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江苏省泰州市姜堰市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

江苏省泰州市姜堰市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


江苏省泰州市姜堰市 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.直线 x+2y+1=0 的斜率为. 2.圆 x +y +2x+6y=0 的半径为. 3.若正四棱锥的底面边长为 ,体积为 4cm ,则它的高为 cm.
3 2 2

4.已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形,则圆柱的表面积为. 5.已知点 A(﹣4,1) ,B(3,﹣1) ,若直线 y=kx+2 与线段 AB 恒有公共点,则实数 k 的 取值范围是. 6.过三点 A(﹣6,0) ,B(0,2)和原点 O(0,0)的圆的标准方程为. 7.过原点且与圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 相切的直线的方程. 8.已知圆 M 过两点 C(1,﹣1) ,D(﹣1,1)且圆心 M 在 x+y﹣2=0 上,则圆 M 的方程 为. 9.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为. 10.已知圆 x +y =m 与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相交,则实数 m 的取值范围为. 11.设点 M 在直线 y=1 上,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则点 M 的 横坐标的取值范围是. 12.设圆(x﹣3) +(y+5) =r (r>0)上有且仅有两个点到直线 4x﹣3y﹣2=0 的距离等 于 1,则圆半径 r 的取值范围是 . 13.关于 x 的方程 有且只有一个实根,则实数 m 的取值范围是.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

14.在平面直角坐标系 xOy 中已知圆 C:x +(y﹣1) =5,A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点, 过点 A 作圆 C 的弦 AB,记线段 AB 的中点为 M.若 OA=OM,则直线 AB 的斜率为.

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2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

16.已知两条直线 L1:x+y﹣1=0,L2:2x﹣y+4=0 的交点为 P,动直线 L:ax﹣y﹣2a+1=0. (1)若直线 L 过点 P,求实数 a 的值. (2)若直线 L 与直线 L1 垂直,求三条直线 L,L1,L2 围成的三角形的面积. 17.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ,在三角形内挖去一个半圆(圆 心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N) ,将△ ABC 绕直 线 BC 旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

18. (16 分)已知圆 C:ABCD,直线 l1 过定点 A (1,0) . (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 的倾斜角为 45°,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; (3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的 方程.

19. (16 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形 ABCD 沿对 角线 AC 折起,得到三棱锥 B﹣ACD,点 M 是棱 BC 的中点, . (1)求证:OD⊥面 ABC; (2)求点 M 到平面 ABD 的距离.

20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1. (1)若过点 C1(﹣1,0)的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; (2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

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江苏省泰州市姜堰市 2014-2015 学年高一下学期期中数 学试卷

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.直线 x+2y+1=0 的斜率为 .

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 直线 x+2y+1=0 化为斜截式 解答: 解:直线 x+2y+1=0 化为 其斜率为﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了直线的斜截式与斜率,属于基础题. 2.圆 x +y +2x+6y=0 的半径为
2 2

.即可得出斜率. .



考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把圆的一般方程化为标准方程,可得圆的半径. 解答: 解:圆 x +y +2x+6y=0,即(x+1) +(y+3) =10, 故圆的半径为 , 故答案为: . 点评: 本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法,属于基础题. 3.若正四棱锥的底面边长为 ,体积为 4cm ,则它的高为 1cm.
3 2 2 2 2

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据正四棱锥的体积公式 V= Sh,求出它的高即可. 解答: 解:如图所示, 正四棱锥 P﹣ABCD 的底面边长为 设它的高为 hcm, 则该四棱锥的体积为: × 解得 h=1,即高为 1cm. 故答案为:1.
3

,体积为 4cm , h=4,

点评: 本题考查了正四棱锥体积的计算问题,也考查了体积计算的问题,是基础题目. 4.已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形,则圆柱的表面积为 6π. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形可得圆柱底面圆的直径长为 2,高为 2. 解答: 解:∵圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形, ∴圆柱底面圆的直径长为 2,高为 2. 2 则圆柱的表面积 S=2?π?2+2?π?1 =6π. 故答案为 6π. 点评: 考查了学生的空间想象力. 5.已知点 A(﹣4,1) ,B(3,﹣1) ,若直线 y=kx+2 与线段 AB 恒有公共点,则实数 k 的 取值范围是 .

