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安徽省东至县2012届高三第一次模拟考试数学(理)试题

安徽省东至县2012届高三第一次模拟考试数学(理)试题


安徽省东至县高三“一模”理科数学试卷
一.选择题(50 分)
x 1.集合 M ? y | y ? lg ? x ? 1 ? , x ? R , 集合N= ? x | 3 ? 3, x ? R ? ,则 M ? N ? (

?

2

?



A. [0, ?? )

B. [0,1)

C. (1, ?? )

D. (0,1] )

2. f ( x ) 是定义域为 R 的增函数,且值域为 R ? ,则下列函数中为减函数的是( A. f ( x ) ? f ( ? x ) C. f ( x ) ? f ( ? x ) B. f ( x ) ? f ( ? x )
f (? x) f ( x)
x

D.

3.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数),则 f ( ?1) ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3
[来源:学§科§网]

=

? sin x , sin x ? cos x , 则下列正确的是( 4. 对于函数 f ( x ) ? ? ? cos x , sin x ? cos x



A.该函数的值域是 ? ? 1,1? B.当且仅当 x ? 2 k ? ?

?
2

( k ? Z ) 时,该函数取得最大值 1 3? 2 (k ? Z ) 时 f ( x) ? 0

C.当且仅当 2 k ? ? ? ? x ? 2 k ? ?

D.该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数
???? ???? ???? ? ? ??? ???? ? ???? ? 5.已知 ? ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若存在实数 m 使得 AB ? AC ? m AM 成立,

则 m =( A.2

) B.3 C.4 D.5

6 . 设 m , n , p , q是 满 足 条 件 m ? n ? p ? q 的 任 意 正 整 数 , 则 对 各 项 不 为 0 的 数 列

{a n } , a m ?a n ? a p ?a q 是数列 {a n } 为等比数列的(
A.充分不必要 B.必要不充分

)条件. D.既不充分也不必要

C.充要条件

3 7. 已知函数 f ( x ) ? x ? x , x ? R ,若当 0 ? ? ?

?
2

时, f ? m sin ? ? ? f ? 1 ? m ? ? 0 恒成立,

则实数 m 的取值范围是(



A. (0,1)

B.

? ?? , 0 ?

1? ? C. ? ?? , ? 2? ?

D.

? ?? ,1 ?

?x≥-1 ? 8.若变量 x,y 满足约束条件?y≥x ?3x+2y≤5 ?
A.1 B.2
1

,则 z=2x+y 的最大 值为(

)

C.3
? 1
?

D.4
? 3( n ? N ) ,则 a10 =(

9. 已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,且 A.28 B. 1 28
2

a n ?1

an

)

1 C. 33

D. 33

10.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 1 的导函数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 , f(x)与 x 轴恰有一个交点, 则
f (1) f ?(0)

的最小值为 ( 3 B. 2

) 5 D. 2

A. 2

C. 3

二.填空题(25 分)

? ? 11.已知函数 f ( x ) ? f ?( ) cos x ? sin x , 则 f ?( ) 的值为____________. 4 4 ? a b ? 12.已知 a , b 是非零向量,且夹角为 ,则向量 p ? 的模为_____________. 3 |a | |b|
13.把一个函数图像按向量 a ? ( 函数的解析式为 14.定积分 ?
3 0 2

?
3

, ? 2) 平移后,得到的图象的表达式为 y ? sin( x ?

?
6

) ? 2 ,则原



9 ? x dx 的值为______________.

15. 若 函 数 f ( x ) 的 值 域 是 定 义 域 的 子 集 , 那 么 f ( x ) 叫 做 “ 集 中 函 数 ” 则 下 列 函 数 : ,

?1 ?
?3?

f ( x) ?

x x ? x ?1
2

( x ? 0);

?2?

f ( x ) ? ln x ;

? ? ? 4 4 f ( x ) ? sin x ? cos x , x ? ? ? , ? 12 8

? x 2 ? 2 x ? 6( ? 2 ? x ? 0), ? ; ? 4 ? f ( x) ? ? x ? 2 ( ? 6 ? x ? ? 3). ? ?
[来源:学科网 ZXXK]

可以称为“集中函数”的是______ ______(请把符合条件的序号全部填在横线上). 三、解答题(75 分) 16 .(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,且
2 asin A ? (2 b ? c ) sin B ? (2 c ? b ) sin C .

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

17. (本小题满分 12 分)已知集合 A= { x | ( x ? 2)[ x ? (3 a ? 1)] ? 0} ,
x ? 2a x ? ( a ? 1)
2

[来源:学,科,网]

B= { x |

? 0} .

