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第二节 坐标系与参数方程

第二节 坐标系与参数方程


第二节

坐标系与参数方程
高考试题

考点一 坐标系
1.(2010 年湖南卷,文 4)极坐标方程ρ =cos θ 和参数方程 ? 是( ) (D)圆、直线
2 2 2

? x ? ?1 ? t , (t 为参数)所表示的图形分别 ?y ? 2 ?t

(A)直线、直线 (B)直线、圆 (C)圆、圆

解析:∵ρ =cos θ ,∴ρ =ρ cos θ ,∴x +y =x,表示圆.又 ? 答案:D

? x ? ?1 ? t , 两式相加得 x+y=1,表示直线. ?y ? 2 ?t
.

2.(2012 陕西卷,文 15C)直线 2ρ cos θ =1 与圆ρ =2cos θ 相交的弦长为

解析:化极坐标为直角坐标得直线 x=

1 2

,圆(x-1) +y =1,由勾股定理可得相交弦长为 2×

2

2

3 = 3. 2

答案:

3
2 cos
θ +sin θ )=1 与曲线 C2:ρ =a(a>0)的一个交

3.(2012 年湖南卷,文 10)在极坐标系中,曲线 C1:ρ ( 点在极轴上,则 a= .

解析:将极坐标方程化成直角坐标方程得 C1:

2 x+y-1=0,C :x +y =a ,交点在极轴上,则 y=0,x=
2 2 2 2

2 2

,即交

点坐标为 ?

? 2 ? 2 ? 2 ,0? ? ,代入 C 方程可得 a= 2 ? ?
2

.

答案:

2 2
? ? x ? 2 cos ? , ? ? y ? 3 sin ?
(α 为参数),在极坐标

4.(2011 年湖南卷,文 9)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ρ (cos θ -sin θ )+1=0,则 C1 与 C2 的交点个数为 .

解析:曲线 C1 化为普通方程为

x2 4

+

y2 3

=1,是椭圆,

对曲线 C2:ρ (cos θ -sin θ )+1=0, ∴ρ cos θ -ρ sin θ +1=0,∴x-y+1=0,是直线,

易得直线 x-y+1=0 与椭圆 答案:2

x2 4

+

y2 3

=1 有两个交点.

5.(2011 年陕西卷,文 15C)在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:

? x ? 3 ? cos ? , (θ ? ? y ? sin ?

为参数)和曲线 C2:ρ =1 上,则|AB|的最小值为

.

解析:曲线 C1 为以 E(3,0)为圆心,以 r1=1 为半径的圆,曲线 C2 为以原点 O 为圆心,以 r2=1 为半径的圆,则|AB| 的最小值为|EO|-r1-r2=3-1-1=1. 答案:1 6.(2012 年辽宁卷,文 23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐 标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解:(1)圆 C1 的极坐标方程为ρ =2, 圆 C2 的极坐标方程为ρ =4cos θ , 解?
2 2 2 2

? ? ? 2, 得ρ ? ? ? 4 cos ?

=2,θ =±

π , 3

故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)法一 由?

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? ? . 3? ? 3?

? x ? ? cos ? , 得圆 C 与 C 交点的直角坐标分别为(1, 3 ),(1,? y ? ? sin ?
1 2

3 ).

故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ?

? x ? 1, - 3 ≤t≤ 3 . y ? t, ?

(或参数方程写成 ?

? x ? 1, - 3 ≤y≤ 3 ) ?y ? y ? x ? ? cos ? , 得ρ ? y ? ? sin ?
cos θ =1,从而ρ =

法二 将 x=1 代入 ?

1 cos ?


,

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ?

? x ? 1, π - ≤θ ? y ? tan ? , 3

π . 3
sin ? ?

7.(2012 年江苏卷,21C)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ? 极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程.

π? ? 2, ? ,圆心为直线ρ 4? ?

3 π? ? 与 ? ? =3? 2 ?

解:在ρ sin ? ?

3 π? ? 中令θ ? ? =3? 2 ? π? ? 2, ? , 4? ?

=0,得ρ =1,

所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). 因为圆 C 经过点 P ?

所以圆 C 的半径 PC=

? 2?

2

? 12 ? 2 ?1? 2 cos

π 4

=1,

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为ρ =2cos θ . 8.(2010 年浙江自选模块,04)如图,在极坐标系 Ox 中,已知曲线 C1:ρ =4sin θ ( C2:ρ =4cos θ

π ≤θ 4 π ( ≤θ 4

π ), 2 π 3π ≤ 或 2 2


<θ ≤2π ),

C3:ρ =4 ? 0 ? ?

? ?

?

π? ?. 2?

