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高二理科数学月考题考题

高二理科数学月考题考题


2013-2014 学年(上)高 2015 级中期考试 数学(理科)试题
考生须知:1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 3.考试结束后,只需上交答题卷。 参考公式:侧面积: S 圆柱: S ? 2? rl 圆锥: S ? ? rl 体积: V 柱体: V ? sh 锥体: V ?

1 sh 3 1 ( S ? S 上 S 下 ? S 下 )h 3 上

圆台: S ? ? r ? R)l (

圆台: V ?

球:

S ? 4? R2

球: V ?

4 ? R3 3

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.若方程 Ax ? By ? C ? 0 表示直线,则 A、B 应满足的条件为( A. A ? 0 B. B ? 0 C. )

A 2 ? B 2 ? 0 D. A ? B ? 0


2. 点 ?1, ?1? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是(
2 3 2 B. 2 2 3.在下列命题中,不是公理的是( ..

A.

C.


3 2

D.

1 2

A.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面; B.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内; C.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 D.平行于同一个平面的两个平面相互平行. 4. 设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四种说法: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? || ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m || ? , n || ? ,则 ? || ? ;
1

③若 ? || ? , l ? ? ,则 l || ? ; ④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l || ? ,则 m || n 其中正确的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

王新敞
奎屯

新疆

5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A. -1 或 3 B.1 或-3 C.1 或 3 D. -1 或 3 )

6.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A.

2? 3

C. 8 ? 2?

? 3 2? D. 8 ? 3
B. 8 ?

7.直线 x sin ? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A.



[0, ? )

B. [0,

?
6

]?[

5? ,? ) 6

C. [

? 5?
6 , 6

]

D. [0,

?

] ? [ ,? ) 6 2

?

8.已知函数 y ? ( )

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx ? 2 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是

A. (0,1) ? (1,4)

B. (0,4)

C . (??,0) ? (4,??)

D. (1,4)

9.如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是侧 面 CDD1C1 上的动 点, B1 F //平面 A1 BE , B1 F 与平面 CDD1C1 且 则 所成角的正切值构成的集合是 ( A D. ?t | . )

?2?

B . ?

?2 ? 5? ?5 ?

C .

?t | 2 ? t ? 2 2?

? ?

2 ? 5 ? t ? 2? 5 ?

10.曲线 A.

x y ? ? 1 与直线 y ? 2 x ? m 有两个交点,则 m 的取值范围是( 2 3
B. ?4 ? m ? 4 C.



m ? 4或m ? ?4

m ? 3或m ? ?3
2

D. ?3 ? m ? 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,摸棱两可均不得分.) 11.直线 x ? y ? 1 ? 0 的斜率是______________ 12.若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为 13. 无论 m 为何实数,直线 3(m ? 1) x ? 2(m ? 1) y ? 12 ? 0 恒过定点 14.过点 P(? 2, 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 __________________. 15..如图①,一个圆锥形容器的高为 a=2,内装有高度为 h 的一定 量的水,如果将容器倒置, 这时水所形成的圆锥的高恰为 1 如图②) ( , 则图①中的水面高度 h ? 。 。 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. 16.求经过直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 分别垂直、 平行的 .. 直线方程。

17.叙述并作图证明直线与平面平行的性质定理。 ..

18. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角 梯,

AD ? BC , ?BAD ? 90? , PA ? 底面ABCD ,且

PA ? AD ? AB ? 2 BC , M、N 分别为 PC、PB 的中点.
(1)求证: PB ? DM ; 正弦值。 (2)求 CD 与 平面ADMN 所成角的

3

19.四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0),A(6, 2),B(4,6),C(2,6) ,直线

1 y ? kx( ? k ? 3) 把四边形 OABC 分成两部分, S 表示靠近 x 轴一侧那部分的面积。 3 (1)求 S ? f (k ) 的函数表达式;
(2)当 k 为何值时,直线 y ? kx 将四边形 OABC 分为面积相等的两部分。

20.如图,四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且

AB ? 1,BC ? 2,?ABC ? 60? , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面ABCD .
(Ⅰ)证明: 平面A AE ? 平面A DE ; 1 1 (Ⅱ)若 DE ? A1E ,试求异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C ? A1D ? E 的余弦值.
A1 B1 D1

C1
A

D
E

B

C

21.在平面直角坐标系 xoy 中,O 是坐标原点, 设函数 f ( x) ? k ( x ? 2) ? 3 的图象为直线 l , l 与 且

x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,探究正实数 m 取何值时,使 ?AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有一
条;仅有两条;仅有三条;仅有四条.

