ), ∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ), ∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ), ∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴 -b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ), ∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ), ∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直, ∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直, ∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· (0, -b)与 z 轴垂直, ∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· 0, 1)=2λ-2μ=0, (0, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· 0, 1)=2λ-2μ=0, (0, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· 0, 1)=2λ-2μ=0, (0, 即当 λ,μ 2λ-2μ)· 0, 1)=2λ-2μ=0,0, 1)=2λ-2μ=0, 满足关系 λ-μ= (0, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· (0, 即当 λ,μ 满足关系 λ-μ=0 时, 即当 λ,μ 满足关系 λ-μ=0 时, 即当 λ,μ 满足关系 λ-μ=0 时, 关系 λ-μ=0 时, 即当 λ,μ 满足关系 λ-μ=0 时, 可使 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 可使 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直. 可使 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直. 可使 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直. μ(a-b)与λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直. 可使 z 轴垂直. 探究提高 证明两条直线垂直,一般是用两条直线的方向向量 的数量积等于0来加以证明的.
主页

变式训练 3

已知 a=(x, 4, 1) , b=(-2, y, -1) , c=(3,-2, z) , a∥b,b⊥c. 求: (1)a,b,c; 解:(1)因为 a∥b, (2)(a+c)与(b+c)夹角的余弦值. x 4 1 解:(1)因为 a∥b, 解:(1)因为 a∥b, a∥b, 所以 =y = ,解 -2 -1 x x 4 1 4 1 x 4= 1 ,解得 x=2,y=-4, 所以 =y =-1 ,解得 x=2,y=-4, 所以 = = ,解得 x=2,y=-4, -2 y -1 -2 y -1 这时 a=(2,4,1),b=( 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). b⊥c, 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为

又因为 b⊥c, 又因为 b⊥c, 又因为 b⊥c, 所以 b· c=0,即-6+ 所以 b· c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2, 所以 b· c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2, 解得 z=2, 解得 z=2, 于是 c=(3, -2, 2). 于是 c=(3,-2,2). 主页 于是 c=(3,-2,2). 于是 c=(3,-2,2).

于是 c=(3,-2, 2).

变式训练 3

已知 a=(x, 4, 1) , b=(-2, y, -1) , c=(3,-2, z) , a∥b,b⊥c. 求: (1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)夹角的余弦值.

(2)由(1)得 a+c=(5, 2, 3), (2)由(1)得 a+c=(5, 2, 3), (2)由(1)得 a+c=(5, 2, 3), (2)由(1)得 a+c=(5, 2, 3), b+c=(1,-6, 1), b+c=(1,-6, 1), b+c=(1,-6, 1), b+c=(1,-6, 1), 设(a+c)与(b+c)夹角为 θ, 设(a+c)与(b+c)夹角为 θ, 设(a+c)与(b+c)夹角为 θ, 设(a+c)与(b+c)夹角为 θ, 2 5-12+3 5-12+3 2 因此 cos θ= 5-12+3=- 2 .. 因此 cos θ= 5-12+3=-19 . 2 因此 cos θ= 38· 38 =-19 . 因此 cos θ= 38· 38 =-19 38· 38 19 38· 38
主页

易错警示 “两向量平行”和“两向量同向”不清致误 (5分)已知向量a=(1, 2, 3), b=(x, x2+y-2, y), 并且 2 x x 2+y-2 y a, b同向, 则x, y的值分别为__________. y, 2 +y-2 解:由题意知 a∥b,所以 x=x+y-2 = , x1 x 解:由题意知 a∥b,所以1= =3 2 2 =y , 2 x x 解:由题意知 a∥b,所以 = +y-2 y 3 由题意知 a∥b,所以 1 ① 2 = 3 = , 1 ① 2 3 ?y=3x, ? y=3x, ? ?y=3x, ① ? 即? 2 ? ? 2 即?y=3x, ? x +y-2=2x, ① ? 即?x2 +y-2=2x, ② ? ? ② 即?x +y-2=2x, ? ?
② ?x +y-2=2x, ② 2 把①代入②得 x 2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,
2

把①代入②得 x +x-2=0,(x+2)(x-1)=0, 解得 x=-2,或 x=1. 解得 x=-2,或 x=1.
?x=-2 ? 当? 时,b=(-2,-4,-6)=-2a, ?y=-6 ?