(1)求由曲线 C1,C2,C3 围成的区域的面积; (2)设 M ? 4,

? ?

π? ? ,N(2,0),射线θ 2?



π π? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 与曲线 C ,C 分别交于 A,B(不同于极点 O)两点. 4 2? ?
1 2

若线段 AB 的中点恰好落在直线 MN 上,求 tan α 的值. 解:(1)由已知,如图弓形 OSP 的面积=

1 4

×π ×2 -

2

1 2

×2 =π -2,

2

从而,如图阴影部分的面积= 故所求面积=

1 2

×π ×2 -2(π -2)=4,
2

2

(2)设 A(ρ A,α ),B(ρ B,α ),AB 的中点为 G(ρ ,α ),∠ONG= ? .

1 4

π ×4 +

2

1 2

×π ×2 -4=6π -4.

由题意ρ =

? A ? ?B
2

=2sin α +2cos α ,

sin φ =

2 ,cos ? 5

=

1 . 5

在△OGN 中,

ON OG = , sin ?OGN sin ?ONG


2 2sin ? ? 2cos ? = sin ? sin ? π ? ? ? ? ?

,

所以 sin α +cos α =
2

2 sin ? = sin ?? ? ? ? sin ? ? 2 cos ?

.

化简得 sin α -3sin α cos α =0, 又因为 sin α ≠0,所以 tan α =3.

考点二

参数方程

1.(2013 年陕西卷,文 15C)圆锥曲线 ?

?x ? t2, ? y ? 2t

(t 为参数)的焦点坐标是

.

解析:由 ? 即 y =4x,
2

?x ? t2, ? y ? 2t ,

消去参数 t 得 x=

y2 4

,

则焦点坐标为(1,0). 答案:(1,0) 2.(2013 年广东卷,文 14)已知曲线 C 的极坐标方程为ρ =2cos θ .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立 直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 解析:曲线 C 的普通方程为 x -2x+y =0, 即(x-1) +y =1, 所以曲线 C 的参数方程为 ?
2 2 2 2

.

? x ? 1 ? cos ? , (θ ? y ? sin ?

为参数).

答案:

? x ? 1 ? cos ? , (θ ? ? y ? sin ?

为参数)

3.(2013 年湖南卷,文 11)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1:

? x ? 2s ? 1, (s 为参数)和直线 l : ? ?y ? s
2

? x ? at , (t 为参数)平行,则常数 a 的值为 ? ? y ? 2t ? 1
解析:把参数方程化为直角坐标方程, 直线 l1: ?

.

? x ? 2s ? 1, 消去 s 为 x=2y+1, ?y ? s ? x ? at , 消去 t 为 2x=ay+a, ? y ? 2t ? 1
1 2 = ,得 a=4. 2 a

整理为 x-2y-1=0, 直线 l2: ?

整理为 2x-ay-a=0, 若 l1∥l2, 答案:4 4.(2012 年广东卷,文 14)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ?

? ? x ? 5 cos ? , ? ? y ? 5 sin ?

(θ 为

参数,0≤θ

? 2 x ? 1? t, ? π ? 2 ≤ )和 ? (t 为参数),则曲线 C 与 C 的交点坐标为 2 ?y ? ? 2 t ? ? 2
1 2 2 2

.

解析:C1 的普通方程为 x +y =5(x≥0,y≥0),C2 的普通方程为 x-y-1=0, 由?

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? y ? 5( x ? 0, y ? 0)
2 2

得?

? x ? 2, 即 C 与 C 的交点坐标为(2,1). ? y ? 1,
1 2

答案:(2,1)

? ? x ? 5 cos ? , 5.(2011 年广东卷,文 14)已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤θ ? ? y ? sin ?
它们的交点坐标为
解析:由 ? . <π )得

5 2 ? ?x ? t , <π )和 ? 4 (t∈R), ? ?y ? t

? x ? 5 cos ? , ? (0≤θ ? ? y ? sin ?

x2 5

+y =1(0≤y≤1,x≠-

2

5 ),

5 2 ? 5 ?x ? t , 由? 4 (t∈R),得 y = 4 ? ?y ? t
2

x,

? x2 ? y 2 ? 1 0 ? y ? 1, x ? ? 5 , ? ?5 联立方程组 ? ? y 2 ? 4 x, ? 5 ?

?

?

解得 x=1,y=

2 5 , 5
? 2 5? ?. ? 5 ? ? ?

∴交点坐标为 ? 1,

答案: ? 1,

? 2 5? ? ? 5 ? ? ?

6.(2010 年陕西卷,文 15C)参数方程 ?

? x ? cos ? , (α ? y ? 1 ? sin ?