[来源:Zxxk.Com

(Ⅰ)当 a=2 时,求 A ? B;

[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p :不等式 ? 2 ? m ? 1, x ? ? ? 1, 0 ? 恒成立 ;命题 q :函数
x
2 “ y ? log 2 ? 4 x ? 4( m ? 2) x ? 1? 的定义域为 ? ?? , ?? ? ,若“ p ? q ”为真, p ? q ”为假,求 m ? ?

的取值范围。

19. (本小题满分 13 分) 已知向量 a = (sinx, msin(x +
π 4 )), b = (sinx + cosx, sin(x π 4 )) ,若 f ? x ? = a ? b

? ? 3? ? (Ⅰ)当 m ? 0 时,求 f ? x ? 在区 间 ? , ? 上的取值范围; ?8 4 ?

(Ⅱ)当 tan ? ? 2 时, f ? ? ? ?

3 5

,求 m 的值.

20. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 ? ? 1,1? 上 的 奇 函 数 , 且 f ?1 ? ? 1 , 若
m , n? ? ? 1 , ? ,m ? n ? 时有 1 0
f ?m ? ? f ?n ? m?n ? 0.

(Ⅰ) 判断 f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上的单调性,并证明你的结论;
1? ? ? 1 ? (Ⅱ)解不等式: f ? x ? ? ? f ? ?; 2? ? ? x ?1?

(Ⅲ)若 f ? x ? ? t ? 2 at ? 1 对所有 x ? ? ? 1,1? , a ? ? ? 1,1? 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

21.(本小题满分 13 分)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ?
1 2 na n ? a n ? c ( c是 常 数 ,n ? N ) , a 2 ? 6 .
?

(Ⅰ)求 c 的值及 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明:
1 a1 a 2 ? 1 a 2 a3 ?? ? 1 a n a n ?1 ? 1 8

.

参考答案
一. 选择题(50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 C 5 B 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A

二.填空题(25 分) 11. 2 ? 1 12. 3 13. y ? cos x 14.
9 4

?

15. ①

三、解答题(75 分) 16. (12 分) 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理 得 2 a ? ? 2 b ? c ? b ? ? 2 c ? b ? c
2

即 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2 bc cos A
2 2 2
?



cos A ? ?

1 2

, A ? 120

.??6 分
?

[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(60 ? B )
3 2 1 2

?

cos B ?

sin B ? sin(60 ? B ),? 0 ? B ? 60
? ?

?

故当 B ? 30 时, sin B ? sin C 取得最大值 1.
?

??12 分

17.(12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, A ? ? 2, 7 ? , B ? ? 4, 5 ? , ∴ A ? B ? ? 4, 5 ? . ????4 分

(Ⅱ)①当 a ? 1 时, B ? ? , A ? ? 2, 4 ? , B ? A ,此时 a ? 1 . ????6 分 ②当 a ? 1 时, B ? ? 2 a , a ? 1 ? ,
2

当a?

1

? 2 a ? 3a ? 1 时 , A ? ? 3 a ? 1, 2 , 要 使 B ? A , 必 须 ? 2 , 解 得 a ? ?1 ; ? 3 ?a ? 1 ? 2

当a ?

1 3

时, A ? ? ,使 B ? A 的 a 不存在;

当a ?

1 3

时, A ? ? 2, 3 a ? 1 ?
? a ?1 ? 要使 B ? A ,必须 ? 2 a ? 2 ,解得 1 ? a ? 3 . ? 2 ? a ? 1 ? 3a ? 1
? 此时, 1 ? a ? 3 或 a ? ? 1

????10 分 ????12 分

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围 为 ?1, 3 ? ? ? ? 1? .

18.(12 分 )
x 解:对于 p : m ? 1 ? 2 , x ? ? ? 1, 0 ? 恒成立,而当 x ? ? ? 1, 0 ? 时,由指数函数性质知 1 ? 2 的最小

x

值为 2 , 得 m ? 2. 对于 q :? 函数 y ? log 2 ? 4 x 2 ? 4( m ? 2) x ? 1? 的定义域为 ? ?? , ?? ? ? ?
? 4 x ? 4 ? m ? 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R 恒 成 立 ,
2

????3 分

[来源:学科网]

即 ? ? 16( m ? 2) ? 16 ? 0 ,解得 1 ? m ? 3 .
2

????7 分 ???9 分

? p ? q 为真, p ? q 为假,? p 为真, q 为假;或 p 为假, q 为真。

m?2 ? ? m?2 或? 即? ? m ? 1或 m ? 3 ?1 ? m ? 3

解得 m ? 3或1 ? m ? 2. ????12 分

故 m 的取值范围为 m ? 3或1 ? m ? 2. 19. (13 分)
2 解(Ⅰ) :当 m ? 0 时, f ( x ) ? sin x ? sin x cos x

[来源:学科网 ZXXK]

?