当 x=-2 时,y=-6;当 x=1 时,y=3. 当 x=-2 时,y=-6;当 x=1 时,y=3.

主页

? 当? y=-6 时,b=(-2,-4,-6)=-2a, ? ? ? y=-6 时,b=(-2,-4,-6)=-2a, 当? ? ? ?y=-6 易错警示 两向量 a,b 反向,不符合题意,所以舍去. 两向量 a,b 反向,不符合题意,所以舍去. a,b 反向,不符合题意,所以舍去. 两向量 ?x=1 ? ?x=1 时,b=(1, 2, 3)=a, ? 当?x=1 ? ? 当? y=3 时,b=(1, 2, 3)=a, ? ? ? y=3 时,b=(1, 2, 3)=a, 当? ? ?y=3 ? ?x=1, ? ?x=1, ? a 与 b 同向,所以?x=1, ? ? a 与 b 同向,所以? y=3. 与 b 同向,所以? ? ? a 答案 1,3 ? ?y=3. ?y=3.

(1)a与b同向是a∥b的充分而不必要条件.a∥b是a 与b同向的必要而不充分条件. (2)错因分析:两向量平行和两向量同向不是等价 的,同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量 平行,但反过来不成立 ,也就是说,“两向量同向”是 “两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这 一点.
主页

批阅笔记

?

感悟提高
方法与技巧

1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是 解决空间向量问题的基础,特别是共线向量定理、共 面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或 角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然 后通过向量的运算或证明去解决问题,在这里,恰当 地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立空间直角 坐标系,使立体几何问题成为代数问题,在这里,熟 练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基 础.
主页

感悟提高
失误与防范

1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难度,可 以避开一些较复杂的线面关系,但较复杂的代数运算也容 易导致出错.因此,在解决问题时,可以灵活的选用解题方法, 不要生搬硬套. 2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般 用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般 用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数 量积为零;求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量 的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化. 3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解. 4.几何体中向量问题的解决,选好基底是关键.
主页

A组

专项基础训练题组

一、选择题

题号 答案
二、填空题
4. 3 5 5

1 A

2 A

3 A

5. ? 2或 2 55

6. 60?
主页

三、解答题 → → 7.已知非零向量 e1, 2 不共线, e 如果AB=e1+e2, = AC → 2e1+8e2,AD=3e1-3e2,
求证:A, B, C, 2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 证明:令 λ(e1+eD 共面. 证明:令 λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 证明:令 λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 证明:令 λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 证明:令 λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. ?λ+2μ+3v=0 ? ?? λ+2μ+3v=0 λ+2μ+3v=0 ? ?? λ+2μ+3v=0 ∵e1,e2 不共线,∴?λ+2μ+3v=0 . ? ? ? ? ∵e1,e不共线,∴?? ∵e1,e2 2 不共线,∴?λ+8μ-3v=0 . . ? ∵e1,e2 不共线,∴λ+8μ-3v=0 ∵e1,e2 不共线,∴? λ+8μ-3v=0 .. ?? ?? ? ? λ+8μ-3v=0 ? ?λ+8μ-3v=0 λ=-5 ? λ=-5 λ=-5 ?λ=-5 ??λ=-5 → → → ? ? ?? → → → → → → 易知?μ=1 是其中一组解,则-5AB+AC+AD=0. ? ? μ=1 是其中一组解,则-5AB+AC+AD=0. μ=1 易知 是其中一组解,则-5AB+AC+AD=0. → → → → → 易知?? μ=1 → +AC+AD=0. ?v=1 易知?μ=1 是其中一组解,则-5AB+AC+AD=0. 易知? 是其中一组解,则-5AB ? ?? v=1 v=1 ? v=1 ??v=1 ? ? ? ∴A, B, C, D 共面. ∴A, B, C, D 共面. ∴A, B, C, D 共面. ∴A, B, C, D 共面. ∴A, B, C, D 共面. 主页

三、解答题 8.已知△ABC的顶点A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) , C(3, 2, 4). 试求 (1)△ABC的重心坐标; (2)△ABC的面积; (3)△ABC的AB边上的高.