为参数)化成普通方程为

.

解析:∵ ?

? x ? cos ? , (α ? y ? 1 ? sin ?

为参数),

∴?
2

? x ? cos ? , (α ? y ? 1 ? sin ?
2 2 2

为参数).

∴x +(y-1) =1,此即为所求普通方程. 答案:x +(y-1) =1 7.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 23)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为 ? y ? 5 ? 5sin t

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 解:(1)将 ?

? x ? 4 ? 5cos t , 消去参数 t, ? y ? 5 ? 5sin t
2 2 2

化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, 即 C1:x +y -8x-10y+16=0. 将?
2

? x ? ? cos ? , ? y ? ? sin ?
2 2

代入 x +y -8x-10y+16=0 得

ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0. 由?
2 2 2

2

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 y ? 0,

解得 ?

? x ? 1, ? x ? 0, 或? ?y ?1 ?y ? 2
2,
π π ),(2, ). 4 2 π )=2 2 . 4

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为(

8.(2013 年辽宁卷,文 23)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为ρ =4sin θ ,ρ cos(θ (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

? x ? t 3 +a, ? (2)设 P 为 C 的圆心,Q 为 C 与 C 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t∈R 为参数), ? y ? t ?1 ? 2
1 1 2

求 a,b 的值. 解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 解?
2 2 ? ? x ? ? y ? 2 ? ? 4,
2 2

? ? x ? y ? 4 ? 0.

得?

? x1 ? 0, ? x2 ? 2, ? ? y1 ? 4, ? y2 ? 2.
π π ),(2 2 , ). 2 4

所以 C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

(2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, 由参数方程可得 y=

b 2

x-

ab +1. 2

?b ? 1, ? ?2 所以 ? ? ? ab ? 1 ? 2, ? ? 2
解得 a=-1,b=2. 9.(2013 年新课标全国卷Ⅱ,文 23)已知动点 P,Q 都在曲线 C: 为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应参数分别 ? ? y ? 2sin t

解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ). M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α ? y ? sin ? ? sin 2?

为参数,0<α <2π ).

(2)M 点到坐标原点的距离 d=

x2 ? y 2

=

2 ? 2cos ? (0<α

<2π ).

当α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 10.(2012 年新课标全国卷,文 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos ? , (? ? y ? 3sin ?

为参数),以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是ρ =2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ? 2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围.
2 2 2 2

? ?

π? ?. 3?

π π π π π π π ,2sin ),B(2cos( + ),2sin( + )),C(2cos( +π ), 3 3 3 2 3 2 3 π π 3π π 3π 2sin( +π )),D(2cos( + ),2sin( + )), 3 3 2 3 2
解:(1)由已知可得 A(2cos 即 A(1,

3 ),B(- 3 ,1),C(-1,?
2

3 ),D( 3 ,-1).

(2)设 P(2cos
2

,3sin
2

?

),
2

令 S=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| , 则 S=16cos φ +36sin φ +16=32+20sin φ , 因为 0≤sin φ ≤1, 所以 S 的取值范围是[32,52]. 11.(2011 年辽宁卷,文 23)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
2 2 2 2

? x ? cos ? , (? y ? sin ? ?

为参数),曲线

C2 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? , (a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? y ? b sin ?
π 时,这两个交点重合. 2

l:θ =α 与 C1,C2 各有一个交点.当α =0 时,这两个交点间的距离为 2,当α = (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (2)设当α = 的面积.

π 时,l 与 C ,C 的交点分别为 A ,B ,当α 4
1 2 1 1

=-

π 时,l 与 C ,C 的交点分别为 A ,B ,求四边形 A A B B 4
1 2 2 2 1

2 2 1

解:(1)∵C1:x +y =1,C2: ∴C1 是圆,C2 是椭圆.

2

2

x2 y 2 + a2 b2

=1(a>b>0),

当α =0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. 当α =

π 时,射线 l 与 C ,C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以 b=1. 2
1 2 2 2

(2)C1,C2 的普通方程分别为 x +y =1 和

x2 9

+y =1.

2

当α =

π 2 时,射线 l:y=x(x≥0)与 C 的交点 A 的横坐标为 x= 4 2
1 1 1 2 2 2 1 1

,与 C2 的交点 B1 的横坐标为 x′=

3 10 10

.

当α =-

π 时,射线 l 与 C ,C 的两个交点 A ,B 分别与 A ,B 关于 x 轴对称,因此四边形 A A B B 为梯形. 4
1 2 2 1

故四边形 A1A2B2B1 的面积为

? 2 x? ? 2 x ?? x? ? x ? = 2 .
2
5

12.(2010 年新课标全国卷,文 23)已知直线 C1: ?

