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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 三角函数的图象与性质学案 理 新人教A版

【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 三角函数的图象与性质学案 理 新人教A版


三角函数的图象与性质
导学目标: 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象, 了解三角函数的周期性.2. 理解正弦函数、 余弦函数在区间[0,2π ]上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的 ? π π? 交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2?

自主梳理 1.三角函数的图象和性质 函数 y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 在 ______________________ 上增,在 ______________________ ____________上减 在 ______________________ ____上增,在 ______________________ ________上减 在定义域的每一个区间 ______________________ __________内是增函数

单调性

2.正弦函数 y=sin x 当 x=____________________________________时,取最大值 1; 当 x=____________________________________时,取最小值-1. 3.余弦函数 y=cos x 当 x=__________________________时,取最大值 1; 当 x=__________________________时,取最小值-1. 4.y=sin x、y=cos x、y=tan x 的对称中心分别为____________、___________、 ______________. 5.y=sin x、y=cos x 的对称轴分别为 ______________和____________,y=tan x 没有对称轴. 自我检测 1.(2010·十堰月考)函数 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区 间 [ - π , 0] 上 的 图 象 如 图 所 示 , 则 ω 为 ( )

A.1 2 . 函 数 ( )

C.3 D. 4 π? ? y = sin ?2x+ ? 图 象 的 对 称 轴 方 程 可 能 是 3? ?

B.2

1

π A.x=- 6 π C.x= 6

π B.x=- 12 π D.x= 12 x ? π? 3 sin ? - ? , x ∈ R 的 最 小 正 周 期 为 ?2 4 ?

3 . (2010· 湖 北 ) 函 数 f(x) = (

) π A. B.π C.2π D.4π 2 2 4.(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x 的最 小 正 周 期 为 ( ) A.4π B.3π C.2π D. π 4 π ? ? 5.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? ,0?中心对称,那么|φ |的最小值为 ? 3 ? ( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

探究点一 求三角函数的定义域 例1 (2011·衡水月考)求函数 y= 1 2+log x+ tan x的定义域. 2

变 式 迁 移 1 函 数 y = 1-2cos x + lg(2sin x - 1) 的 定 义 域 为 ________________________. 探究点二 三角函数的单调性 ?π ? 例 2 求函数 y=2sin? -x?的单调区间. ?4 ?

?π ? 变式迁移 2 (2011·南平月考)(1)求函数 y=sin? -2x?,x∈[-π ,π ]的单调递减 ?3 ? 区间; ?π x? (2)求函数 y=3tan? - ?的周期及单调区间. ? 6 4?

探究点三 三角函数的值域与最值 例3 π π 已知函数 f(x)=2asin(2x- )+b 的定义域为[0, ],函数的最大值为 1,最 3 2

2

小值为-5,求 a 和 b 的值.

变式迁移 3 设函数 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,试确定 g(x)= π bsin(ax+ )的周期. 3

转化与化归思想的应用 例 (12 分)求下列函数的值域: 2 (1)y=-2sin x+2cos x+2; π (2)y=3cos x- 3sin x,x∈[0, ]; 2 (3)y=sin x+cos x+sin xcos x. 【答题模板】 2 2 解 (1)y=-2sin x+2cos x+2=2cos x+2cos x 1 2 1 =2(cos x+ ) - ,cos x∈[-1,1]. 2 2 当 cos x=1 时,ymax=4, 1 1 1 当 cos x=- 时,ymin=- ,故函数值域为[- ,4].[4 分] 2 2 2 π (2)y=3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ ) 6 π π π 2π ∵x∈[0, ],∴ ≤x+ ≤ , 2 6 6 3 π 2π ∵y=cos x 在[ , ]上单调递减, 6 3 1 π 3 ∴- ≤cos(x+ )≤ 2 6 2 ∴- 3≤y≤3,故函数值域为[- 3,3].[8 分] t2-1 (3)令 t=sin x+cos x,则 sin xcos x= ,且|t|≤ 2. 2 2 t -1 1 2 ∴y=t+ = (t+1) -1,∴当 t=-1 时,ymin=-1; 2 2 1 当 t= 2时,ymax= + 2. 2 1 ∴函数值域为[-1, + 2].[12 分] 2 【突破思维障碍】 1.对于形如 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定 ω x+φ 的范围,再求值域.同时,对于形 2 2 如 y=asin ω x+bcos ω x+c 的函数,可借助辅助角公式,将函数化为 y= a +b sin(ω x+φ )+c 的形式,从而求得函数的最值.
3