解:(1)设重心坐标为(x00,y ,z0 0), 解:(1)设重心坐标为(x0 0 0 0 0 0 解:(1)设重心坐标为(x ,y),), 解:(1)设重心坐标为(x0 0,z,z,z), 解:(1)设重心坐标为(x0,y,y,y0,z0), 1+2+3 1+2+3 1+2+3 1+2+3 =2, 1+2+3 则 =2, 则 x 0= 则则 xx= 33 =2, x 0 则 x0=0=0= 3 =2,=2, 3 3 1+2+2 1+2+2 1+2+2 1+2+2 5 5 1+2+2 5 =55 0 y0= = , y yy = 33 ,=3, y0=0=0= 3 = =3,, 33 33 3 1+2+4 1+2+4 1+2+4 1+2+4 7 7 1+2+4 7 =77 0 z0= = , z zz = 33 ,=3, z0=0=0= 3 = =3,, 33 33 3

7 5 ∴重心坐标为 (2,)5 ,,7 ))... ∴重心坐标为 7 . . ∴重心坐标为,(2,, 5 ) 7 ∴重心坐标为 (2, 5 3 3 ∴重心坐标为 (2,
3 3 3 3 3
主页

→ → → → → → =(1,1,1),AC=(2,1,3),|AB|= 3,|AC|= 14, → → → → =(1,1,1),AC=(2,1,3),|AB|= 3,|AC|= 14, (2) AB · =2+1+3=6, → AC → → → (2) AB AB → → → → (2) AB=(1,1,1),AC=(2,1,3),|AB|= 3,|AC|= 14, → =(1,1,1),AC=(2,1,3),|AB|= 3,|AC|= 14, → → → (2) AB=(1,1,1),AC=(2,1,3),|AB|= 3,|AC|= 14, AB → → → (2) AB· =2+1+3=6, → AC → → →A=cos〈AB,AC〉= 6 = 6 , → AB· =2+1+3=6, AC → · =2+1+3=6, → ∴cos · =2+1+3=6, AB AC → AC → AB AC 6 3· → → AB· =2+1+3=6, 6 = 6 42 6 → ,AC〉= 6 14 6 , → ∴cos A=cos〈AB ,AC〉= 6 = 6 , → → ∴cos A=cos〈AB → → 6 ∴cos A=cos〈AB,AC〉= 3· 14= 6 , →36 → 〉= 3· 14= 42 , 42 ∴cos A=cos〈AB,AC1 A=cos〈AB,AC〉= 3· 14= 42, ∴cos A= ∴sin 1- = . 3· 14 42 3· 14 42 36 1 7 42 1 36 ∴sin A= 1-36= 1 .. ∴sin A= 1-42 = 1 36 ∴sin A= 1 1-36 = 17.. ∴sin A= 1-42= 7 1- 42= 7 → 42 ∴sin A= |AB|·→ |· . A=1× 3× 14× 1 = 6. ∴S△ABC= → 42 sin 1 |AC 1 → → 7 1 7 6 2 |·→ |· 7 A=1× 3× 14× 1 = 6. 2 1|AB |AC sin 12 1 6 ∴S△ABC=1 |AB|· |· A=1 × 3× 14× 1 = 6 . → |AC sin → ∴S△ABC=2 → |AC sin 1→ → 2 ∴S△ABC=1 |AB|·→ |· A=1 × 3× 14× 17= 26.. ∴S△ABC= 2|AB|· |· A= 2× 3× 14× 7= 2 . |AC|· A= 2× 3× 14× 7= 2 sin △ABC= 2|AB|· → → ∴S △ABC 边上的高为 CD,则 S△ =1|AB7 |CD|, |AC sin 2 2 (3)设 AB 2 |· 2 2 ABC 1 → 7 → 2 1 → |CD 2 → → (3)设 AB 边上的高为 CD,则 S△ABC=1|AB|·→ |, (3)设 AB 边上的高为 CD,则 S△ABC=2 |AB|·→ |, 1 → |CD → |CD (3)设 AB 边上的高为 CD,则 S△ABC=1 |AB|·→ |, 2|AB|· |, (3)设 AB 边上的高为 CD,则 S△ABC= |CD 6 △ABC (3)设 AB 边上的高为 CD,则 S△ABC= 2 |AB|· |, |CD 2 6 2 6 2 → 6 ∴|CD|= 26 = 2. → 26 = 2. → ∴|CD|= 1 2 = 2. → |= 2 ∴|CD|=1 × 3 2. → ∴|CD |= 1× 3= 2. → 1 2 = ∴|CD 2 ∴|CD|= 2 × 3= 2. 1 1× 3 2× 3 2× 3 2 2 的 AB 边上的高是 故△ABC的 AB 边上的高是 2. 2. 故△ABC 的 AB 边上的高是 2. 故△ABC 故△ABC 的 AB 边上的高是 2. 故△ABC 的 AB 边上的高是 2. 主页 故△ABC 的 AB 边上的高是 2.