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 如图所示,直线 y=kx+2 经过定点 P(0,2) .利用斜率计算公式可得:kPA,kPB.由 于直线 y=kx+2 与线段 AB 恒有公共点,则 k≥kPA 或 k≤kPB. 解答: 解:如图所示, 直线 y=kx+2 经过定点 P(0,2) . kPA= = ,kPB= =﹣1.

∵直线 y=kx+2 与线段 AB 恒有公共点, ∴ 或 k≤﹣1. .

故答案为:

点评: 本题考查了直线的方程及其应用、 斜率的计算公式及其应用, 考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 6.过三点 A(﹣6,0) ,B(0,2)和原点 O(0,0)的圆的标准方程为为(x+3) +(y﹣ 2 1) =10. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆心在弦的中垂线上求出圆心坐标, 可得半径, 从而求得要求的圆的标准方程. 解答: 解:由于所求的圆经过三点 A(﹣6,0) ,B(0,2)和原点 O(0,0) , 故圆心在线段 AO 的中垂线上,又在线段 OB 的中垂线上,故圆心的横坐标为﹣3,圆心的 纵坐标为 1,即圆心坐标为 M(﹣3,1) , 半径为 OM= , 2 2 故要求的圆的标准方程为(x+3) +(y﹣1) =10, 2 2 故答案为:为(x+3) +(y﹣1) =10. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,求出圆心和半径,是解题的关键,属于基础题. 7.过原点且与圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 相切的直线的方程 x=0 或 3x﹣4y=0. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 当切线的斜率不存在时, 写出切线的方程; 当切线的斜率存在时, 设出切线的方程, 由圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而得到切线的方程. 解答: 解:当切线的斜率不存在时,切线的方程为 x=0,满足题意; 当切线的斜率存在时,设切线的斜率为 k,则切线的方程为 y=kx,即 kx﹣y=0, 由圆心(1,2)到切线的距离等于半径得 =1
2 2 2

∴k= ,此切线的方程 3x﹣4y=0, 综上,圆的切线方程为 x=0 或 3x﹣4y=0, 故答案为:x=0 或 3x﹣4y=0.

点评: 本题考查求圆的切线方程的方法, 点到直线的距离公式的应用, 体现了分类讨论的 数学思想. 8.已知圆 M 过两点 C(1,﹣1) ,D(﹣1,1)且圆心 M 在 x+y﹣2=0 上,则圆 M 的方程 2 2 为(x﹣1) +(y﹣1) =4. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设出圆的标准方程,利用圆 M 过两点 C(1,﹣1) 、D(﹣1,1)且圆心 M 在直线 x+y﹣2=0 上,建立方程组,即可求圆 M 的方程 2 2 2 解答: 解:设圆 M 的方程为: (x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0) ,

根据题意得
2 2

,解得:a=b=1,r=2,

故所求圆 M 的方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣1) =4. 点评: 本题考查圆的标准方程,考查学生分析解决问题的能力,确定圆心与半径是关键, 属于中档题. 9.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为(1) (2) . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据面面平行的性质定理,判断即可, (2)根据面面平行和线面垂直的性质判断即可; (3)根据面面垂直的性质定理即可得到结论; (4)根据面面垂直的性质定理即可得到结论. 解答: 解: (1)若两个平面平行,根据面面平行的性质和定义可知,那么其中一个平面内 的直线一定平行于另一个平面;正确, (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;正确, (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线可能平行于另一个平面也可能在平 面内,故错误; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面.故错误, 故正确的是(1) (2) , 故答案为: (1) (2) 点评: 本题主要考查空间面面平行和面面垂直的性质和判断,要求熟练掌握相应的定理. 10.已知圆 x +y =m 与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相交,则实数 m 的取值范围为 1<m<121.
2 2 2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 求出两个圆的圆心坐标和半径,利用两个圆的圆心距大于半径差,小于半径和,即 可求出 m 的范围. 2 2 解答: 解:x +y =m 是以(0,0)为圆心, 为半径的圆, 2 2 x +y +6x﹣8y﹣11=0, 2 2 (x+3) +(y﹣4) =36, 是以(﹣3,4)为圆心,6 为半径的圆, 两圆相交,则|半径差|<圆心距离<半径和, |6﹣ |< <6+ ,

