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指数函数、对数函数、幂函数习题详解ByLT

指数函数、对数函数、幂函数习题详解ByLT


指数函数、对数函数、幂函数
1.[2011·沈阳模拟] 集合 A={(x,y)|y=a},集合 B={(x,y)|y=bx +1,b>0,b≠1}, 若集合 A∩B 只有一个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.R 2.[2011·郑州模拟] 下列说法中,正确的是( ) x x x -x -x ①任取 x∈R 都有 3 >2 ;②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a ;③y=( 3) 是增函数; |x| x -x ④y=2 的最小值为 1;⑤在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图像对称于 y 轴. A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤

xax 3.[2011·郑州模拟] 函数 y= (0<a<1)的图像的大致形状是( |x|

)

4. [2011·聊城模拟] 若函数 y=2 A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1 5.[2010·湖北卷] A.4 B.

|1-x |

图 K8-1 +m 的图像与 x 轴有公共点, m 的取值范围是( 则

)

已知函数 f(x)=?

?log3 x,x>0, ? ? ?2 ,x≤0,
x

1 则 f?f? ? ?=( ? ? 9? ?

)

1 1 C.-4 D.- 4 4 6. [2011·郑州模拟] 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数, 已知当 x∈(0,1)时,(x) f 1 =log (1-x),则函数 f(x)在(1,2)上( ) 2 A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 7. 已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数, a=f(log4 7), 设 1 ? b=f?log 3 ,c=f(0.2-0.6 ),则 a,b,c 的大小关系是( ) ? 2 ? A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 8.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如图 K8-2 所示,则函数 g(x)=ax +b 的图像是( )

9.[2011·锦州一模]

设 0<a<1,函数 f(x)=loga (a2x -2ax -2),则使 f(x)<0 的 x 的取

值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga 3) D.(loga 3,+∞) 10. [2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样. 污水 3 经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次, 能过滤出有害物质的 .若过滤 n 次后, 流出的 4 水中有害物质在原来的 1%以下,则 n 的最小值为________(参考数据 lg2≈0.3010). 11.若函数 f(x)=loga (ax2 -x)在[2,4]上是增函数,则 a 的取值范围为________. 12.若函数 f(x)=ax -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 2 x x 13.函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M,当 x∈M 时,则 f(x)=2 +2-3×4 的最大值为 ________. 2 14.(10 分)(1)已知 f(x)= x +m 是奇函数,求常数 m 的值; 3 -1 (2)画出函数 y=|3x -1|的图像, 并利用图像回答: 为何值时, k 方程|3x -1|=k 无解? 有一解?有两解?

e a 15.(13 分)设 a>0,f(x)= + x 是 R 上的偶函数(其中 e≈2.71828). a e (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

x

16.(12 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log2 3,且对任意 x,y∈R 都有 f(x +y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3x )+f(3x -9x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

1.B [解析] ∵y=bx +1>1,如果 A∩B 只有一个子集,则 A∩B=?,∴a≤1. 2.B [解析] 利用指数函数的性质判断. 3.D [解析] x>0 时,y=ax ;x<0 时,y=-ax .即把函数 y=ax (0<a<1,x≠0)的图像在 x>0 时不变,在 x<0 时,沿 x 轴对称. 4.A [解析] ∵|1-x|≥0,∴2|1-x | ≥1.∵y=2|1-x | +m≥1+m,∴要使函数 y=2|1-x| +m 的 图像与 x 轴有公共点,则 1+m≤0,即 m≤-1. 1 1 1 1 -2 5.B [解析] 根据分段函数可得 f =log3 =-2,则 ff =f(-2)=2 = ,所以 B 正确. 9 9 9 4 1 6.D [解析] 由于 x∈(0,1)时,f(x)=log (1-x),所以 f(x)在区间(0,1)上单调递增且 2 f(x)>0, 又因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)在区间(-1,0)上单调递减且 f(x)>0,又因为 f(x)是 周期为 2 的周期函数,所以 f(x)在区间(1,2)上递减且 f(x)>0,故选 D. 1 1 7 . B [ 解 析 ] log 3 = - log2 3 = - log4 9 , b = f ?log 3? = f( - log4 9) = f(log4 9) , 2 ? 2 ? 5 1 3 3 5 log4 7<log4 9,0.2-0.6 =? ?- =5 = 125> 32=2>log4 9. ?5? 5 5 又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在(0, +∞)上单调递减, 1 ∴f(0.2-0.6 )<f?log 3?<f(log4 7),即 c<b<a,选 B. ? 2 ? 8.A [解析] 由图形可知 b<-1,0<a<1,所以函数 g(x)=ax +b 在定义域上单调递减,且与 x 轴负半轴相交,所以选 A. 9.C [解析] f(x)<0?loga (a2 x -2ax -2)<0?loga (a2 x -2ax -2)<loga 1,因为 0<a<1,所以 a2 x -2ax -2>1, ax )2 -2ax +1>4?(ax -1)2 >4?ax -1>2 或 ax -1<-2, 即( 所以 ax >3 或 ax <-1(舍 去),因此 x<loga 3,故选 C. ?1?n a,令?1?n <1%,则 10.4 [解析] 设原有的有害物质为 a,则过滤 n 次后有害物质还有 ?4? ?4? 1 n> ,即 n≥4,所以 n 的最小值为 4. lg2 2 11. >1 [解析] 函数 f(x)是由 φ (x)=ax -x 和 y=loga φ (x)复合而成的, a 根据复合 函数的单调性的判断方法.(1)当 a>1 时,若使 f(x)=loga (ax2 -x)在[2,4]上是增函数,则