B组 一、选择题

专项能力提升题组

题号 答案
二、填空题

1 D

2 A

3 A

4. 65

5. ①②
1 6. ( 1 , , 1 ) 4 4 4
主页

三、解答题 7.如图,已知M, N分别为四面体ABCD的面BCD与面 ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3. → → → → =a,AC=b,AD=c, → → 求证:B, G, N三点共线. =b,AD=c, 证明:设AB 证明:设AB=a,AC → → → → =a,AC=b,AD=c, → → 证明:设AB → → 3 → 证明:设AB=a,AC=b,AD=c, → → → → → → =BA+AG=BA+3AM → 则BG=BA+AG=BA+ 3AM 则BG → → 3 → 4 → → → → → →则BG=BA+AG=BA+4 AM → 则BG=BA+AG=BA+ AM 4 4 1 3 1 1 1 3 1 1 =-a+ (a+b+c)=-3 a+1 b+ c, =-a+ 1(a+b+c)=-1 a+1 b+ 1c, 1 3 4 4a+ 4b+ 4 =-a+4 (a+b+c)=-4b+ 4c, 4 c, =-a+ (a+b+c)=- a+ 4 4 4 4 → 4 → 1 4 4→ 4 1→ → → → → → → → → =BA+AN=BA+ (AC+AD) BN → → 1 + → → BN=BA+AN=BA→ 1(AC+AD) → → → → 3 → → BN=BA+AN=BA+3 (AC+AD) → BN=BA+AN=BA+ (AC+AD) 1 13 4 3 1 4→ → =-a+1 4 c= BG =-a+1 b+1c= 4BG.. 1 3 3c= 3 → 3 b+3→ 3 BG. =-a+ c= BG =-a+ b+ 3 3 . 3 → 3→ → → ∥BG3 即 3 G, N 三点共线. ∴BN → B, ∴BN∥BG,, 即 B, G, N 三点共线. → →∴BN∥BG, 即 B, G, N 三点共线. → ∴BN∥BG, 即 B, G, N 三点共线.
主页

三、解答题 8. 直三棱柱ABC—A′B′C ′中, AC=BC= AA′,∠ACB=90°, D, E分别为AB, BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC ′所成角的余弦值. → → → → =a,CB=b,CC′=c, → → → → → (1)证明:设CA =a,CB=b,CC′=c, (1)证明:设CA (1)证明:设CA=a,CB=b,CC′=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|, 根据题意,|a|=|b|=|c|, 根据题意,|a|=|b|=|c|, 且 a· b=b· a=0, c=c· 且 a· c=c· ???? b=b· a=0, c=c· ? a=0, 且 a· b=b· ???? 1 ? → 1 1 → =b+1 c,????? =-c+1b-1a. → ∴CE=b+ c, A???D=-c+11b-a.a. A D =-c+2 12 ∴CE ∴CE =b+2 c, A D b- 2 22 2 2 2 ???? ? ? ???? → ????? → · ?? D =-1c2+1b2=0. → ∴CE·A ? D=-11c+11b=0. ∴CE·A D =- 2 2+ 2 2=0. c A =- c22+ b2 2=0. ∴CE· ∴CE 22 22 2b ???? 2 ????? ?? → ???? → ⊥ A?? D ,即 CE⊥A′D. → → ∴CE⊥ A D ,即 CE⊥A′D. ∴CE⊥ A ? D,即 CE⊥A′D. ∴CE ,即 CE⊥A′D. ∴CE ⊥
主页

