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专题2.14 等或不等解存在,转化值域可实现-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)

专题2.14 等或不等解存在,转化值域可实现-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)


专题 14 等或不等解存在,转化值域可实现
【题型综述】 导数研究 方程的根或不等式的解集
利用导数探讨方程 f ( x) ? g (m) ? 0 解的存在性, 通常可将方程转化为 f ( x) ? g (m) , 通过确 认函数 f ( x) 或 g ( m) 的值域,从而确定参数或变量的范围; 类似的,对于不等式 f ( x) ? g (m) ? 0(? 0) ,也可仿效此法.

【典例指引】
例 1.已知函数 f ? x ? ?

2? x . x ?1
x

(1)若关于 x 的方程 f ? x ? ? 3 ? m ? 0 在 x ? 1, ?? ? 上有解,求实数 m 的最大值; (2)是否存在 x0 ? 0 ,使得 f ? x0 ? ? 3 0 成立?若存在,求出 x0 ,若不存在,说明理由;
x

?

例 2.已知函数 f ? x ? ? b ? xlnx 的最大值为 (Ⅰ)求实数 a , b 的值;

1 2 , g ? x ? ? x ? ax ? 2 的图象关于 y 轴对称. e

(Ⅱ) 设 F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ,是否存在区间 m, n ? ?1, ??? ,使得函数 F ? x ? 在区间 m, n 上的值域为

?

?

?

?

? ?k ? m ? 2 ? , k ? n ? 2 ?? ? ?若存在,求实数 k 的取值范 围;若不存在,请说明理由.
[来源:学*科*网]

例 3.已知函数为常数 (1)当 在 处取得极值时,若关于 x 的方程 在 上恰有两个不相等 的实数根,求实数

b 的取值范围; (2)若对任意的 ,总存在 ,使不等式 成立,求实数 的取值范围.

[来源:Zxxk.Com]

【同步训练】

1. 设函数 f ? x ? ? ? x ? a ? lnx , g ? x ? ? 平行. (1)求 a 的值;

x2 , 已知曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 ex

(2)是否存在自然数 k ,使得方程 f ? x ? ? g ? x ? 在 ? k , k ? 1? 内存在唯一的根?如果存在,求出 k ;如果不 存在,请说明理由.
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2.已知函数 f ? x ? ? a ? x ?

? ?

1? ? ? 3lnx . x?

(1) 若函数 f ? x ? 在其 定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 g ? x ? ?

3e ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的取值范围. x

3.已知函数 f ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间;

a ,其中 a ? R. x

(Ⅱ)若在 1, e 上存在 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求 a 的取值范围.

? ?

2 4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x lnx ?

?

?

3 2 x ? 4x . 2

(1)若 f ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上递增,求 a 的取值范围;
2 ( 2 ) 若 ?x ? ? ?1, e ? ? , f ? x ? ? m 与 f ? x ? ? 20m ?1 至 少 一个 成立 , 求 m 的 取 值范 围( 参考 数 据:

e ? 2.7, e4 ? 54.6 )

5.已知函数 f ? x ? ? x ? alnx, g ? x ? ? ? 若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;

1? a ?a ? R? . x

设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求函数 h ? x ? 的单调区间; 若在区间 1, e ? e ? 2.71828?? 上不存在 ...x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的取值范围.

? ?

6.已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 2? x ? alnx ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的 切线方程; (2)讨论函数 f ? x ? 在 1,e 上的单调性; (3)若存在 x ? 1,e ,使得 f ? x ? ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

? ?

? ?

7.已知 f ? x ? ? x ?

a ?1 ? alnx ,其中 a ? R . x

(1)求函数 f ? x ? 的极大值点; (2)当 a ? ? ??,1 ? ? ? ?1 ? e, ?? ? 时,若在 ? , e ? 上至少存在一点 x0 ,使 f ? x0 ? ? e ?1 成 立,求 a 的 e e

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

取值范围.

8.已知函数 f ? x ? ? x ? alnx ( a ? 0 ) (1)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 的极值; (2)若存在 x0 ? 1, e ,使得 f ? x0 ? ?

?

?

1? a ? 0 成立,求实数 a 的取值范围. x0

9.已知函数


[来源:学#科#网 Z#X#X#K]



(1)求函数 的单调区间; (2)若关于 的方程 有实数根,求实数 的取值范围.

2 10.已知函数 f ? x ? ? lnx ? ax , g ? x ? ?

1 1 ? x ? b ,且直线 y ? ? 是函数 f ? x ? 的一条切线. x 2

(1)求 a 的值; (2)对任意的 x1 ? ?1, e ? ,都存在 x2 ? 1,4 ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求 b 的取值范围;

?

?

? ?

(3)已知方程 f ? x ? ? cx 有两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,若 g ? x1 ? x2 ? ? 2c ? 0 ,求证: b ? 0 .
[来源:Z*xx*k.Com]



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