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版高中数学第二章数列22等差数列一学案新人教A版必修5(数学教案)

版高中数学第二章数列22等差数列一学案新人教A版必修5(数学教案)


2.2 等差数列(一) [学习目标] 1.理解等差数列的定义, 掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公 式, 能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念, 深化认识并能 运用. 知识点一 等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 思考 1 等差数列{an}的概念可用符号表示为 an+1-an=d(n∈N ). 思考 2 等差数列{an}的单调性与公差 d 的符号的关系. 等差数列{an}中,若公差 d>0,则数列{an}为递增数列;若公差 d<0,则数列{an}为递减数列; 若公差 d=0,则数列{an}为常数列. 知识点二 等差中项的概念 若三个数 a,A,b 构成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,并且 A= 知识点三 等差数列的通项公式 若等差数列的首项为 a1,公差为 d,则其通项 an=a1+(n-1)d. 思考 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗?如何操作? 答案 还可以用累加法,过程如下: ∵a2-a1=d, * a+b 2 . a3-a2=d, a4-a3=d, …… an-an-1=d(n≥2), 将上述(n-1)个式子相加得 an-a1=(n-1)d(n≥2), ∴an=a1+(n-1)d(n≥2), 当 n=1 时,a1=a1+(1-1)d,符合上式, ∴an=a1+(n-1)d(n∈N ). * 题型一 等差数列的概念 例 1 (1)下列数列中,递增的等差数列有( ) 1 1 2 3 4 ①1,3,5,7,9;②2,0,-2,0,-6,0,…;③ , , , ,…;④0,0,0,0,…; 9 9 9 9 ⑤ 2-1, 2, 2+1. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 1 3+ 2 C. ,b= ,则 a 与 b 的等差中项为( 3- 2 1 ) (2)已知 a= A. 3 B. 2 3 3 D. 2 2 答案 (1)C (2)A 解析 (1)等差数列有①③④⑤,其中递增的为①③⑤,共 3 个,④为常数列. (2)a 与 b 的等差中项为 a+b 1 1 1 1 = ( + )= [( 3- 2)+( 3+ 2)]= 3. 2 2 3+ 2 3- 2 2 反思与感悟 (1)判断一个数列是不是等差数列,只需看 an+1-an(n≥1)是不是一个与 n 无关 的常数. (2)判断一个等差数列是不是递增数列,只需看数列{an}的公差 d 是否大于 0. (3)求两个数的等差中项,只需求这两个数的和的一半即可. 跟踪训练 1 (1)在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N ),则数列{an}是( A.公差为 1 的等差数列 1 B.公差为 的等差数列 2 C.公差为 2 的等差数列 D.不是等差数列 (2)已知 m 和 2n 的等差中项是 8, 2m 和 n 的等差中项是 10, 则 m 和 n 的等差中项是________. 答案 (1)B (2)6 1 解析 (1)∵an+1=an+ , 2 1 * ∴an+1-an= (n∈N ), 2 1 ∴数列{an}是以 为公差的等差数列. 2 ?m+2n=8×2=16, ? m +n (2)由题意得? ∴3(m+n)=20+16=36,∴m+n=12,∴ =6, 2 ?2m+n=10×2=20, ? * ) 即


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