三、解答题 8. 直三棱柱ABC—A′B′C ′中, AC=BC= AA′,∠ACB=90°, D, E分别为AB, BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC ′所成角的余弦值. 5 → → → → → →

(2)解:∵AC′=-a+c,|AC′|= 2|a|,|CE|= 5|a|. 5|a|. → → → (2)解:∵AC′=-a+c,|AC′|= 2|a|,|CE |a|. (2)解:∵AC′=-a+c,|AC′|= 2|a|,|CE|= 2 |= 2 2 ???? →? → 1 2 1 c ) =1c2=1|a|2, 2 2 CE=(-a+c)·b ? 1b ? 11 ) =1c2=1|a| , ( → AC ? CE=(-a+c)· ( CE=(-a+c)·b ? 2 c ) =2c 2=2 |a|2, ( 2 2 2 2c 2 2 1 2 1|a|2 1|a|2 2 |a|2 2 10 → → → 2 →〉= 10. 10. ∴cos〈AC′,CE ,CE〉= = → → ∴cos〈AC′ = ∴cos〈AC′,CE〉= 5 2 = 102 . 10 10 2· 5|a| 2 5|a| 2 2· 2 2· |a| 2 2 10 10 10 即异面直线 CE 与CE 与 AC′所成角的余弦值为 即异面直线 AC′所成角的余弦值为 10 .. . 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10 10

·

主页

教师备课题库

知识网络
空间几何体的结构 空间几何体 空间几何体的体积、表面积

柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法

点、线、面之间的位置关系

主页

知识网络

主页

要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法 定义 向量
具有大小和方向的量 向量的大小 长度为零的向量 模为 1 的向量

向量的模 零向量
单位向量

? 记作 0

? ? ??? | a |,| AB |

表示法 ? ? ??? a, AB

相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量

0 与任一向量共线.

常用 e 表示 ? ? 记作 a ? b ? ? 记作 a ? ?b ? ? ?记作 a ∥ b

主页

要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
? ? a?b

空间向量
具有大小和方向的量
? a
b
? ?b ? ? a?b

? a
? a
? ka ( k ? 0)
? ka ( k ? 0)

减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零

? b

? ? a ?b

运 算 律

? ? ? ? ? ? ? ? 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律? ? ? ? 加法结合律 ? ? ? ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 数乘分配律 数乘分配律 ? ? ? ? ? ? ? ? k (a ? b ) ? ka ? kb k (a ? b ) ? ka ? kb
主页

? a

要点梳理
2. 空间向量的有关定理及推论 共线向量 共面向量
? ? ? ? p, a , b 共面 ? p ? xa ? yb ? ? (a , b不共线) ??? ? ??? ? ???? P, A, B, ? AP ? x AB ? y AC
C四点 共面

? ? ? ? 定 a / / b ? ?? ? R, a ? ? b ? ? (b ? 0) 理 ??? ? ??? ? AP ?? ??? A, P, B ???? ???? AB ? ? OP 推 三点 ? ??? ? OA ? ? AB ? ? ??? ? ??? 共线 ? OP ? mOA ? nOB 论
( m ? n ? 1)

定 义

向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,叫 行或重合 做共面向量. ? ?

??? ??? ? ? ??? ? ???? ? OP ? OA ? x AB ? y AC

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC

( x ? y ? z ? 1)

(A, B, C三点不共线)

运 用

判断三点共线,或两直线平行 判断四点共面,或直线平行于平面

主页

要点梳理
1.数量积的定义: ? ? 2.向量的夹角定义:OA ? a , OB ? b , 则?AOB ? ? ? ? a与b 共起点 ? ? 3.向量的垂直: ? ? 90? ? a ? b ? ? ? 4.投影: | b | cos ? 叫做b 在a方向上的投影 . 5.数量积的几何意义: ? ? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与b 在 a ? 的方向上的投影 | b | cos?的乘积.
主页

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?

