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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第三章 3.1 不等关系与不等式

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第三章 3.1 不等关系与不等式


不等关系与不等式 预习课本 P72~74,思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系? (2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法? (3)不等式的性质有哪几条? [新知初探] 1.不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它 们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 2.比较两个实数 a,b 大小的依据 文字语言 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0,反之亦然 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c; 推论(同向可加性): a>b? c>d ? ??a+c>b+d; 符号表示 a>b?a-b>0 a<b?a-b<0 a=b?a-b=0 (4)可乘性: a>b? a>b? ??ac>bc; ??ac<bc; c>0 ? c<0 ? a>b>0? ??ac>bd; c>d>0 ? 推论(同向同正可乘性): (5)正数乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N*,n≥1); n n (6)正数开方性:a>b>0? a> b(n∈N*,n≥2). [点睛] (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的 条件. (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2( ) ) (2)若 a<b 或 a=b 之中有一个正确,则 a≤b 正确( (3)若 a>b,则 ac>bc 一定成立( (4)若 a+c>b+d,则 a>b,c>d( ) ) 解析:(1)正确.不等式 x≥2 表示 x>2 或 x=2,即 x 不小于 2,故此说法是正确的. (2)正确.不等式 a≤b 表示 a<b 或 a=b.故若 a<b 或 a=b 中有一个正确,则 a≤b 一定 正确. (3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等号方向不变, 因此由 a>b,则 ac>bc 不一定成立,故此说法是错误的. (4)错误.取 a=4,c=5,b=6,d=2,满足 a+c>b+d,但不满足 a>b,故此说法错误. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× ) 2.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系是( A.a>b>-b>-a C.a>-b>b>-a B.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b 解析:选 C 法一:∵A、B、C、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可 用特殊值法. 令 a=2,b=-1,则有 2>-(-1)>-1>-2, 即 a>-b>b>-a. 法二:∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a<b<0, ∴a>-b>0>b>-a,即 a>-b>b>-a. 3.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a <b 2 2 ) B.ab <a b b a D.a<b 2 2 1 1 C. 2< 2 ab a b 解析:选 C 因为 a<b,故 b-a>0, 1 1 b- a 1 1 所以 2 - 2= 2 2 >0,故 2 > 2. a b ab a b a b ab 4.若 A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则 A,B 的大


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