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立体几何(三)-向量法(文科教师用)

立体几何(三)-向量法(文科教师用)


立体几何(三)垂直平行的综合问题(文科)
1、 (2014 安徽文数)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点

G, E , F , H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD , BC // 平面 GEFH .
(1)证明: GH // EF; (2)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.

(Ⅰ )证:因为 BC∥ 平面 GEFH, BC ? 平面PBC ,且 平面PBC 所以 GH∥ BC。同理可证 EF∥ BC,因此 GH∥ EF。

平面GEFH ? GH ,

(Ⅱ )解:连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO ? AC ,同理可得 PO ? BD 又 BD

AC=O ,且 AC、BD 都在底面内,所以 PO ? 平面ABCD

又因为 平面GEFH ? 平面ABCD 且 PO ? 平面GEFH ,所以 PO //平面GEFH , 因为 平面PBD 平面GEFH ? GK 所以 PO ∥ GK,且 GK ? 平面ABCD ,从而 GK ? EF 。 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB ? 8, EB ? 2 得 EB : AB ? KB : DB ? 1: 4

1 1 DB ? OB ,即 K 为 OB 的中点。 4 2 1 1 再由 PO∥ GK 得, GK ? PO ,即 G 为 PB 的中点,且 GH ? BC ? 4 2 2
从而 KB ? 由已知可得 OB ? 4 2, PO ? 所以 GK ? 3 故四边形 GEFH 的面积 S ?

PB 2 ? OB 2 ? 68 ? 32 ? 6

GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 。 2 2

1

18、(2014 四川文数) 在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都为矩形。 (Ⅰ )若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A 1; (Ⅱ )设 D , E 分别是线段 BC , CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一 点 M ,使直线 DE / / 平面 A1MC ?请证明你的结论。

A1 B1

C1 E

A D B

C

解: (Ⅰ)因为四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都是矩形,所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AC . 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 因为直线 BC ? 平面 ABC 内,所以 AA1 ? BC . 又由已知, AC ? BC, AA 1 , AC 为平面 ACC1 A 1 内的两条相交直线, 所以, BC ? 平面 ACC1 A 1. 所以 AA1 ? 平面 ABC.

A1

C1 E

O

B1

A M B D

C

(2)存在,M 为线段 AB 的中点时,直线 DE

平面 A1MC .

取线段 AB 的中点 M,连接 A 1M , MC, AC 1 , AC1 ,设 O 为 AC 1 , AC1 的交点. 由已知,O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为 ?ABC, ?ACC1 的中位线. 所以, MD

1 1 AC , OE AC ,? MD OE , 2 2
MO .

连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形,则 DE 因为直线 DE ? 平面 A1MC , MO ? 平面 A1MC , 所以直线 DE 平面 A1MC .

即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点) ,使得直线 DE

平面 A1MC .

2

3、 (2014 辽宁文数)如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCG; (Ⅱ)求三棱锥 D-BCG 的体积.

1 附:椎体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高. 3
A E G B F D
证明: 由已知得 ?ABC ? ?DBC . 因此 AC ? DC . 又 G 为 AD 中点, 所以 CG ? AD ; 同理 BG ? AD ; 因此 AD ? 平面 BGC .又 EF / / AD .所以 EF ? 平面 BCG. (Ⅱ) 在平面 ABC 内. 作 AO ? CB . 交 CB 延长线于 O . 由平面 ABC ? 平面 BCD . 知 AO ? 平面 BDC . 又 G 为 AD 中点, 因此 G 到平面 BCD 距离 h 是 AO 长度的一半. 在 ?AOB 中,AO ? AB ? sin 60 ? 3 .
0

C

所以 VD ? BCG ? VG ? BCD ?

1 1 1 3 1 ? S?DBC ? h ? ? ? BD ? BC ? sin1200 ? ? . 3 3 2 2 2

4、 (2014 陕西文数)17.(本小题满分 12 分)
3

四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD, BC 的平面分别交四面体的棱

AB, BD, DC, CA 于点 E , F , G, H .
(1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形.

A 1 H E D B F G C 2 2

 主视图

左视图

俯视图
(1)由该四面体的三视图可知:

BD ? DC, BD ? AD, AD ? DC , BD ? DC ? 2, AD ? 1
? AD ? 平面 BDC

? 四面体体积 V ?

1 1 1 2 AD ? S ?BCD ? ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3
平面 ABC ? EH

(2)因为 BC ∥平面 EFGH , 平面 EFGH 平面 BDC ? FG ,平面 EFGH

? BC ∥ FG , BC ∥ EH ,
同理 EF ∥ AD , HG ∥ AD ,

? FG ∥ EH .
? EF ∥ HG .

? 四边形 EFGH 是平行四边形
又因为 AD ? 平面 BDC

? AD ? BC

BC ∥ FG , EF ∥ AD ? EF ? FG
? 四边形 EFGH 是矩形

4



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