要点梳理
? ? ? ? b 6.数量积的运算律:(1) a ? b ? ? ? a ? ? ? ? ? (2) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (? b ) ? ? ? ? ? ? ? (3) (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
? ? 7.数量积的主要性质: (设a , b是两个非零向量)

? ? |a |?|b| ? ? (4) | a ? b |≤| a | ? | b |

? ?2 ? ? | a |? a ? ?? a ? a (3) cos ? ? ?a ? b? ;

? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? 0; ? 2 ?2 ? ? (2) | a | ? a ? a ? a

(判断两个向量是否垂直)

(求向量的长度(模)的依据)
(求两个向量的夹角) (向量不等式) 主页

8.向量的直角坐标运算. ?

? 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ),则 ? ? (1)a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); ?

? (6)a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.
? ? ? 2 2 2 (7) | a |? a ? a ? ?a1 ? a2 ? a3 ;

? (2)a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); ? (3)? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R); ? ? (4)a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; ? ? (5)a / / b ? a1 ? ? b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R); ?

? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? a ?b ? (8)cos? a , b ? ? ? ? ; | a || b | a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32
主页

8.向量的直角坐标运算.

设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则 ??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ( x1 , y1 , z1 ) ??? ? (9) AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ).

??? ? 2 2 2 (10) | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) .
M=(x,y,z),若M是线段AB的中点, x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 (11) x ? ,y? ,z ? . 2 2 2
主页

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

9. 空间向量的坐标计算 平面向量
平面向量的坐标运算: ? ? a ? ? x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ( ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ); ? ? a?? (? x1 , ? y1 ), ? ? R; ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

空间向量
空间向量的坐标运算: ? ? a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ); ? ? a ?? (? x1 , ? y1 , ? z1 ), ? ? R; ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 .
若???x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) A(? 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ); ??? ? | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 x ? x2 ? x? 1 ? 2 ? y ? y2 ? C ( x , y )是AB的中点,则 ? y ? 1 2 ? ? z ? z1 ? z2 ? 2 ?

若A(???, y1 ), B( x2 , y2 ) x1? 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ); ??? ? | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2

主页

例1.正四面体O ? ABC,E、F 分别是AB、OC的中点, 求异面 直线OE、BF??? 所成角的余弦值.? ? ? ??? ? ??? ? ? 解:设棱长为1, OA ? a , OB ? b , OC ? c, ??? ? ?

O

? 1 (a ? b ), 则OE ? ??? ??? 2 ??? ? ? ? ? ? 1 OC ? 1 (c ? 2b ). BF ? BO ? ??? ??? 2 ? 2 ? ? ? ? ? A 1 (a ? b ) ? 1 (c ? 2b ) ? OE ? BF ? 2 2? ? ? ? ? ? ?2 ? 1 (a ? c ? 2a ? b ? b ? c ? 2b ) 4 ??? ?

? a

? b
E B

F?

c

C

1 ( 1 ? 1 ? 1 ? 2) ? ? 1 . 3 ,| ???? |? 3 . ? 又 | OE |? BF 4 2 2 2 2 2 1 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? OE ??? ? ? ? cos ? OE , BF ?? ??? ? BF ? 2 ? ? 2 . 3 3 | OE || BF | 4

所以,所求异面直线所成的角的余弦值为 2 . 3
主页

例 2.已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM ? 1 BD, AN ? 1 AE .

3

3

求证:MN//平面 CDE. ???? ???? ???? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ? 2 BD ? DE ? 2 AE 证明:? MN ? MD ? DE ? EN ?
??? ??? ??? 3 ??? ??? 3 ? ? ? ? ? 2 ( BC ? CD) ? DE ? 2 ( AD ? DE ) ? 3 ??? 3 ? ??? ? F ? 2 CD ? 1 DE . 3 3 ????

