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指数运算与指数函数——必修一函数复习学案

指数运算与指数函数——必修一函数复习学案


八、指数运算与指数函数
知识要点
1、指数运算公式 (1) a ? a =____________________ ;
s t

2、分数指数幂
a =___________________________
a
? m n m n

(2) (a ) =_____________________ ;
s t

=_____________________________

as (3) t ? _______________________; a

(4) ?ab? ? ______________________。
s

3、根式运算: n a n ? ______________; (n a )n =________________ 二、指数函数 1、定义:一般的, y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做_____________ 2、指数函数的图像及性质
1 1 在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) y ? ( ) x , (2) y ? ( ) x (3) y ? 2 x , (4) y ? 3x , (5) 3 2

y ? 5x
结论:
a ?1 0 ? a ?1

图 像 当 x>0 时, y____1; 当 x>0 时, y____1; 性 质 当 x<0 时, y____1. 当 x<0 时,y____1. 在实数集上是 在 实 数 集 上 是 _______函数 _______函数

图像位于 x 轴上方;图像过顶点(0,1)

基础自测
1 1. (课本改编题)化简[(-2)6]2-(-1)0 的值为________. 答案 解析 7 1 1 [(-2)6]2-(-1)0=(26)2-1=23-1=7.

2. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 解析 1. 3. 若函数 f(x)=ax-1 (a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 答案 解析 3 当 a>1 时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1]. (- 2,-1)∪(1, 2) 由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,得 0<a2-1<1,∴1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-

因定义域和值域一致,故 a2-1=2,即 a= 3. 当 0<a<1 时,x∈[0,2],y∈[a2-1,0]. 此时,定 义域和值域不一致,故此时无解. 综上,a= 3. 1 4. (2012· 四川)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是 ( )

答案 解析

D 1 1 当 a>1 时,y=ax-a为增函数,且在 y 轴上的截距为 0<1-a<1,排除 A,B.

1 1 当 0<a<1 时,y=ax-a为减函数,且在 y 轴上的截距为 1-a<0,故选 D. 5. 设函数 f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1) ,f(2)=4,则 A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2) ( )

答案 解析

A ∵f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1),f(2)=4,

1 ∴a-2=4,∴a=2, ?1? ∴f(x)=?2?-|x|=2|x|,∴f(-2)>f(-1),故选 A. ? ?

典型例题
题型一: 指数的化简与计算 例 1. 将下列各式用另一种形式表示出来
5

a

4


3

1

?a ? 5?4



?a

2

?b

3 2 4

?



8a b

-

5 6

2 3

例 2. 化简下列各式 (1)
3

?? 7 ?

3



?? 9?

2



4

?3 ? ? ?

4

(2) (2 a b ) (-6 a b )÷ (-3 a b )

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(3) ?0.0001 ?

?

1 4

? 49 ? + ?27 ? - ? ? ? 64 ?
2 3

?

1 2

?1? +? ? ?9?

?1.5

(4)

a2 b

b3 4 a a b3

? 10 ? 3 ? 7? 练习: (1) ? 2 ? + 0.1?2 + ? 2 ? + ? 0 ? 27 ? ? 9?

0.5

?

1

(2)

m ? m ?1 ? 2 m
? 1 2

?m

1 2

(3) a ? 2a ? a(0 ? a ? 1 )

4 3

2 3

1

例 3. 已知 a 2 + a

?

1 2

=3,求下列各值 (2) a 2 + a ?2 (3)
a2 ?a
1 3 ? 3 2 1 2

(1) a ?1 +a

a2 ?a

变式训练: 2 ? ( 2k ?1) ? 2 ? ( 2k ?1) ? 2 ?2k 等于 A. 2 ?2k B. 2 ? ( 2k ?1)

( C. - 2 -(2k ?1)

) D.2

4x 练习: f ( x) ? x ,若 0 ? a ? 1 ,求 4 ?2

(1)

f ( x) ? f (a) ? f (1 ? a)

的值

1 2 3 1000 )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( ) 的值 (2) f ( 1001 1001 1001 1001

(二) 指数函数 题型一:判断指数函数 例1. 若函数 f ?x? ? (a ? 3)(2a ? 1) x 是指数函数,求 a 的值。

例2.

