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第二篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性

第二篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性


第 3 讲 函数的奇偶性与周期性

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x),又当 x∈(0,1)时,f(x)=2x 1 -1,则 f(log26)等于 A.-5 B.-6 5 C.-6 1 D.-2 ( ).

1 解析 f(log26)=-f(log26)=-f(log26-2). 3? 1 3 ? ∵log26-2=log22∈(0,1),∴f?log22?=2, ? ? 1 1 ∴f(log26)=-2. 答案 D 2.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1) 等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( ).

解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≤0 时, 且 f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(- 1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. 答案 A 3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 下列不等式一定成立的是 2π? ? 2π? ? A.f?cos 3 ?>f?sin 3 ? ? ? ? ? ? C.f?sin ? π? ? π? ?<f?cos 6? 6? ? ? B.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(cos 2)>f(sin 2) ( ).

解析 当 x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],由 f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4| =2-|x|,

2π 显然当 x∈[-1,0]时,f(x)为增函数;当 x∈[0,1]时,f(x)为减函数,cos 3 =- 2π? ? 2π? 1 2π 3 1 ? 1? ?1? ? 3? ? ?- ? ? ? ? ? ?cos 3 ?>f?sin 3 ?. 2,sin 3 = 2 >2,又 f? 2?=f?2?>f? 2 ?,所以 f? ? ? ? 答案 A
-x ?1-2 ,x≥0, 4.(2013· 连云港一模)已知函数 f(x)=? x 则该函数是 ?2 -1,x<0,

(

).

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

解析 当 x>0 时,f(-x)=2-x-1=-f(x);当 x<0 时,f(-x)=1-2-(-x)=1- 2x=-f(x).当 x=0 时,f(0)=0,故 f(x)为奇函数,且 f(x)=1-2-x 在[0,+∞) 上为增函数,f(x)=2x-1 在(-∞,0)上为增函数,又 x≥0 时 1-2-x≥0,x<0 时 2x-1<0,故 f(x)为 R 上的增函数. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+ a|=1-|-1+a|,∴a=0. 答案 0 6.(2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1) =________. 解析 因为 y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,所以当 x=-1 时,y= -2,即 f(-1)+(-1)2=-2,得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案 -1 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解 (1)因为对定义域内任意 x,y,f(x)满足 f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令 x=y

=1,得 f(1)=0,令 x=y=-1,得 f(-1)=0. (2)令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1),代入 f(-1)=0 得 f(-x)=-f(x),所 以 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 8.(13 分)设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1- m)<f(m),求实数 m 的取值范围. 解 由偶函数性质知 f(x)在[0,2]上单调递增,且 f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=

f(|m|),

?-2≤1-m≤2, 因此 f(1-m)<f(m)等价于?-2≤m≤2, ?|1-m|<|m|.
1 解得:2<m≤2. ?1 ? 因此实数 m 的取值范围是?2,2?. ? ?

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)
( ).

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

解析 由已知条件,得 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1).由 f(-x +1)=-f(x+1),得 f(-x+2)=-f(x);由 f(-x-1)=-f(x-1),得 f(-x-2) =-f(x). f(-x+2)=f(-x-2), f(x+2)=f(x-2), 则 即 由此可得 f(x+4)=f(x), 即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 f(x+3)=f(x-1),即函数 f(x+3) 也是奇函数. 答案 D ?1,x为有理数, 2.(2012· 福建)设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数 ( ).

解析 显然 D(x)不单调,且 D(x)的值域为{0,1},因此选项 A、D 正确.若 x

是无理数,-x,x+1 是无理数;若 x 是有理数,-x,x+1 也是有理数.∴ D(-x)=D(x),D(x+1)=D(x).则 D(x)是偶函数,D(x)为周期函数,B 正确, C 错误. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.f(x)=2x+sin x 为定义在(-1,1)上的函数,则不等式 f(1-a)+f(1-2a)<0 的解 集是 ________. 解析 f(x)在(-1,1)上是增函数, f(x)为奇函数. 且 于是原不等式为 f(1-a)<f(2a

?-1<1-a<1, -1)等价于?-1<2a-1<1, ?1-a<2a-1.
2 解得3<a<1. ?2 ? 答案 ?3,1? ? ? 4.若定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(1+x)=-f(x),则下列结论:①f(x)的图象 1 ?1 ? 关于点?2,0?对称;②f(x)的图象关于直线 x= 对称;③f(x)是周期函数,且 2 2 ? ? 是它的一个周期;④f(x)在区间(-1,1)上是单调函数.其中所有正确的序号是 ________. 1? ? 解析 由函数为奇函数且满足 f(1+x)=-f(x), f(x+2)=f(x), f?1+x-2? 得 又 ? ? ? 1? ?1 ? ?1 ? =-f?x-2?,f?2+x?=f?2-x?,所以②③正确. ? ? ? ? ? ? 答案 ②③ 三、解答题(共 25 分) a 5.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ x(x≠0,常数 a∈R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数.求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 当 a=0 时,f(x)=x2,(x≠0)

显然为偶函数;当 a≠0 时,f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 因此 f(1)≠f(-1),且 f(-1)≠-f(1), a 所以函数 f(x)=x2+ x既不是奇函数,也不是偶函数.
3 a 2x -a (2)f′(x)=2x-x2= x2 ,

当 a≤0 时,f′(x)>0,则 f(x)在[2,+∞)上是增函数, 2x3-a 当 a>0 时,由 f′(x)= x2 >0, 解得 x> 3 a 2,由 f(x)在[2,+∞)上是增函数,

可知

3 a 2≤2.解得 0<a≤16.

综上可知实数 a 的取值范围是(-∞,16]. 6.(13 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,求使 f(x)=-2在[0,2 014]上 的所有 x 的个数. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)解 1 当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,

设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 1 1 ∴-f(x)=-2x,即 f(x)=2x. 1 故 f(x)=2x(-1≤x≤1). 又设 1<x<3,则-1<x-2<1,

1 ∴f(x-2)=2(x-2). 又∵f(x)是以 4 为周期的周期函数 1 ∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x),∴-f(x)=2(x-2), 1 ∴f(x)=-2(x-2)(1<x<3).

?1x,-1≤x≤1, ?2 ∴f(x)=? 1 ?-2?x-2?,1<x<3. ?
1 由 f(x)=-2,解得 x=-1. ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 1 ∴f(x)=-2的所有 x=4n-1(n∈Z). 1 2 015 令 0≤4n-1≤2 014,则4≤n≤ 4 . 又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z), 1 ∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)=-2. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电 子资源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.



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