2.关于 y=acos x+bcos x+c(或 y=asin x+bsin x+c)型或可以为此型的函数求值 域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题. 提醒:不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域. 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基 础, 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提, 求三角函数的定义域实质上就是解最简 单的三角不等式(组). 2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题. 3.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的单调区间的确定,基本思想是把 ω x+φ 看 作一个整体,利用 y=sin x 的单调区间来求.

2

2

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1.(2011·黄山月考)已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b- 2 a 的 值 不 可 能 是 ( ) π 2π 4π A. B. C.π D. 3 3 3 2.(2010·安徽 6 校高三联考)已知函数 y=tan ω x (ω >0)与直线 y=a 相交于 A、B 两 点 , 且 |AB| 最 小 值 为 π , 则 函 数 f(x) = 3 sin ω x - cos ω x 的 单 调 增 区 间 是 ( ) π π? ? A.?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z) 6 6? ? π 2 π? ? B.?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z) 3 3 ? ? 2 π π ? ? C.?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z) 3 3? ? π 5π ? ? D.?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z) 6 6 ? ? π π 3.函数 f(x)=tan ω x (ω >0)的图象的相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 4 4 ?π ? f? ?的值是 ?4? ( ) π A.0 B.1 C.-1 D. 4 4 . 函 数 y = - xcos x 的 部 分 图 象 是 图 中 ( )

4

π 3π 5.(2011·三明模拟)若函数 y=sin x+f(x)在[- , ]上单调递增,则函数 f(x) 4 4 可以是( ) A.1 B.cos x C.sin x D.-cos x 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.设点 P 是函数 f(x)=sin ω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴 π 的距离的最小值是 ,则 f(x)的最小正周期是________. 8 7.函数 f(x)=2sin 对于任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小 4 值为________. ? π? 8.(2010·江苏)定义在区间?0, ?上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象的 2? ? 交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________. 三、解答题(共 38 分) 4 2 2cos x-3cos x+1 9. (12 分)(2011·厦门月考)已知函数 f(x)= , 求它的定义域和值域, cos 2x 并判断它的奇偶性.

x

10 . (12 分)(2010·福建改编 ) 已知函数 f(x) = 2sin(ω x + 2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完全相同. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间; π (3)当 x∈[0, ]时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值. 2

π ) + a(ω >0) 与 g(x) = 6

11.(14 分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量 a=(sin x,2 3sin x),b=(2cos x, sin x),定义 f(x)=a·b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ ) (0<θ < )为偶函数,求 θ 的值. 2

5

答案 1. R

自主梳理 R

π {x|x≠kπ + , k∈Z} [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶 2 π π π 3 函数 奇函数 [2kπ - , 2kπ + ](k∈Z) [2kπ + , 2kπ + π ](k∈Z) [2kπ -π , 2 2 2 2 π π 2kπ ](k∈Z) [2kπ ,2kπ +π ](k∈Z) (kπ - ,kπ + )(k∈Z) 2 2 π π 2. 2kπ + (k∈Z) 2kπ - (k∈Z) 3.2kπ (k∈Z) 2kπ +π (k∈Z) 4.(kπ , 0)(k 2 2 π π ? ? ?kπ ? ∈Z) ?kπ + ,0?(k∈Z) ? ,0?(k∈Z) 5.x=kπ + (k∈Z) x=kπ (k∈Z) 2 2 ? ? ? 2 ? 自我检测 1.C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区 例 1 解题导引 求三角函数的定义域时,需要转化为三角不等式(组)求解,常常借 助于三角函数的图象和周期解决, 求交集时可以利用单位圆, 对于周期相同的可以先求交集 再加周期的整数倍即可. 解 要使函数有意义,

? ?x>0, 则? tan x≥0, π ? ?x≠kπ + 2

1 2+log x≥0, 2

k∈Z ,

0<x≤4, ? ? 得? π kπ ≤x<kπ + ? 2 ?