指数函数 f(x)图象经过点(2,9) ,求 f(1)及 f(-2)

题型二. 指数型函数 1. 定义域、值域 例 1. 求出下列函数的定义域和值域 (1) y= 2
1 x ?2

?1? (2)y= ? ? ?2?

2x ?x 2

(3) y= 4 x - 2 x ?1 +1

(4)f(x)=

2x 2x ? 2

变式训练: (1)求函数 y ? 1 ? 6x?2 的定义域和值域. 解:由题意可得 1 ? 6 x ? 2 ≥ 0 ,即 6x ?2 ≤1 , ∴ x ? 2 ≤ 0 ,故 x ≤ 2 . 令 t ? 6 x ? 2 ,则 y ? 1 ? t , 又∵ x ≤ 2 ,∴ x ? 2 ≤ 0 . ∴ 0 ? 6 x ? 2 ≤1 ,即 0 ? t ≤1 . ∴ 0 ≤1 ? t ? 1 ,即 0 ≤ y ? 1 .
1? . ∴函数的值域是 ?0, 2? . ∴函数 f ( x) 的定义域是 ? ?∞,

评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.

(2)设 解:设

,求函数 ,由 知,

的最大值和最小值.

,函数成为 小值为 . 2. 单调性 例1. ,因端点 较 距对称轴



,对称轴 远,故函数的最大值为

,故函数最

?1? 求函数的单调区间(1)y= ? ? ?5?

x 2 ?2 x

(2)

y= 3x

2

?2 x ?7

例2.

y= 4 x - 2 x ?1 +5 定义域、值域、单调性

3. 奇偶性 例1. f(x)=
ex ? e?x ①判断函数奇偶性 2

②在(0,+ ? )时 f(x)的单调性

例 2、若函数 .解: 即 则 变式训练:已知函数 f(x)= 为奇函数,

是奇函数,求 , ,

的值.


a x ?1 (a>0 且 a≠1). ax ?1

(1) 求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性.

例 3、判别函数 f ? x ? ?

1 1 ? 的单调性及奇偶性,并证明。 2 ?1 2
x

4. 图象 例 1. (1) y ? a x ? b 过一、三、四象限,是确定 a、b 范围

(2) 函数 y ? a x ? (b ? 1)(a ? 1且a ? 1) 图象在第一、三、四象限,则必有(
A.0 ? a ? 1, b ? 1 B.0 ? a ? 1, b ? 0 C.a ? 1, b ? 1 D.a ? 1, b ? 0



(3) 函数 y= 2 x ?3 +3 恒过定点

例 2. (1)已知函数 f ( x) ? 2 x ,在同一坐标系中画出下列图象 ① 2 x 与2 x?1 ② 2 x 与2 x ? 1 ③ 2 x 与2? x ④ 2x 与 ? 2x ⑤ 2 x 与2|x| ⑥ 2x 与 | 2x |

(2)画出 y= 2

x ?1

?1? , y ? 2? ? , y ? 2 x ? 2 图象,并由图象指出单调区间 ?2?

x

xax 变式训练:(1)画出 y= ?0 ? a ? 1? 的图象,并指出其单调性 x

(2)为了得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3x 的图象( A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度

) .

分析:注意先将函数 y ? 9 ? 3x ? 5 转化为 t ? 3x ? 2 ? 5 ,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵ y ? 9 ? 3x ? 5 ? 3x?2 ? 5 ,∴把函数 y ? 3x 的图象向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长 度,可得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,故选(C) . 题型三. 单调性应用 1、 比较指数幂大小

?3? 例 1、 (1) ? ? ?4?

?1.8

?3? 与? ? ?4?

?2.6

?5? 3 (2) ? ? 与 1 ?8?

?

2

?1? (3) ? ? 与 3?0.3 (4) 0.7 2 与7 2 ? 3?

0.3

变式训练:(1) ?0.6?

?2

?4? 与? ? ?3?

?

2 3

(2) 0.5 与 0.6
0 .6

0.5

(3) 2 与 0.5
0 .5

2

? 1 ?3 ? 1 ?3 ? 1 ?3 (4) ? ? 、 ? ? 、 ? ? ?2? ?2? ?5?