? 1 ≤2, ? φ (x)=ax -x 在[2,4]上是增函数且大于零.故有?2a ?φ ? 2? =4a-2>0, ?
2

1 解得 a> ,∴ 2

a>1.
(2)当 a<1 时, 若使 f(x)=loga (ax2 -x)在[2,4]上是增函数, φ (x)=ax2 -x 在[2,4] 则

? 1 ≥4, ? 上是减函数且大于零.?2a ?φ ? 4? =16a-4>0, ?

不等式组无解.

综上所述,存在实数 a>1 使得函数 f(x)=loga (ax2 -x)在[2,4]上是增函数. x x 12.a>1 [解析] 设函数 y=a (a>0, a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 x 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=a (a>0, a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点.由图像可 且 x 知,当 0<a<1 时,两函数只有一个交点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=a (a>1)的图像过 点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 a>1.

25 13. 12

[解析] 由 3-4x+x2 >0,得 x>3 或 x<1,∴M={x|x>3 或 x<1}.

1 25 f(x)=-3×(2x )2 +2x +2=-3?2x - ?2 + .∵x>3 或 x<1,∴2x >8 或 0<2x <2,∴当 2x

? 6? 12 1 1 25 = ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 . 6 6 12 14.[解答] (1)常数 m=1. (2)y=|3x -1|的图像如下: k<0 时, 当 直线 y=k 与函数 y=|3x -1|的图像 无交点,即方程无解; 当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x -1|的图像有唯一的交点,所 以方程有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x -1|的图像有两个不同交点,所以方 程有两解.
ex

a 1 15. [解答] (1)依题意, 对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x), 即 + x = x +aex, a e ae 1 1 所以?a- ??ex - x ?=0 对一切 x∈R 成立. ? a?? e? 1 由此得到 a- =0,即 a2 =1.又因为 a>0,所以 a=1. a
1 1 1 (2)证明:设 0<x1 <x2 ,f(x1 )-f(x2 )=ex1 -ex2 + - =(ex2 -ex1 )? -1? ex1 ex2 ?ex1 +x2 ? 1-ex2 +x1 =ex1 (ex2 -x1 -1)· ex2 +x1 由 x1 >0,x2 >0,x2 -x1 >0,得 x1 +x2 >0,ex2 -x1 -1>0,1-ex2 +x1 <0, ∴f(x1 )-f(x2 )<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 16.[解答] (1)证明:由 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=y=0,得 f(0)=0.令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 f(x) +f(-x)=0,即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)f(3)=log2 3>0,即 f(3)>f(0), f(x)是 R 上的单调函数,所以 f(x)在 R 上是增函 又 数.又由(1)知 f(x)是奇函数. f(k·3x )+f(3x -9x -2)<0?f(k·3x )<f(9x -3x +2)?k·3x <9x -3x +2,即(3x )2 -(1+ x k)3 +2>0 对任意 x∈R 恒成立. 令 t=3x >0,问题等价于 t2 -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 令 g(t)=t2 -(1+k)t+2,其对称轴为 t= , 2 1+k 当 t= ≤0,即 k≤-1 时,g(0)=2>0,符合题意; 2 1+k 1+k? 当 t= >0,即 k>-1 时,则需满足 g? >0,解得-1<k<-1+2 2. 2 ? 2 ? 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·3x )+f(3x -9x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 本题还有更简捷的解法: 2 2 分离系数由 k<3x + x -1,令 u=3x + x -1,u 的最小值为 2 2-1, 3 3 2 则要使对任意 x∈R 不等式 k<3x + x -1 恒成立,只要使 k<2 2-1. 3



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