|6﹣ |<5<6+ , 5<6+ 且|6﹣ |<5, >﹣1 且﹣5<6﹣ <5, >﹣1 且 1< <11, 所以 1< <11, 那么 1<m<121, 另,定义域 m>0, 所以,1<m<121 时,两圆相交. 故答案为:1<m<121 点评: 本题是基础题,考查两个圆的位置关系,注意两个圆的位置关系的各种形式,圆心 距与半径和与差的大小比较,考查计算能力,转化思想. 11.设点 M 在直线 y=1 上,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则点 M 的 横坐标的取值范围是[﹣1,1]. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线和圆的位置关系,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由题意画出图形如图:设点 M(x0,1) , 2 2 要使圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则∠OMN 的最大值大于或等于 45°时,一定存在点 N,使得∠OMN=45°, 而当 MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值,此时 MN=1, 图中只有 M′到 M″之间的区域满足 MN=1, ∴x0 的取值范围是[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1].
2 2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 直线与直线设出角的求法, 数形结合是快速解得本 题的策略之一,属于中档题. 12.设圆(x﹣3) +(y+5) =r (r>0)上有且仅有两个点到直线 4x﹣3y﹣2=0 的距离等 于 1,则圆半径 r 的取值范围是 (4,6) . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离,进而可推断出与直线 4x ﹣3y﹣2=0 距离是 1 的两个直线方程,分别求得圆心到这两直线的距离,分析如果与 4x﹣ 3y+3=0 相交 那么圆也肯定与 4x﹣3y﹣7=0 相交 交点个数多于两个, 则到直线 4x﹣3y﹣2=0 的距离等于 1 的点不止 2 个,进而推断出圆与 4x﹣3y+3=0 不相交;同时如果圆与 4x﹣3y ﹣7=0 的距离小于等于 1 那么圆与 4x﹣3y﹣7=0 和 4x﹣3y+3=0 交点个数和至多为 1 个 也 不符合题意,最后综合可知圆只能与 4x﹣3y﹣7=0 相交,与 4x﹣3y+3=0 相离,进而求得半 径 r 的范围. 解答: 解:依题意可知圆心坐标为(3,﹣5) ,到直线的距离是 5 与直线 4x﹣3y﹣2=0 距离是 1 的直线有两个 4x﹣3y﹣7=0 和 4x﹣3y+3=0 圆心到 4x﹣3y﹣7=0 距离为 =4 到 4x﹣3y+3=0 距离是 =6
2 2 2

如果圆与 4x﹣3y+3=0 相交 那么圆也肯定与 4x﹣3y﹣7=0 相交, 交点个数多于两个,于是圆上点到 4x﹣3y﹣2=0 的距离等于 1 的点不止两个 所以圆与 4x﹣3y+3=0 不相交 如果圆与 4x﹣3y﹣7=0 的距离小于等于 1,那么圆与 4x﹣3y﹣7=0 和 4x﹣3y+3=0 交点个数 和至多为 1 个 所以圆只能与 4x﹣3y﹣7=0 相交,与 4x﹣3y+3=0 相离 所以 4<r<6 故答案为: (4,6) 点评: 本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定. 考查了学生分析问题和数形结合思想的 运用.要求学生有严密的逻辑思维能力.

13. 关于 x 的方程 或 m=1﹣2 .

有且只有一个实根, 则实数 m 的取值范围是﹣1<m≤3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 问题转化为函数 y= 求解即可. 解答: 解:∵关于 x 的方程 ∴函数 y= 作函数 y= 有且只有一个实根, 与函数 y=3﹣m﹣x 的图象有且只有一个交点,作图