1

2

2

例 2、已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则 f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关系是_____. 分析:先求 b,c 的值再比较大小,要注意 b x,c x 的取值是否在同一单调区间内. 解:∵ f (1 ? x) ? f (1 ? x) , ∴函数 f ( x) 的对称轴是 x ? 1 . 故 b ? 2 ,又 f (0) ? 3 ,∴ c ? 3 .
1? 上递减,在 ?1 , ? ∞? 上递增. ∴函数 f ( x) 在 ? ?∞,

若 x ≥ 0 ,则 3x ≥ 2x ≥1 ,∴ f (3x ) ≥ f (2x ) ; 若 x ? 0 ,则 3x ? 2x ? 1 ,∴ f (3x ) ? f (2 x ) . 综上可得 f (3x ) ≥ f (2x ) ,即 f (c x ) ≥ f (b x ) . 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参 数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.

(二)求值域或最值 例1. 函数 f ?x? ? a x (a ? 0且a ? 1) ,在区间[1,2]上最大值比最小值大
a ,求 a 的值 2

例2.

已知函数 f ?x? ? 4 x ? 5 ? 2 x?1 ? 1 ,求函数在区间[0,2]上的最大值和最小值。

(三)解函数方程或不等式 1、 解方程

例 1. (1) 4 + 2
x

x ?1

-3=0

?1? ?1? (2) ? ? + ? ? -2=0 ?9? ?3?

x

x

?1? ?1? (3) ? ? + ? ? ? 4? ?2?

x

x ?1

+a=0 有正数解,求 a 的范围

例 2、 2 x = 3 x ?1

变式训练:解方程 3x ? 2 ? 32? x ? 80 . 解:原方程可化为 9 ? (3x )2 ? 80 ? 3x ? 9 ? 0 ,令 t ? 3x ( t ? 0) ,上述方程可化为 9t 2 ? 80t ? 9 ? 0 ,解得 t ? 9 或
1 ,∴ 3x ? 9 ,∴ x ? 2 ,经检验原方程的解是 x ? 2 . t ? ? (舍去) 9

评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.

2、解不等式

?1? 例 1. ? ? ? 2?

x 2 ?2

≤2

?1? 例 2. 若 a ? 0且a ? 1 ,解关于 x 的不等式 ? ? ?a?

x 2 ?8

? a ?2 x 。

变式训练:解不等式 a 2 ? a ? 2 > a 2 ? a ? 2

?

? ?
x

?

1- x

?x ? ?2 1? 1 例 3. f ( x) ? ? 2 ? ? x

?x ? 0? 若 则 x 0 的取值范围 ?x>0? f ( x0 ) ? 1

综合练习
x 例 1.函数 y ? 2
2

? 2 ax?1

? 1 的定义域恒为 R,则 a 的取值范围

2x x 例 2. y ? a ? 2a ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间[-1,1]上有最大值 14,则 a 的值

?1? f ( x) ? ? ? , x ? [?1,1] 2 例 3. ,函数 g ( x) ? [ f ( x)] ? 2af ( x) ? 3 g 最小值为 ?(a) ? 3?
(1)求 ?(a) ; (2)是否存在实数 m、n,同时满足下列条件: ① m ? n ? 3 ; ② 当 ?(a) 定义域为[n,m]时,值域 为[ n 2 , m 2 ],若存在,求出 m、n 值;若不存在,说明理由

x

例4(1)已知 f ( x ) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x

(2)画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程 | 3x ? 1 |? k 无 解?有一解?有两解? 解: (1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数 y ?| 3x ? 1 | 的图象无交点,即方程无解;
x 当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有唯一的交点,所以方程有一解;

当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y ?| 3x ? 1 | 的图象有两个不同交点,所以方程有两解。 例 5、15、已知函数 f(x)=a-
2 (a∈R) , 2 ?1
x

(1) 求证:对任何 a∈R,f(x)为增函数. (2) 若 f(x)为奇函数时,求 a 的值。 例 6、16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ?
2x 4 x ?1

(1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解. 解(1)∵x∈R 上的奇函数 ∴ f (0) ? 0 又∵2 为最小正周期 ∴ f (1) ? f (2 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0

设 x∈ ( - 1 , 0 ) , 则 - x∈ ( 0 , 1 ) , f (? x) ? <x1<x2<1, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 xx ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

2?x 4
?x

?1

?