E N

??? ? 又 CD与DE 不共线,

???? ??? ???? ? ? CD 可知 MN , , DE 共面,

A M C

D

又MN ? 平面CDE ,
所以MN//平面CDE.
B 主页

例3.在平行六面体AC1中,AB=AD, ∠ A1AD=∠A1AB= ∠DAB=60? . (1)求证:AA1 ⊥BD; AB (2)当 AA 的值为多少时,才能使AC1⊥平面A1BD.请证明. 1 ??? ? ??? ? ???? ? ? ? D1 C1 设 AB ? a , AD ? b , AA1 ? c, 证明:
? ? ? 设 | a |?| b |? m ,| c |? n, ? ? m 2 ? ? ? ? mn ?a ? b ? ,a ? c ? b ? c ? . 2 2
A1 D B B1 C

??? ??? ??? ? ? ? ? ? A BD ? BA ? AD ? b ? a . ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AA1 ? BD ? c ? (b ? a ) ? c ? b ? c ? a ? 0,
主页

所以 AA1 ? BD.

解:根据题意,要使AC1 ? 面A1 BD,

只要AC1 ? A1 B, AC1 ? A1 D. ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? 而 A1 B ? a ? c , AC1 ? a ? b ? c . ? ? ? ? ? ? (a ? c )(a ? b ? c ) ? 0. A1 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?a ? a ? b ? a ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? 0
m ? 1 m 2 ? 1 mn ? n2 ? 0 2 2
2

D1 B1 C B

C1

D A

(3m ? 2n)(m ? n) ? 0

???? ???? ? ? ?m ? n. 同理由 AC1 ? A1 D,得m ? n. 所以当 AB ? 1时,AC1 ? 平面A1 BD. AA1
主页

P
【1】三角形 PAB 中, O 为 AB 的中点

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? 【2】三棱锥 P ? ABC 中,向量 PA ? a , PB ? b , PC ? c ? ? ? ??? ? , O 为 △ABC 的重心, 试用 a 、b 、c 表示下列向量 PO .

??? ? ??? ??? ? ? PO ? 1 PA ? PB ) ( 2

A

O

B

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? PO ? PC ? CO ? PC ? 2 CD
3 ??? ? ??? ??? ? ? ? PC ? 2 ? 1 (CA ? CB ) 3 2

P

??? ? ? ? ? A 1 a ? b ? c) PO ? ( 3

C O D

主页

B

【3】正四棱锥 P ? ABCD 中, O 为底面中心.

P

A
B

D
O C

??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? PO ? 1 PA ? PB ? PC ? PD ) ( 4
主页

? ? ? 【4】已知 {a , b , c } 是空间向量的一个基底, ? ? ? ? ? ? 则下列向量中可以与向量 p ? a ? b , q ? a ? b 构 成基底的是( D ) ? ? ? ? ? ? C. a ? 2b D. a ? 2c A. a B. b

? a
? ? a?b

? b ? ? b?c

D1

? c
? ? a?c
A
主页

C1 B1

? c

A1
? b

D

C B

? ? ? a?b?c

? a

【5】下列命题中正确的有(

? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  ? b ;
???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面; ?

B

)

???? ? ???? ???? ? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ; ?

A.1个

B.2个

C. 3个

D.4个

主页

【6】三棱锥 D-ABC 中, ?BAC ? 90?, ?DAB ? 45?, ?DAC ? 60?,

? 3 AC=4,AB=3,则二面角 B-AD-C 的余弦值是____. 3

D

BC ? 5, BE ? 3 2 , CF ? 2 3, 2 EF = 3 2 ? 2, ??? ??? ??? ??? ? 2? ? ? CB ? CF ? FE ? EB B

E F A
C

??? ??? ? ? ? FC , EB ?
2

??? ? ? 3 2 ? 2)2 ? ( 3 2 )2 ? 2 ? 2 3 ? 3 2 cos ? CF , ??? ? 5 ? (2 3) ? ( EB 2 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 ? cos ? CF , EB ?? ? cos ? EB, FC ?? ? 3 . 3 3
2

主页



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com