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版高中数学第一章解三角形11正弦定理二学案苏教版必修5(数学教案)

版高中数学第一章解三角形11正弦定理二学案苏教版必修5(数学教案)


1.1 正弦定理(二) 学习目标 1.能根据条件,判断三角形解的个数.2.能从实际问题中抽象出三角形问题并予 以解决.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题. 知识点一 正弦定理的常见变形 1.sin A∶sin B∶sin C=________. 2. a b c a+b+c = = = =________. sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C 3.a=________,b=________,c=________. 4.sin A=________,sin B=________,sin C=________. 知识点二 判断三角形解的个数 思考 1 在△ABC 中,a=9,b=10,A=60°,判断三角形解的个数. 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角,三角形解的个数并不一定唯一. 例如,在△ABC 中,已知 a,b 及 A 的值.由正弦定理 = ,可求得 sin B= sin A sin B a b bsin A . a 在由 sin B 求 B 时,如果 a>b,则有 A>B,所以 B 为锐角,此时 B 的值唯一;如果 a<b,则有 A<B,所以 B 为锐角或钝角,此时 B 的值有两个. 思考 2 已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数? 梳理 解三角形 4 个基本类型: (1)已知三边;(2)已知两边及其夹角;(3)已知两边及其一边对角;(4)已知一边两角. 其中只有类型(3)解的个数不确定. 知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 思考 在△ABC 中,已知 acos B=bcos A.你能把其中的边 a,b 化为用角表示吗(打算怎么 1 用上述条件)? 梳理 一个公式就是一座桥梁,可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边 与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简 称边角互化. 类型一 判断三角形解的个数 例 1 在△ABC 中,已知 a=20 cm,b=28 cm,A=40°,解三角形(角度精确到 1°,边长精 确到 1 cm). 引申探究 若例 1 中 b=28 cm,A=40°不变,当边 a 在什么范围内取值时,△ABC 有两解?(范围中保 留 sin 40°) 反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根 据该正弦值求角时,要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据 该正弦值(不等于 1 时)在 0°~180°范围内求角,一个锐角,一个钝角,只要不与三角形内 2 角和定理矛盾,即是所求. 跟踪训练 1 已知一三角形中 a=2 3,b=6,A=30°,判断三角形是否有解,若有解,解 该三角形. 类型二 正弦定理在实际生活中的应用 例2 如图,一渔船在海上由西向东航行,在 A 处望见灯塔 C 在船的东北方向,若船速为每 小时 30 n mile,半小时后在 B 处望见灯塔在船的北偏东 30°,当船行至 D 处望见灯塔在船 的西北方向时,求 A、D 两点之间的距离(精确到 0.1 n mile). 3 反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个 或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直 角三角形的求解. 跟踪训练 2 一船以每小时 15 km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°, 行驶 4 h 后,船


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