2x 4 ?1
x

? ? f ( x)

∴ f ( x) ? ?

2x 4 x ?1

(2)设

=

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

? 0 ∴在(0,1)上为减函数。

(3)∵ f ( x) 在(0,1)上为减函数。
1 2

∴ f (1) ? f ( x) ? f (0)
2 5

即 f ( x) ? ( , )
1 2 2 5 2 1 5 2

2 1 5 2

同理 f ( x) 在(-1,0)时, f ( x) ? (? ,? ) 又 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 0 ∴当 ? ? (? ,? ) ? ( , ) 或 ? ? 0 时
f ( x) ? ?

在[-1,1]内有实数解。
? 2x ? b 是 R 上的奇函数。 2 x ?1 ? a

例 7、已知函数 f ?x ? ?

(1)求实数 a , b 的值; (2)若对任意实数 t,不等式 f t 2 ? 2t ? f 2t 2 ? k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范 围。

?

? ?

?

千思百练 (一 指数运算)
1、化简[ (?5) ] 的结果为 (
3 2

3 4

B ) D.-5 )
5

A.5

B. 5

C.- 5

2、将 3 ? 2 2 化为分数指数幂的形式为( A
1 1

A. ? 2 2

B. ? 2 3

C. ? 2

?

1 2

D. ? 2 6 )

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? 32 16 8 4 *3、化简 ?1 ? 2 ??1 ? 2 ??1 ? 2 ??1 ? 2 ??1 ? 2 2 ? ,结果是( A ?? ? ? ?? ?? ??
1 ? ? 1? 32 A、 ?1 ? 2 ? 2? ? ?1 1 ? ? ? 32 B、 ?1 ? 2 ? ? ? ?1
? 1 32

C、 1 ? 2

1 ? ? 1? 32 D、 ? 1 ? 2 ? 2? ?

1 4、 0.027 ? (? ) ?2 ? 2564 ? 3?1 ? 1=__________.19 7
?

1 3

3

5、

a a

2 3 1 23

b b

?

? a ?1 b ?1 ? 3 ?( ) =__________. a 6 b 6 b a

2

1

5

7 10 ? 37 6、 (2 ) 2 ? 0.1?2 ? (2 ) 3 ? 3? 0 ? =__________。100 9 27 48 1 7、 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) =__________。 ? 9a 3
6 3 (3 2 ? 3) ? ( 2 2) ?( 4 8、 4

1

2

2

1

1

1

1

5

16 ? 1 0 )2 ? 4 2 ? 80.25 ? (? 2005) =__________。100 49

9、已知 x ?
1 2

2 ab 1 a b 的值。 2a ( ? ), (a ? b ? 0), 求 2 b a x ? x2 ?1
3

10、若 x ? x

?

1 2

x2 ? x 2 ?3 1 的值。 ? 3 ,求 2 ?2 3 x ? x ?2

?

3

(二 指数函数)
1 、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备的价值为 ( D ) B、 a(1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%)n ] 。0 A ) C、
1 50

A、 na(1 ? b%)

D、 a(1 ? b%)n

2、若 f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ? 3、若 102 x ? 25 ,则 10? x 等于 A、
1 5



B、 ?

1 5

D、

1 625

4、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格比较,变化的 情况是( A ) B、增加 7.84% C、减少 9.5%
1 27

A、减少 7.84%

D、不增不减

5、已知指数函数图像经过点 p(?1,3) ,则 f (3) ? 6、方程 2|x|+x=2 的实根的个数为___2____

1 7、 直线 y ? 3a 与函数 y ? a x ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点, 则 a 的取值范围是________ 。( 0, ) 3

8、当 x ? 0 时,函数 f ( x) ? ? a 2 ? 1? 的值总是大于 1,则 a 的取值范围是_____ a ? 2或a ? ? 2 _____
x

9、若 ? 1 ? x ? 0 ,则下列不等式中成立的是(

B )
?x

A.5

?x

?1? ?5 ?? ? ? 2?
x

x

?1? B.5 ? ? ? ? 5 ? x ? 2?
x

x

C.5 ? 5
x

?1? ?? ? ? 2?

x

?1? D.? ? ? 5 ? x ? 5 x ? 2?

x

10、当 a ? 0 时,函数 y ? ax ? b 和 y ? b ax 的图象只可能是

( A



11、 (2005 福建理 5)函数 f ( x) ? a x?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是 ( A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 12、下列函数中,值域为 ?0,??? 的函数是( D
x

D )



A. y ? 3

2 x

B. y ? 2 ? 1
x

C. y ? 2 ? 1

?1? D. y ? ? ? ?2?

