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对数函数及其性质导学案

对数函数及其性质导学案


2.2 对数函数及其性质(1) 班级: 姓名:
教学目标: ①理解对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质. ③通过对数函数图象和性质的学习, 渗透数形结合, 分类讨论等思想, 培养学生的观察, 分析,归纳等逻辑思维能力. 教学重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 教学难点:底数 a 对对数函数图象和性质的影响. 教学过程: 【自主学习】 1、如图某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个 ??, 如果要求这种细胞经过多少次分裂, 大约可以得到细胞 1 万个, 10 万个 ??, 不难发现: 分裂次数 y 就是要得到的细胞个数 x 的函数,即 y ? log2 x ;

2、引导学生观察这些函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量,从而得 出对数函数的定义:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: 注意:○

y ? 2 log2 x ,y ? log 5

x 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 , 都不是对数函数. ○ 且 a ? 1) . 5
2

3、根据对数函数定义填空; 例 1 (1)函数 y=logax 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) (2) 函数 y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) 【合作探究】 〈1〉 、画图、 形成感知 1.探究问题:对数函数的图象和性质 步骤一: (1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y ? log3 x

y ? log1 x
3

步骤二:观察对数函数 y ? log2 x 、 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 、 y ? log1 x 的图象特征 ,
2 3

看看它们有那些异同点。 步骤三:作指数函数与对数函数图象的比较 2.学生探究成果

(1) 如图 4—3、 4—4 较为熟练地用描点法画出下列对数函数 y ? log2 x 、y ? log 1 x 、
2

y ? log3 x 、 y ? log1 x 的图象
3

图 4—3

(2)如图 4—5 选取底数 a =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10,让学生非常清楚地 看到了底数 a 是如何影响函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 图象的变化。

图 4—4

图 4—5
( 3 )有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确 y = loga x (a>1) 、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。 (图 4—6)

y = loga x (a>1)

y = loga x (0<a<1)

图 4—6
(4)学生相互补充,自主发现了图象的下列特征:①图象 都在 y 轴右侧,向 y 轴正负方向无限延伸;②都过(1、0)点; ③当 a>1 时,图象沿 x 轴正向逐步上升;当 0<a<1 时,图象沿 x 轴正向逐步下降;④图象关于原点和 y 轴不对称,并且能从 图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函 数的图象区别;如图 4—7

图 4—7

3.拓展探究: (1)对数函数 y ? log2 x 与

y ? log 1 x 、 y ? log3 x 与
2

y ? log1 x 的图象有怎
3

样的对称关系? (2)对数函数 y = loga x (a>1) ,当 a 值增大,图象的上升“程度”怎样?说明: 这是学生探究中容易忽略的地方,通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。 〈2〉 、理性认识、发现性质 1.确定探究问题 根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质 2.学生探究成果 在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格: y = loga x (a>1) y = loga x (0<a<1) 函 数





定义域 值 域

R+ R 在(0,+ ? )上是增函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y<0 x>1 时,y>0

R+ R 在(0,+ ? )上是减函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

单调性 过定点 取值范围

【精讲释疑】 问题一: (教材 p79 例 8) 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 (2)log
0.3

1.8 , log

0.3

2.7

(3)log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , 且 a≠1 )

变式训练:1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 ⑶ log0.10.5 log108 log0.10.6 ⑵ log0.56 ⑷ log1.50.6 log0.54 log1.50.4

2.已知下列不等式,比较正数 m,n 的大小: (1) log
3

m < log

3

n

(2) log

0.3

m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1) 【作业】 1.函数 f(x)=lg( x ? 1 ? x )是
2

(奇、偶)函数。 。

2.已知函数 f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3)与 f(4)的大小关系为 3.已知函数 y ? loga (2 ? ax ) 在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围 1<a<2

2.2 对数函数的性质的应用(2) 班级: 姓名:
教学目标: 1、使学生理解对数函数的定义,进一步掌握对数函数的图像和性质。 2、 :通过定义的复习,图像特征的观察、巩固过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系,适时渗透分类讨论的数学思想,培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问 题的能力。 3、通过学生的参与过程,培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、 锲而不舍的治学精神。 教学重难点 教学重点:对数函数的图像和性质 教学难点:底数 a 的变化对函数性质的影响 教学过程 【自主学习】 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性. (二)情景导入、展示目标 1.对数函数的图象 由于对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a x 互为反函数,所以 y ? loga x 的图象 与 y ? a x 的图象关于直线 y ? x 对称 因此,我们只要画出和 y ? a x 的图象关于 y ? x
王新敞
奎屯 新疆

对称的曲线,就可以得到 y ? loga x 的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质
4
4

王新敞
奎屯

新疆

3

3

2

1
-6 -4 -2

2

1

1

1

A

0 1
-1 -2

2

4

6

-2

0
-1 -2

1

2

4

6

-3

-3

2.对数函数的性质 由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质 见 P87 表
王新敞
奎屯 新疆

a>1
3 2.5

0<a<1
3 2.5

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

性 质

定义域: (0,+∞) 值域:R

过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0

x ? (0,1) 时 y ? 0
x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是增函数 【合作探究】 例 1: 求下列函数的定义域、值域: ⑴ y?

x ? (0,1) 时

y?0

x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

2?x

2

?1

?

1 4



y ? log2 ( x 2 ? 2x ? 5)



y ? log1 (? x 2 ? 4x ? 5)
3

例 2:比较大小 ⑴ log2 3.4, log2 8.5 ; (3) log3 4 , log4 3 , log 4
3

⑵ log0.3 1.8, log0.3 2.7 ;

3 4

(4) 50.6 ,0.65 ,log0.6 5

例 3: (1)解不等式 log2 ( x ? 1) ? log2 (1 ? x) (2)若 loga (2 / 3) <1,求实数 a 的取值范围。 【内化反馈】 1.求下列函数的定义域: (1)y= log3 (1-x) (3)y= log 7 2.若 log a (2)y=

1 log2 x

1 1 ? 3x

(4) y ? log3 x

3 ? 1(a ? 0, 且a ? 1), 求实数 a 的取值范围 4

【作业】 1、函数 y ? A. ?1,??? 2、设 P ? log 1
2

log 1 ? x ? 1? 的定义域是
2

( D C.

) D.

B. ?2,???

?1,2?

?1,2?


1 1 , Q ? log1 , T ? log1 2 3 5 3 3
B. T ? Q ? P C.

( B

A.

Q ?T ? P

P ?Q?T

D.

P ?T ?Q
( B )

3、已知 0 ? a ? 1, b ? 1且 ab ? 1 ,则下列不等式中成立的是 A. C.

log b

1 1 ? log a b ? log a b b 1 1 log a b ? log a ? log b b b

B. D.

log a b ? log b

1 1 ? log a b b 1 1 log b ? log a ? log a b b b

4.方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=___________________. 5、 已知 f (x) 的定义域为 [0, 1] , 则函数 y=f [log 1 (3-x) ] 的定义域是__________.
2

6、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 7、已知函数 f ( x) ? B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1

) D、 0 ? m ? n ? 1

10 x ? 10? x ,判断 f ( x ) 的奇偶性和单调性。 10 x ? 10? x



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