与函数 y=3﹣m﹣x 的图象有且只有一个交点, 与函数 y=3﹣m﹣x 的图象如下,

结合图象可知, 0≤3﹣m<4 或 3﹣m=2 +2, 即﹣1<m≤3 或 m=1﹣2 ; 故答案为:﹣1<m≤3 或 m=1﹣2 . 点评: 本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用,属于中档 题. 14.在平面直角坐标系 xOy 中已知圆 C:x +(y﹣1) =5,A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点, 过点 A 作圆 C 的弦 AB,记线段 AB 的中点为 M.若 OA=OM,则直线 AB 的斜率为 2.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: 因为圆的半径为 ,所以 A(﹣2,0) ,连接 CM,显然 CM⊥AB,求出圆的直径, 在三角形 OCM 中,利用正弦定理求出 sin∠OCM,利用∠OCM 与∠OAM 互补,即可得出 结论. 解答: 解:因为圆的半径为 ,所以 A(﹣2,0) ,连接 CM,显然 CM⊥AB, 因此,四点 C,M,A,O 共圆,且 AC 就是该圆的直径,2R=AC= , 在三角形 OCM 中,利用正弦定理得 2R= 根据题意,OA=OM=2, 所以, = , ,tan∠OCM=﹣2(∠OCM 为钝角) , ,

所以 sin∠OCM=

而∠OCM 与∠OAM 互补, 所以 tan∠OAM=2,即直线 AB 的斜率为 2. 故答案为:2.

点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 考查正弦定理, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (1) 根据三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 得到 CC1⊥平面 ABC, 从而 AD⊥CC1, 结合已知条件 AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线,得到 AD⊥平面 BCC1B1, 从而平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)先证出等腰三角形△ A1B1C1 中,A1F⊥B1C1,再用类似(1)的方法,证出 A1F⊥平面 BCC1B1,结合 AD⊥平面 BCC1B1,得到 A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理,得到 直线 A1F∥平面 ADE. 解答: 解: (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD?平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD?平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F?平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD?平面 ADE, ∴直线 A1F∥平面 ADE. 点评: 本题以一个特殊的直三棱柱为载体, 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂 直的判定等知识点,属于中档题. 16.已知两条直线 L1:x+y﹣1=0,L2:2x﹣y+4=0 的交点为 P,动直线 L:ax﹣y﹣2a+1=0. (1)若直线 L 过点 P,求实数 a 的值. (2)若直线 L 与直线 L1 垂直,求三条直线 L,L1,L2 围成的三角形的面积. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 由 , 求出 P (﹣1, 2) , 把P (﹣1, 2) 代入直线 l: ax﹣y﹣2a+1=0,

能求出 a. (2)由直线 l⊥l1,得 a=1,解方程组求出 B(1,0) ,C(﹣5,﹣6) ,由此能求出△ PBC 的面积. 解答: 解: (1)由 ,解得 ,

∴P(﹣1,2) ,把 P(﹣1,2)代入直线 l:ax﹣y﹣2a+1=0, 解得 a=﹣ . (2)∵直线 l⊥l1,∴a=1, 设直线 l 与 l1 交于 B,直线 l 与 l2 交于 C, ∴ ,解得 ,∴B(1,0) ,

同理,由 ∴PB=2 ,BC=6

,解得 ,

,∴C(﹣5,﹣6) ,

∴△PBC 的面积为 S=

=12.

点评: 本题考查实数的求法,考查三角形面积的求法,解题时要认真审题,是基础题. 17.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ,在三角形内挖去一个半圆(圆 心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N) ,将△ ABC 绕直 线 BC 旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据旋转体的轴截面图,利用平面几何知识求得球的半径与 AC 长,再利用面积公 式与体积公式计算即可. 解答: 解: (1)连接 OM,则 OM⊥AB

设 OM=r,OB=

﹣r,在△ BMO 中,sin∠ABC=

= ?r=

∴S=4πr = π. (2)∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ∴V=V 圆锥﹣V 球= π×AC ×BC﹣ πr = π×
2 3

2

,∴AC=1. =
2

﹣ π×

π.
3

点评: 本题考查旋转体的表面积与体积的计算.S 球=4πr ;V 圆锥= πr .

18. (16 分)已知圆 C:ABCD,直线 l1 过定点 A (1,0) . (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 的倾斜角为 45°,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; (3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的 方程.