4

万州三中 2013-2014 学年(上)高 2015 级中期考试 数学(理科)试题答案 (评分标准仅供参考)
一.选择题:1-10 CADBB DBACA

二、填空题 11. ?1

3 ? 12. 3 13。(-2,3)
15.

14. x+y-1=0 或 2y+3x=0. 三、解答题:

2?3 7

1 ? ?x ? ? 5 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0 1 9 ? 16.解:联立方程组 ? 解得 ? ,即交点为 (? ,? ) ……………4 分 5 5 ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? ? 9 ? 5 ?
直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 ? 3 ……………………5 分 与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 y ?

9 1 1 ? ( x ? ) ,即 5 3 5

5x ? 15y ? 26 ? 0 ;……………………9 分
与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程为 y ?

9 1 ? ?3( x ? ) ,即 5 5

15x ? 5 y ? 12 ? 0 ……………………13 分
17.

【答案】解:(1)如图以 A 为原点建立空间直角坐标系

5

A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,1,0),D(0,2,0) M(1, E(0,m,2-m),P(0,0,2)

1 ,1),N(1,0,1), 2 ??? ? ???? ? 3 ,1) PB ? (2,0,-2), DM ? (1,2

??? ???? ? ? ? PB ? DM =0

? PB ? DM …………6 分 ??? ? ? (2) CD =(-2,1,0)平面 ADMN 法向量 n =(x,y,z) ? ???? ???? ? ???? ?n ? AD ? 0 ?2 y ? 0 ? AD =(0,2,0) AN =(1,0,1) ? ? ???? n =(1,0,-1) ? ?n ? AN ? 0 ? x ? z ? 0 ?

??? ? ? | CD ? n | 2 10 ? 设 CD 与平面 ADMN 所成角 α ,则 sin ? ? ???? ? ? ……13 分 ? 5 | CD |? | n | 5? 2
18.叙述并证明直线与平面平行的性质定理。 (证明过程见教材必修 2 第 59 页) 性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行……3 分 证明过程 如图,已知: a ?? , a ? ? , ? ? ? ? b ,求证: a ? b ……6 分 证明:因为 ? ? ? ? b ,所以 b ? ? 又因为 a ? ? ,所以 a 与 b 无公共点。 又因为 a ? ? , b ? ? , 所以 a ? b ……13 分

β
α

a b

19.1)如图所示,由题意得 kOB ?

3 2

6

1 3 (1)当 ? k ? 时, 直线y ? kx与线段AB : 2 x ? y ? 14相交。 3 2 ? y ? kx 14 14k 由? 解得交点为P ( , ) 1 k ?2 k ?2 ?2 x ? y ? 14 14(3k ? 1) 因为点P 到直线OA : x ? 3 y ? 0的距离为d ? 1 10( k ? 2) 1 14(3k ? 1) 所以S ? OA ? d ? 2 (k ? 2) 3 3 6 (2)当 ? k ? 时, 直线y ? kx与线段BC : y ? 6相交于点P2 ( , 6) 2 2 k 1 6(3 ? k ) 所以S ?OP2C ? P2C ? 6 ? 2 k 又因为S四边形OABC ? S ?AOB ? S ?OBC ? 14 ? 6 ? 20

所以S ? S四边形OABC -S ?OP2C ? 26 ? ?14(3k ? 1) ? (k ? 2) ? 故S ? f ( k ) ? ? ?26 ? 18 ? k ?