2? x

13、设集合 S ? {y | y ? 3x , x ? R}, T ? {y | y ? x2 ?1, x ? R} ,则 S T 是 A、 ? B、 T C、 S (A )



C



D、有限集

14、 (2005 湖南理 2)函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域是 A、 ?? ?,0? B、[0,+∞) C、 (-∞,0)

D、 (-∞,+∞)

15、若函数 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,求函数 y ? 2 x?2 ? 2 ? 4 x 的最大值和最小值。2 和-96 1 1 16、已知 x ?? ?3, 2? ,求 f ( x) ? x ? x ? 1 的最小值与最大值。 4 2

f ( x) ?

1 1 1? 3 ? ? x ? 1 ? 4? x ? 2? x ? 1 ? 2?2 x ? 2? x ? 1 ? ? 2? x ? ? ? , x 4 2 2? 4 ?

2

1 ∵ x ?? ?3, 2? , ∴ ≤ 2? x ≤ 8 . 4 1 3 则当 2? x ? ,即 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 ;当 2? x ? 8 ,即 x ? ?3 时, f ( x) 有最大值 57。 2 4 2 17、若函数 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,求函数 y ? 2 x?2 ? 2 ? 4 x 的最大值和最小值。2 和-96 1 1 18、已知 x ?? ?3, 2? ,求 f ( x) ? x ? x ? 1 的最小值与最大值。 4 2

1 1 1? 3 ? f ( x) ? x ? x ? 1 ? 4? x ? 2? x ? 1 ? 2?2 x ? 2? x ? 1 ? ? 2? x ? ? ? , 4 2 2? 4 ?
1 ∵ x ?? ?3, 2? , ∴ ≤ 2? x ≤ 8 . 4

2

则当 2? x ?

1 3 ,即 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 ;当 2? x ? 8 ,即 x ? ?3 时, f ( x) 有最大值 57。 2 4

19、如果函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在 ?? 1,1?上的最大值为 14,求实数 a 的值。
a ? 3或 a ?

1 3

20、若函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围。

y ? 4x ? 3 ? 2x ? 3 ? 22 x ? 3 ? 2x ? 3 ,依题意有
?(2 x ) 2 ? 3 ? 2 x ? 3 ≤ 7 ? ??1 ≤ 2 x ≤ 4 ? 即 ,∴ 2 ≤ 2x ≤ 4或0 ? 2x ≤1, ? x 2 ? x x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ≥ 1 ? ?2 ≥ 2或2 ≤ 1

由函数 y ? 2x 的单调性可得 x ? (??,0] [1, 2] 。 21、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9 0.48

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

?1.5

,则



C

) D、 y1 ? y2 ? y3 ( D )

A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2

2 2 22、设 a ? ( )1.5 , b ? ( ) ?1.2 . 那么实数 a 、 b 与 1 的大小关系正确的是 3 3 A. b ? a ? 1 B. a ? b ? 1 C. b ? 1 ? a
1 ?1 1
1 1

D. a ? 1 ? b
?1

? 2? ?2? 23、 2 2 , ? ? ,3 3 的大小顺序有小到大依次为__________。 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? 3? ?3?
24、设 0 ? a ? b ? 1, 则下列不等式正确的是(
A.a a ? b b B.b a ? b b
2

C


D.b b ? a a

C.a a ? b a

25、函数 f ( x) ? 2 x A. [6,+ ?) 26、函数 f ( x) ? A.增函数

?2( a?1) x?1

在区间 [5,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 C. (??,6] A ) D. (??,6)

(C )