k∈Z

所以函数的定义域为 ? ? π ?x|0<x< 或π ≤x≤4?. 2 ? ? π 5π ? ? 变式迁移 1 ? +2kπ , +2kπ ?,k∈Z 6 ?3 ? 解析 由题意得
?1-2cos x≥0 ? ? ? ?2sin x-1>0

1 cos x≤ ? ? 2 ?? 1 sin x> ? ? 2



π 5π ? ? 3 +2kπ ≤x≤ 3 +2kπ ,k∈Z 解得? π 5π ? ? 6 +2kπ <x< 6 +2kπ ,k∈Z 即 x∈?



?π +2kπ ,5π +2kπ ?,k∈Z. ? 6 ?3 ?
6

例 2 解题导引 求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0) 的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)”视为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y= cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反). π ?π ? 解 y=2sin? -x?可看作是由 y=2sin u 与 u= -x 复合而成的. 4 ?4 ? π 又∵u= -x 为减函数, 4 π π ∴由 2kπ - ≤u≤2kπ + (k∈Z), 2 2 π π π 即 2kπ - ≤ -x≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得-2kπ - ≤x≤-2kπ + (k∈Z), 4 4 π 3π ? ? 即?-2kπ - ,-2kπ + ?(k∈Z)为 4 4 ? ? π ? ? y=2sin? -x?的递减区间. ?4 ? π 3π 由 2kπ + ≤u≤2kπ + (k∈Z), 2 2 π π 3π 即 2kπ + ≤ -x≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 5π π 得-2kπ - ≤x≤-2kπ - (k∈Z), 4 4 5 π π ? ? 即?-2kπ - ,-2kπ - ?(k∈Z)为 4 4? ? ?π ? y=2sin? -x?的递增区间. ?4 ? ?π ? 综上可知,y=2sin? -x?的递增区间为 ?4 ? ?-2kπ -5π ,-2kπ -π ?(k∈Z); ? 4 4? ? ? π 3π ? ? 递减区间为?-2kπ - ,-2kπ + ? (k∈Z). 4 4 ? ? ?π ? 变式迁移 2 解 (1)由 y=sin? -2x?, ?3 ? π? ? 得 y=-sin?2x- ?, 3? ? π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ , 2 3 2 π 5π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 12 12 又 x∈[-π ,π ], 7 π 5 11 ∴-π ≤x≤- π ,- ≤x≤ π , π ≤x≤π . 12 12 12 12 π 7 ? ? ? ? ∴ 函 数 y = sin ? -2x? , x ∈ [ - π , π ] 的 单 调 递 减 区 间 为 ?-π ,- π ? , 12 ? ?3 ? ? ?-π , 5 π ?,?11π ,π ?. ? 12 12 ? ?12 ? ? ? ? ?
7

?π x? (2)函数 y=3tan? - ?的周期 ? 6 4? π T= =4π . ?-1? ? 4? ? ? ?π x? 由 y=3tan? - ? ? 6 4? ?x π ? 得 y=-3tan? - ?, ?4 6 ? π x π π 由- +kπ < - < +kπ 得 2 4 6 2 4 8 - π +4kπ <x< π +4kπ ,k∈Z, 3 3 8 ?π x? ? 4 ? ∴函数 y=3tan? - ?的单调递减区间为?- π +4kπ , π +4kπ ? (k∈Z). 3 ? 6 4? ? 3 ? 例 3 解题导引 解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求 出 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的最值,再由方程的思想解决问题. π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π , 2 3 3 3
∴- 3 π ≤sin(2x- )≤1, 2 3 ,解得?

?2a+b=1 若 a>0,则? ?- 3a+b=-5 ?2a+b=-5 若 a<0,则? ?- 3a+b=1
解得? ,

?a=12-6 3 ?b=-23+12 3



?a=-12+6 3 ?b=19-12 3

.

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3 或 a=-12+6 3,b=19-12 3. 变式迁移 3 解 ∵x∈R, ∴cos x∈[-1,1], ? ? ?a+b=1 ?a=2 若 a>0,则? ,解得? ?-a+b=-3 ?b=-1 ? ? 若 a<0,则?
? ?a+b=-3 ?-a+b=1 ?