? x ? 1 ? t cos ? , ? y ? t sin ?

(t 为参数),圆 C2:

? x ? cos ? , (θ ? ? y ? sin ?
1 2

为参数).

(1)当α =

π 时,求 C 与 C 的交点坐标; 3

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什 么曲线. 解:(1)当α =

π 时,C 的普通方程为 y= 3 (x-1), 3
1 2 2

C2 的普通方程为 x +y =1. 联立方程组 ?

? ? y ? 3 ? x ? 1? ,
2 2 ? ? x ? y ? 1,

解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),

?1 3? , ? ? ?. ?2 2 ? ? ?

(2)C1 的普通方程为 xsin α -ycos α -sin α =0. A 点坐标为(sin α ,-cos α sin α ). 故当α 变化时,P 点轨迹的参数方程为
2

1 ? x ? sin 2 ? , ? ? 2 (α ? 1 ? y ? ? sin ? cos ? ? ? 2

为参数).

所以 P 点轨迹的普通方程为 ? x ?

? ?

1? ? 4?

2

+y =

2

1 . 16

故 P 点的轨迹是圆心为 ?

1 ?1 ? , 0 ? ,半径为 4 ?4 ?

的圆.

模拟试题
考点一
距离是

坐标系
.
2 2 2 2

1.(2012 天津一中月考)已知圆的极坐标方程为ρ =2cos θ ,则该圆的圆心到直线ρ sin θ +2ρ cos θ =1 的 解析:ρ =2cos θ 化为直角坐标方程为 x +y =2x,即(x-1) +y =1,∴圆心为(1,0),直线ρ sin θ +2ρ cos θ =1 化为直角坐标方程为 2x+y-1=0,∴圆心(1,0)到直线 2x+y-1=0 的距离 d=

2 ?1 ? 0 ? 1 22 ? 12

=

5 . 5

答案:

5 5 ? ?
π π? ? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 3 ,则直线 l 的直角坐标 6?

2.(2012 广州模拟)设点 A 的极坐标为 ? 2, 方程为 解析:将 A ? 2, .

? ?

π π? ? 化为直角坐标为 A( 3 ,1),又直线 l 的倾斜角为 3 ,故其斜率为 3 ,所以 l 的方程为 6?

y-1= 答案:

3 (x- 3 ),即 3 x-y-2=0. 3 x-y-2=0
.
2 2 2 2 2

3.(2011 深圳调研)在极坐标系中,P,Q 是曲线 C:ρ =4sin θ 上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值 为 解析:由曲线 C:ρ =4sin θ ,得ρ =4ρ sin θ ,x +y -4y=0,x +(y-2) =4,即曲线 C:ρ =4sin θ 是以点(0,2)为 圆心,以 2 为半径的圆,易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径. 答案:4 4.(2011 广州调研)在极坐标系中,直线ρ sin(θ +

π )=2 被圆ρ 4

=4 截得的弦长为

.

解析:由ρ sin ? ?

2 π? ? ? ? =2,得 2 4? ?

(ρ sin θ +ρ cos θ )=2 可化为 x+y-2

2 =0.圆ρ

=4 可化为 x +y =16,

2

2

由圆的弦长公式得 2

r ?d
2

2

=2

?2 2? 4 ?? ? 2 ? ? ? ?
2

2

=4

3.

答案:4

3

考点二 参数方程

1.(2012 宝鸡中学月考)点 A(2,-1)到直线 ?

? x ? 1 ? 2t , (t 为参数)的距离等于 ? y ? ?3 ? t ,

.

解析:将直线的参数方程化为普通方程为 x+2y+5=0,由点到直线的距离公式得 d=

2 ? 2 ? ? ?1? ? 5 12 ? 2 2

=

5.

答案:

5

2.(2012 西工大附中模拟)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,长度单位不变,建立极坐标 系,则曲线 ?

? x ? 2cos ? , (α ? y ? 2 ? 2sin ? ,
2

为参数)的极坐标方程是
2 2

.

解析:将曲线的参数方程化为普通方程为 x +(y-2) =4,又 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,将其代入上述方程, 得ρ cos θ +(ρ sin θ -2) =4,整理得ρ =4sin θ . 答案:ρ =4sin θ 3.(2013 云南省玉溪一中高三检测)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?
2 2

? x ? 5cos ? , (? ? y ? 3sin ? ,

为参数).