1 2

(sin 2 x ? cos 2 x ) ?

1 2

?

2 2

sin(2 x ?

?
4

)?

1 2

????3 分

? ? 2 ? ? ? 5? ? ? ? 3? ? 又由 x ? ? , ? 得 2 x ? 4 ? ? 0, 4 ? ,所以 sin(2 x ? 4 ) ? ? ? 2 ,1 ? , ?8 4 ? ? ? ? ?

从而 f ( x ) ?

2 2

sin(2 x ?

?
4

)?

1

? 1? 2 ? ? ? 0, ?. 2 ? 2 ?

????6 分

(Ⅱ)

????9 分

由 tan ? ? 2 得 sin 2? ?

2 sin ? cos ? sin ? ? cos ?
2 2

?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

?

4 5

,

cos 2? ?

cos ? ? sin ?
2 2

sin ? ? cos ?
2 2

?

1 ? tan ?
2

1 ? tan ?
2

??

3 5

,

所以 20. (13 分)

3 5

?

1 ?4 3? 1 ? 5 ? ?1 ? m ? 5 ? ? 2 ,得 m ? ? 2 . 2? ?

????13 分

解: (Ⅰ)任取 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x 2 ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ?

∵ ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,∴ x1 ? ? ? x 2 ? ? 0 , 由已知
f ? x1 ? ? f ?? x 2 ? x1 ? x 2

????2 分

[来源:学&科&网]

>0,又 x1 ? x 2 ? 0 , ????4 分

∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,即 f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上为增函数. (Ⅱ) ∵ f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上为增函数,故有
1 ? ? ? 1 ? x ? 2 ? 1, ? 3 1 ? ? ? ? 1, 由此解得 ? x ? ? x ? ? 1? ? ?1 ? 2 x ?1 ? ? ? 1 1 ? ? x ? 2 ? x ?1, ?

????8 分

(Ⅲ)由(1)可知: f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上是 增函数,且 f ?1 ? ? 1 ,故对 x ? ? ? 1,1? ,恒有
f ? x ? ? 1 .所以要使 f ( x ) ? t ? 2 at ? 1 ,对所有 x ? ? ? 1,1? , a ? ? ? 1,1? 恒成立,
2

即要 t ? 2 at ? 1 ? 1 成立,故 t ? 2 at ? 0 成立.
2 2

????10 分

记 g ( a ) ? t ? 2 at 对 a ? ? ? 1,1? , g ( a ) ? 0 恒成立,只需 g ( a ) 在 ? ? 1,1? 上的最小值大于等
2

? g ?1 ? ? 0, ? 于零.故 ? ? g ? ? 1 ? ? 0. ?

解得: t ? 2 或 t ? ? 2 或 t ? 0 .

????13 分

21. (13 分)

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(Ⅰ)因为 S n ?

1 2

na n ? a n ? c 1 2 a1 ? a1 ? c ,解得 a1 ? 2 c ,

所以当 n=1 时, S1 ?

????1 分

当 n=2 时, S 2 ? a 2 ? a 2 ? c c,即 a1 ? a 2 ? 2 a 2 ? c ,解得 a 2 ? 3c , 所以 3c ? 6 ,解得 c ? 2 ; 则 a1 ? 4 ,数列 {a n } 的公差 d ? a 2 ? a1 ? 2 , 所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ? 2 . (Ⅱ)证明:因为
1 4?6 1 6?8

????4 分

????6 分
?? ? 1 a n a n ?1

1 a1 a 2

?

1 a 2 a3
1



?

?? ?

(2 n ? 2)(2 n ? 4)



1?1 1? 1?1 1? 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ( 2?4 6? 2?6 8? 2 2n ? 2 2n ? 4

????10 分



1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? )? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 ?? 4 6 ? ? 6 8 ? 2n ? 2 2n ? 4 ? 1?1 1 ? 1 1 . ? ? ?? ? 2 ? 4 2n ? 4 ? 8 4 ? n ? 2 ?



????12 分
1 a n a n ?1 1 8

因为 n ? N ? ,所以

1 a1 a 2

?

1 a 2 a3

?? ?

?

.

????13 分



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