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分类计数原理与分步计数原理PPT课件

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分类计数原理与分步计数原理

兆麟中学高二数学组

问题 1. 如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一 天中,火车有3 班, 汽车有2班,那么一天中乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
火车1

甲·

火车2
火车3 汽车1

· 乙

汽车2 思考: 1.要完成从甲地到乙地这件事,从交通工具上只需选择 1 类,就可以 到达目的地. 2.要完成从甲地到乙地这件事,若选择乘火车有 3 种不同的走法, 若选择乘汽车有 2 种不同的走法. 3.完成从甲地到乙地这件事,共有 5 种不同的走法.

分类计数原理 做一件事情, 完成它可以有2类 办法, 在第一类办法中有m种不同的方法,在第 二类办法中有n种不同的方法. 那么完成这件事 共有 N=m+n种不同的方法。

注意:

每一类办法中的任何一种方法都能完成这 件事,即各类之间的方法都是相互独立的.

2. 如图,由A村去B村的道路有3条,由B村去C村 的道路有2条。从A村经B村去C村,共有多少种 不同的走法?
北 A村 中 北

南 思考:1>.从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法 第二步, 由B村去C村有 2 种方法. 2>完成从A村到C村这件事共有 6 种不同的走法.

B村



C村

分步计数原理 做一件事情,完成它需要分成2个步骤,做 第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法, 那么完成这件事共有

N=m×n

种不同的方法。

注意:只有各步骤都完成了,才算完成这件事

,即各个步骤相互依存

例题讲授:
例1. 某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法? 分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类 办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种不 同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有m2 = 4 种不同 的方法; 所以,根据分类计数原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9。

分析: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加

座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步,选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共 有 :N = 5 × 4 = 20 种。

练习1:书架的第1层放有4本不同的语文书,
第2层放有3本不同的数学书, 第3层放有2本不同的外语书.

? (1)从书架上任取一本书,有多少种不同的 取法? ? (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不 同的取法?

例2:.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条 路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路 可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。

甲地

乙地

丁地

丙地

例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分 别上日班和晚班,有多少种不同的选法?
解:从3名工人中选1名上日班和1名上晚班,可以看成是

经过先选1名上日班,再选1名上晚班两个步骤完成,先 选1名上日班,共有3种选法;上日班的工人选定后,上 晚班的工人有2种选法根据分步技数原理,不同的选法 数是N=3×2=6种 6种选法可以表示如下: 日班 晚班 甲 乙 乙 甲 乙 丙 丙 乙 甲 丙 丙 甲

例4. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数 字组成,(1)可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许 重复)? 百 十 个 分析: ? ? ? 10 × 10 × 10 =103 (种) (2)个位数字是0的密码数又是多少? 解:N=10 ×10=102(种) (3)个位数字不为0的密码数是多少? 解:N=10×10×9=900(种)

练习5:设有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画,从这 些画中选出两幅不同种类的画布置房间,共有多少种不同的选法? 解:分三类, 1>. 1幅国画,1幅油画,有2×5=10种选法. 2>. 1幅国画, 1幅水彩画,有5×7=35种选法. 3>. 1幅油画,1幅水彩画,有2×7=14种选法. 共有10+35+14=59种不同的选法.

(4)、课堂练习:

1 . 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书 (1) 从中任取一本,有多少种不同的取法? (2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少种不同的取法?
解:(1)从书架上任取一本书,有两种方法:第一类可从6本数 学书中任取一本,有6种方法;第二类可从5本语文书中任取一 本,有5种方法;根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法 从书架上任取数学、语文书各一本,可以分成两步完 成:第一步任取一本数学书,有6种方法;第二步任取一本语 文书,有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法
(2)

2. 某班级有男学生5人,女学生4人 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? (2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会,有多少种不 同的选法?
解:(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法,从男学生中任选一人, 共有 5种不同的方法; 第二类办法,从女学生中任选一人, 共有 4种不同的方法 所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种 (2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步, 选一名男学生,有 = 5种方法; 第二步, 选一名女学生,有= 4种方法; 所以,根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种

4、把5封信投到3个信箱里,问有多少种不同的投法? 答:N=3×3×3×3×3=243种

1
A 2 3 5 4 6 B

分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么? 不同点什么? 答: 共同点是 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法。 不同点是它们研究完成一件事情的方式不同,分类 计数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一 个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成 ”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步 都完成了,才能完成这件事情。





1、用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位整数; 2、用0,1,2,……,9可以组成多少个没有重复数字的3位数; 3、用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数; 4、在所有的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多 少个? 5、若直线方程ax+by=0中的a,b,可以从0,1,2,3,5这5个数 中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少 条. 6、从1到200的自然数中,有多少个个位数上不含有5的数。 7、用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位偶数;



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