18 , k 1 3 ( ?k? ) 3 2 3 3 ( ?k? ) 2 2
14(3k ? 1) 17 = 10,解得k = . (k ? 2) 16

2)若要直线y = kx平分四边形OABC的面积,由1)知只需

20.

A1 B1 C1
A B

D1

D
E

C

【答案】解(Ⅰ)依题意, BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD 2
7

所以 ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60
0 所以 ?AED ? 90 , DE ? AE

0

又 ?CED ?

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 2

因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE 因为 AA ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE 1 因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF . ……4 分

,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D 因为 DE ? 3 , A1 E ?

所以 ? AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角 所以 A1 A ?

A1 A 2 ? AE 2 ,

2 , BF ?

1 6 2 , AF ? EF ? ?1 ? 2 2 2
……8 分

所以 cos?AEF ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ? 2 ? AE ? EF 6

(Ⅰ)(Ⅱ)解法 2:以 A 为原点,过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、 1 所 AA 在直线为 z 建立右手系空间直角坐标系 设 AA1 ? a ( a ? 0 ), A(0 , 0 , 0) 则 D(0 , 2 , 0) A1 (0 , 0 , a) E ( (Ⅰ)设平面 A1 AE 的一个法向量为 n1 ? (m , n , p) ,

3 1 , , 0) 2 2

? 3 1 m? n ?0 ?n1 ? AE ? 则? 2 2 ?n ? AA ? ap ? 0 1 ? 1
p ? 0 ,取 m ? 1 ,则 n ? ? 3 ,从而 n1 ? (1 , ? 3 , 0) ,
同理可得平面 A1 DE 的一个法向量为 n 2 ? ( 3 , 1 ,

2 ), a

直接计算知 n1 ? n2 ? 0 ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)由 DE ? A1 E 即 (

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 2 2 2 2
8

解得 a ?

2

AE ? (

3 1 , , 0) , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 2 2
| AE ? A1 D | | AE | ? | A1 D | ? 6 6

所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值 cos? ? (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 A1 A ? 又 CD = ? ?

?? ? 2 ,平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 ,

2)

??? ? ?

? ???? ?? ? ? ? ? A1 D ? n3 =0 ?? ? ? ? 得 n3 = 1, 3, 6 ? ??? ?? ? CD ? n3 =0 ?

?? ? 3 1 ? , ,0 ? , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 设 平 面 C A D的 法 向 量 n3 = ? x,y,z ? 则 1 2 2 ? ?

?

?

设二面角 C -A1D-E 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n2 ? n3 4 3 2 5 则 cos ? = cos n2 ,n3 = ?? ?? = ? ? = 5 10 ? 6 n2 n3

所以二面角 C -A1D-E 的余弦值为

2 5 5

……12 分

21.【解析】显然直线 f(x)=k(x-2)+3 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 A( 2 ? 当 k<0 时,△AOB 的面积为 即 4k -(12-2m)k+9=0.
2

3 ,0 ),B(0,3-2k); k

1 3 1 3 (2 ? ) ? 3 ? 2k ?, 依题意得, (2 ? ) ? 3 ? 2k ? = m, 2 k 2 k

又因为Δ =[-(12-2m)] -4×4×9,且 m>0,所以,m=12 时,k 值唯一,此时直线 l 唯一;m> 12 时,k 值为两个负值,此时直线 l 有两条; 当 k>0 时,△AOB 的面积为 ? 4k -(12+2m)k+9=0, 又因为Δ =[-(12+2m)] -4×4×9=4m +48m, 且 m>0,所以Δ >0,对于任意的 m>0,方程总有两个不同的解且都大于零,此时有两条直线; 综上可知:不存在正实数 m,使△AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有一条;当 0<m<12 时,直线
2 2 2

2

1 3 1 3 (2 ? ) ? 3 ? 2k ?, 依题意得,- (2 ? ) ? 3 ? 2k ? = m, 即 2 k 2 k

l 有两条;当 m=12 时,直线 l 有三条;当 m>12 时,直线 l 有四条.

9

10



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