; .

,解得?

? ?a=-2 ?b=-1 ?

π π 所以 g(x)=-sin(2x+ )或 g(x)=-sin(-2x+ ),周期为 π . 3 3 课后练习区 2π 4π 1.A [画出函数 y=sin x 的草图(图略),分析知 b-a 的取值范围为[ , ],故 3 3 选 A.] 2.B [由题意知,函数的最小正周期为 π ,则 ω =1, 故 f(x)= 3sin ω x-cos ω x ? π? =2sin?x- ?的单调增区间满足: 6? ?
8

π π π 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z) 2 6 2 π 2π 解得 2kπ - ≤x≤2kπ + .] 3 3 3.A 4.D π π π π π 3π 5.D [因为 y=sin x-cos x= 2sin(x- ),- ≤x- ≤ ,即- ≤x≤ , 4 2 4 2 4 4 满足题意,所以函数 f(x)可以是-cos x.] π 6. 2 T π π 解析 依题意得 = ,所以最小正周期 T= . 4 8 2 7.4π 解析 由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1)、f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值,而当 = 4 π x π 2kπ - , 即 x=8kπ -2π (k∈Z)时, f(x)取最小值; 而 =2kπ + , 即 x=8kπ +2π (k 2 4 2 ∈Z)时,f(x)取最大值, ∴|x1-x2|的最小值为 4π . 2 8. 3 ? π? 解析 线段 P1P2 的长即为 sin x 的值,且其中的 x 满足 6cos x=5tan x,x∈?0, ?, 2? ? 2 2 解得 sin x= .所以线段 P1P2 的长为 . 3 3 π 9.解 由题意知 cos 2x≠0,得 2x≠kπ + , 2 kπ π 解得 x≠ + (k∈Z). 2 4 kπ π ∴f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠ + ,k∈Z}. 2 4 ??????????????????????????????????? (3 分) 4 2 2cos x-3cos x+1 又 f(x)= cos 2x 2 2 x- x- = 2 2cos x-1 2 2 =cos x-1=-sin x,?????????????????????????? (6 分) 又∵定义域关于原点对称, ∴f(x)是偶函数.???????????????????????????? (8 分) 2 显然-sin x∈[-1,0], kπ π 又∵x≠ + ,k∈Z, 2 4 1 2 ∴-sin x≠- . 2 ∴原函数的值域为

x

9

? ? 1 1 ?y|-1≤y<- 或- <y≤0?.??????????????????????? (12 2 2 ? ?

分) 10.解 (1)∵f(x)和 g(x)的对称轴完全相同, π ∴二者的周期相同,即 ω =2,f(x)=2sin(2x+ )+a(3 分) 6 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π .?????????????????????? 2 (4 分) π π 3π (2)当 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 即 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递减, 6 3 故函数 f(x)的单调递减区间为 π 2π [kπ + , kπ + ](k∈Z). ????????????????????????? 6 3 (8 分) π π π 7π (3)当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],??????????????????? 2 6 6 6 (10 分) π π ∴2sin(2· + )+a=-2, 2 6 ∴ a =- 1. ?????????????????????????????? (12 分) 2 11.解 f(x)=2sin xcos x+2 3sin x- 3 1-cos 2x =sin 2x+2 3· - 3 2 π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x- ?.????????????????????? 3? ? (4 分) π π 3π (1)令 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5 π 11π ? ? 解得单调递减区间是?kπ + ,kπ + ,k∈Z. 12 12 ? ? ? ??????????????????????????????????? (8 分) π? ? (2)f(x+θ )=2sin?2x+2θ - ?. 3? ? 根据三角函数图象性质可知, π? ? y=f(x+θ ) ?0<θ < ?在 x=0 处取最值, 2? ? π? ? ∴sin?2θ - ?=±1, 3? ? π π kπ 5π ∴ 2θ - = kπ + , θ = + , k ∈ 3 2 2 12 Z.????????????????????(12 分) π 5π 又 0<θ < ,解得 θ = .????????????????????????? 2 12 (14 分)
10



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