(1)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t , (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程. ? y ? 3 ? t,
1 2

(2)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值. 解:(1)由已知得椭圆的右焦点为(4,0),已知直线的参数方程可化为普通方程:x-2y+2=0,所以 k= 求直线方程为 x-2y-4=0. (2)S=4|xy|=60sin 当 2? = ,于是所

?

cos φ =30sin 2 ? ,

π 时,面积最大为 30. 2

4.(2012 福州八中质检)求直线 ?

? x ? ?2 ? 2t , ? x ? 1 ? 4cos ? , 被曲线 ? 截得的线段长. ? y ? ?1 ? 4sin ? ? y ? ?2t

解:直线 ?

? x ? ?2 ? 2t , 的普通方程为 x+y+2=0. ? y ? ?2t

曲线 ?

? x ? 1 ? 4cos ? , 即圆心为(1,-1),半径为 4 的圆. ? y ? ?1 ? 4sin ?

则圆心(1,-1)到直线 x+y+2=0 的距离 d=

1?1 ? 2 12 ? 12

=

2,
42 ?

设直线被曲线截得的线段长为 t,则 t=2

? 2?

2

=2

14 .

∴直线被曲线截得的线段长为 2

14 .

综合检测
π (ρ 3

1.(2013 云南师大附中高三高考适应性调研)在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为θ =

∈R),以极点

为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 ? 直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. 解:因为直线 l 的极坐标方程为θ =

? x ? 2cos ? , (α ? y ? 1 ? cos 2? ,

为参数),求

π (ρ 3

∈R),

所以直线 l 的直角坐标方程为 y=

3 x,①
为参数),

又因为曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? , (α ? y ? 1 ? cos 2? ,
1 2
x (x∈[-2,2]),②
2

所以曲线 C 的普通方程为 y=

联立①②解方程组得 ?

? x ? 0, ? ? x ? 2 3, 或? ?y ? 0 ? ? y ? 6.

根据 x 的范围应舍去 ?

? x ? 2 3, ? ? ? y ? 6,

故点 P 的直角坐标为(0,0).

1 ? x ? t, ? 2 ? 2.(2012 豫东豫北十所名校联考)已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),曲线 C 的参数方程 ? y ? 3 t ?1 ? ? 2
为?

? x ? 2 ? cos ? , (θ ? y ? sin ? ,
? ?

为参数).

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 ? 4,

π? ? ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 3?

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值. 解:(1)将点 P ? 4,

? ?

π? ? 化为直角坐标,得 P(2,2 3 ),直线 l 的普通方程为 y= 3 x+1,显然点 P 不满足直线 3?

l 的方程,所以点 P 不在直线 l 上.(2)因为点 Q 在曲线 C 上,所以可设点 Q(2+cos θ ,sin θ ),点 Q 到直线

l:y=

3 x+1 的距离 d=

2 3 ? 3 cos ? ? sin ? ?1 3 ?1
= =

?π ? 2sin ? ? ? ? ? 2 3 ? 1 ?3 ? 2
=

,所以当

sin ?

?π ? ? ? ? =-1 时,d ?3 ?

min

2 3 ?1 ?π ? ,当 sin ? ? ? ? =1 时,d 2 ?3 ?

max

2 3 ?3 .故点 Q 到直线 l 的距离的最小 2

值为

2 3 ?1 2 3 ?3 ,最大值为 . 2 2
2

3.(2011 常州模拟)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为ρ =2,ρ -2 (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)ρ =2? ρ =4,
2



cos ? ?

π? ? ? ? =2. 4? ?

所以圆 O1 直角坐标方程为 x +y =4. 由ρ -2
2

2

2

2ρ 2ρ

cos ? ?

π? ? ? ? =2, 4? ?
π +sin 4
2 2

得ρ -2

2

(cos θ cos

θ sin

π )=2, 4

所以圆 O2 的直角坐标方程为 x +y -2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为ρ cos θ +ρ sin θ =1, 即ρ sin ? ?

π? 2 ? ? ?= 4? 2 ?

.

4.(2011 南平模拟)过 P(2,0)作倾斜角为α 的直线 l 与曲线 E:

? x ? cos ? , ? (θ ? 2 sin ? ?y ? ? 2

为参数)交于 A,B 两点.

(1)求曲线 E 的普通方程及 l 的参数方程; (2)求 sin α 的取值范围. 解析:(1)曲线 E 的普通方程为 x +2y =1, l 的参数方程为 ?
2 2

? x ? 2 ? t cos ? , (t 为参数). ? y ? t sin ? ,
2 2

(2)将 l 的参数方程代入曲线 E 的普通方程得(1+sin α )t +(4cos α )t+3=0, 由Δ =(4cos α ) -4(1+sin α )×3≥0,得 sin α ≤
2 2 2

1 7

,

∴0≤sin α ≤

7 7

.



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