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)直线 l1 的斜率不存在时符合题意,直线 l1 斜率存在由待定系数法和圆的知识 可得; (2)联立直线 l1 和 CM 方程,解方程组可得; (3)由题意设直线方程为 kx﹣y﹣k=0,由圆的弦长和三角形的面积可得 k 的方程,解方程 可得. 解答: 解: (1)①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意, ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0, 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即 =2,解得 k=

∴所求直线 l1 的方程为 x=1 或 3x﹣4y﹣3=0

(2)直线 l1 方程为 y=x﹣1.∵PQ⊥CM, ∴CM 方程为 y﹣4=﹣(x﹣3) ,即 x+y﹣7=0, 联立方程组可得 ,解得 ,

∴M 点的坐标为(4,3) (3)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,设直线方程为 kx﹣y﹣k=0, 则圆心到直线 l1 的距离 d= ,

又∵△CPQ 的面积 S= d×2 = ∴当 d= ∴d= = 时,S 取得最大值 2. =

=d ,

,解得 k=1 或 k=7

∴所求直线 l1 方程为:x﹣y﹣1=0 或 7x﹣y﹣7=0 点评: 本题考查直线和圆的位置关系, 涉及点到直线的距离公式和三角形的面积, 属中档 题. 19. (16 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形 ABCD 沿对 角线 AC 折起,得到三棱锥 B﹣ACD,点 M 是棱 BC 的中点, . (1)求证:OD⊥面 ABC; (2)求点 M 到平面 ABD 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.

专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据题意给出的条件得出 OD⊥AC.OD⊥OM,运用直线平面的垂直判定定 理可证明. (2)VM﹣ABD=VD﹣MAB,运用等积法求解距离问题. 解答: 证明: (1)由题意,OM=OD=3, ∵DM=3 , ∴∠DOM=90°,OD⊥OM, 又∵菱形 ABCD, ∴OD⊥AC. ∵OM∩AC=O, ∴OD⊥平面 ABC (2)由(1)知 OD=3 为三棱锥 D﹣ABM 的高.

△ ABM 的面积为 S△ ABM= 又 AB=AD=6,BD=3 ?d= d= .

×sin120°= 所以 S△ ABD= × =

=



,VM﹣ABD=VD﹣MAB,

×3,

点评: 本题考查了空间直线平面垂直问题, 利用等积法求解空间距离, 考查了学生的空间 想象能力,计算能力. 20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1. (1)若过点 C1(﹣1,0)的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; (2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;综合题;直线与圆. 分析: (1)设过直线 l 方程:y=k(x+1) ,根据垂直于弦的直径的性质,结合点到直线的 距离公式列式,可解出 k 的值,从而得到直线 l 的方程; (2)①由题意,圆心 C 到 C1、C2 两点的距离相等,由此结合两点间的距离公式建立关系 式,化简整理得 x+y﹣3=0,即为所求定直线方程; ②根据题意设 C(m,3﹣m) ,得到圆 C 方程关于参数 m 的一般方程形式,由此可得动圆 C 2 2 经过圆 x +y ﹣6y﹣2=0 与直线 x﹣y+1=0 的交点,最后联解方程组,即可得到动圆 C 经过 的定点坐标. 解答: 解: (1)设过点 C1(﹣1,0)的直线 l 方程:y=k(x+1) ,化成一般式 kx﹣y+k=0 ∵直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 , ∴点 C2(3,4)到直线 l 的距离为 d= = ,

解之得 k= 或 由此可得直线 l 的方程为:4x﹣3y+4=0 或 3x﹣4y+3=0. (2)①设圆心 C(x,y) ,由题意,得 CC1=CC2, 即 = ,

化简整理,得 x+y﹣3=0, 即动圆圆心 C 在定直线 x+y﹣3=0 上运动. ②设圆 C 过定点,设 C(m,3﹣m) , 则动圆 C 的半径为 =
2 2 2


2

于是动圆 C 的方程为(x﹣m) +(y﹣3+m) =1+(m+1) +(3﹣m) , 2 2 整理,得 x +y ﹣6y﹣2﹣2m(x﹣y+1)=0,







所以动圆 C 经过定点,其坐标为





点评: 本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程, 并探索动圆圆心在定直线上的问题. 考 查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.



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