B. (6,??)

a x ?1 ? b x ?1 (a ? 0, b ? 0, a ? b) 的单调性为( ax ? bx

B.减函数

C.常数函数

D.与 a, b 取值有关

27、 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x . (Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: f ( x) 是区间 (0,??) 上的增函数; (Ⅱ) 若 f ( x) ? 5 ? 2 ? x ? 3 ,求 x 的值. 解:(Ⅰ) 设 0 ? x1 ? x2 ? ?? , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 x1 ? 2 ? x1 ) ? (2 x2 ? 2 ? x2 )
? (2 x1 ? 2 x2 ) ? ( 1 1 2 x2 ? 2 x1 (2 x1 ? 2 x2 )(2 x1 ? x2 ? 1) x1 x2 ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ………4 分 2 x1 2 x2 2 x1 ? 2 x2 2 x1 ? x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? ?? , ∴ 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0 ,

x1 ? x2 ? 0 ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? 0 , 2 x1 ? x2 ? 0
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .∴ f ( x) 是区间 (0,??) 上的增函数 …………8 分 (Ⅱ) f ( x) ? 5 ? 2 ? x ? 3 ? 2 x ? 2 ? x ? 5 ? 2 ? x ? 3
? 2 x ? 4 ? 2?x ? 3 ? 0

? (2 x ) 2 ? 3 ? 2 x ? 4 ? 0 ? (2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 0

……………………

∵ ? (2 x ? 1) ? 0 ∴ 2 x ? 4 ? 0 ? 2 x ? 4 ∴x ? 2 …………………………………………………………12 分
x2 ? 2 x ?5

?1? 28、已知函数 y ? ? ? ? 3?
U

,求其单调区间及值域。

?1? 令 y ? ? ? , U ? x2 ? 2 x ? 5 ,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是 ? ??, ?1? 上的减函数,? ?1, ?? ? 上的增函数, ? 3?

?1? ∴ y?? ? ? 3? ?1? ∴y?? ? ? 3?

x2 ? 2 x ?5

在 ? ??, ?1? 上是增函数,而在 ? ?1, ?? ? 上是减函数,又∵ U ? x2 ? 2x ? 5 ? ( x ? 1)2 ? 4 ≥ 4 ,
? ? 1 ?4 ? 的值域为 ? 0, ? ? ? ? ?3? ? ? ?

x2 ? 2 x ?5

28、如果函数 f ( x) 在区间 ? 2,4 a ? 2 a 上是偶函数,则 a =__1_______ 29、函数 y ? A、奇函数
2x ? 1 是( 2x ? 1

?

?

A

) C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

B、偶函数
x

1 1 是奇函数,则 a =_________ ? 2 4 ?1 1 1 31、若函数 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a =_________ 2 4 ?1

30、若函数 f ( x) ? a ?

2 ? ? 32、 F ( x) ? ?1 ? x ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( A ) ? 2 ?1 ?

A、是奇函数 C、是偶函数

B、可能是奇函数,也可能是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数

33、设函数 f ( x) ? a ?

2 , 2 ?1
x

(1) 求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数; (2) 确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数及此时 f ( x) 的值域. 解: (1)
f ( x) 的定义域为 R, ? x1 ? x2 ,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ?

2 2 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? a ? = , 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数. (2)
f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ?
2 2 ? ?a ? x , 2 ?1 2 ?1
?x

解得: a ? 1. ? f ( x) ? 1 ? (3) 由(2)知 f ( x) ? 1 ?
??2 ? ?
x

2 . 2 ?1
x

2 , 2 ?1
x

2 x ? 1 ? 1 ,? 0 ?

2 ? 2, 2 ?1
x

2 ? 0?? , ? 1 f x (? ) 2 ?1

1

所以 f ( x) 的值域为 (?1,1). 34、已知函数 f ( x) ?
a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x) 是 R 上的增函数。 (1)∵定义域为 x ? R ,且 f (? x) ?
a? x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x),? f ( x) 是奇函数; a? x ? 1 1 ? a x

(2) f ( x) ?

ax ?1? 2 2 2 ? 1? x ,∵a x ? 1 ? 1,? 0 ? x ? 2, 即 f ( x) 的值域为 ? ?1,1? ; x a ?1 a ?1 a ?1

(3)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a x1 ? 1 a x2 ? 1 2a x1 ? 2a x2 ? ? ? 0 (∵分母大于零,且 a x1 ? a x2 ) x1 x2 x1 x2 a ? 1 a ? 1 (a ? 1)(a ? 1)

∴ f ( x) 是 R 上的增函数。



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