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(数学)金山中学2013届高一上学期期中考试

(数学)金山中学2013届高一上学期期中考试


金山中学 2013 届高一上学期期中考试 数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、下列四个命题:①“所有很小的正数”能构成一个集合;②方程(x-1) =0 的解的集合是 {1,1};③{1,3,5,7}与{3,7,5,1}表示同一个集合;④集合{(x,y)|y=x -1}与{y|y=x -1} 表示同一个集合.其中正确的是 A.仅有①、④ B.仅有②、③ 1 2、函数 y= 的定义域为 log0.5?4x-3? A. ?
?3 ? ,1 ? ?4 ?
2 2 2

C.仅有③

D.仅有③、④

B. ?

?3

? , ?? ? ?4 ?

C.(1,+∞)

D. ?

?3

? ,1 ? ? (1, ?? ) ?4 ?

3、下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是 A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2
-|x|

4、已知一个二次函数的顶点坐标为 ( 0 , 4 ) ,且过 (1, 5 ) 点,则这个二次函数的解析式为 A、 y ?
1 4 x ?1
2

B、 y ?

1 4

x ?4
2

C、 y ? 4 x ? 1
2

D、 y ? x ? 4
2

5、下列从 A 到 B 的对应法则 f 是映射的是 A、 A ? R , B ? R , f : 取绝对值 C、 A ? R , B ? R , f : 取对数 6、如果幂函数 y ? ( m ? 3 m ? 3 ) ? x
2 m ?m?2
2

?

B、 A ? R , B ? R , f : 开平方 D、 A ? Q , B ? ?偶数 ?, f : 乘 2 的图象不过原点,则 m 的取值范围是 C、 m ? ? 1 或 m ? 2 D、 m ? 1

?

?

A、 ? 1 ? m ? 2

B、 m ? 1 或 m ? 2

7、设 f ( x ) ? lg x ,且 0 ? a ? b ? c 时,有 f ( a ) ? f ( c ) ? f ( b ) ,则 A、 ( a ? 1)( c ? 1) ? 0 B、 ac ? 1 C、 ac ? 1 D、 ac ? 1

8、函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的图像可能是
y y=f(x) o x o y y=g(x) x

1

y

y

y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

9、已知函数 f ( x ) ? ? 是

? ( 3 a ? 2 ) x ? 6 a ? 1 ( x ? 1) ?a
x

( x ? 1)

在上 R 单调递减,那么实数 a 的取值范围 3 D.[ ,1) 8

A.(0,1)

2 B.(0, ) 3

3 2 C.[ , ) 8 3

10、 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=10, 且对于任意 x∈R 都有 f(x+20)≥f(x)+20, f(x +1)≤f(x)+1,若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(10)= A.20 B.10 C.1 D.0

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11、函数 y ? log
2 x ?1

1 2

( 8 ? 2 x ? x ) 的单调递增区间是
2

12、函数 y ?

? 2 的对称中心是

13、给出下列四个函数: ①y=2x;②y=log2x;③y=x2;④y= x.
x1 ? x 2 2
x a

当 0<x1<x2<1 时,使 f (

) >

f?x1?+f?x2? 恒成立的函数的序号是________. 2
y a

14、若 0 ? a ? 1 , x ? y ? 1 ,将 a , x , a , y 从小到大排列为 15、设 f ( x ) ?
4
x

?1
x ?1

? 2 x ? 1, 当 f ( ? m ) ?

2 时, f ( m ) ?

2

16、已知不等式 ax 不等式 cx
2

2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解集为 ?x ? ? x ? ? , 其中 0 ? ? ? ? ? ,则

? bx ? a ? 0 的解集是

三、解答题(共 70 分)
? 17、设 A ? ?x x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0 , x ? R ? ,若 A ? R ? ? ,求实数 p 的取值范围。

2

18、 (1)解关于 x 的方程: log 5 ( x ? 1) ? log 1 ( x ? 3 ) ? 1
5

?3? (2)关于 x 的方程 ? ? ?4?

x

?

3a ? 2 5? a

有负根,求 a 的取值范围。

19、 有一个湖泊受污染, 其湖水的容量为 V 立方米, 每天流入湖的水量等于流出湖的水量. 现
2

假设下雨和蒸发平衡,且污染物和湖水均匀混合. 用 g (t ) ?
p r ? [ g (0) ? p r
? r v t

]e

( p ? 0 , r ? 0 ) 表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物

的克数(我们称其湖水污染质量分数) g ( 0 ) 表示湖水污染初始质量分数. , (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数; (2)分析 g ( 0 ) ?
p r

时,湖水的污染程度变化趋势如何?
2

20、已知函数 f ( x ) ? lg( x ? 2 x ? m ) ,其中 m ? R ,且 m 为常数。 (1)求这个函数的定义域; (2)函数 f ( x ) 的定义域与值域能否同时为实数集 R ?证明你的结论。 (3)函数 f ( x ) 的图象有无平行于 y 轴的对称轴?证明你的结论。 21、已知函数 f ( x ) ? 2 和函数 g ( x ) ? x | x ? m | ? 2 m ? 8 . (1)若 m ? 2 ,求函数 g ( x ) 的单调区间;
|x ? m |

(2)若方程 f ( x ) ? 2

m

在 x ? [ ? 4, ? ? ) 恒有惟一解,求实数 m 的取值范围;

(3)若对任意 x1 ? ( ? ? , 4 ] ,均存在 x 2 ? [ 4, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实数 m 的取值 范围. (注:不等式 2 ? 2 x 解集为 { x | x ? 1或 x ? 2 } )
x

3

参考答案
一、选择题答案栏(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 题号 答案 C D B D C 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11、 ?1, 4 ? 12、 ?1, ? 2 ? 13、②④ 14、 a ? a ? y ? x
x y a a

6 D

7 D

8 A

9 C

10 B

15、 2 ?

2

16、 ? x x ?
?

?

1

?

或x ?

1 ? ? ? ?

三、解答题(共 70 分)
2

17、解:由于 A ? ?x x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0 , x ? R ? ,故: ① 当 ( p ? 2 ) ? 4 ? 0 时,即 ? 4 ? p ? 0 时, A ? ? ,满足题意;
2

②当 A ? ? 时,由于 A ? R ? ? ,且方程 x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0 的根不可能为 0 , 所以方程两根都是负根,从而有
2

?

?( p ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? ?? ( p ? 2) ? 0 ?1 ? 0 ?

解得

p ? 0

综上, p ? ? 4 。 18、解: (1)原方程化为 log 5 ( x ? 1) ? log 5 ( x ? 3 ) ? log 5 5 ,从而
( x ? 1)( x ? 3 ) ? 5

解得 x ? ? 2 或 x ? 4 经检验, x ? ? 2 不合题意,故方程的解为 x ? 4 (2)设方程的负根为 x 0 ( x 0 ? 0 ) ,则有
?3? ? ? ?4?
x0

?

3a ? 2

?3? ? ? ? ?1 5? a ?4?
r v r v

0

解得

3 4

? a ? 5

19、解: (1)任取 t1 , t 2 ? 0 ,因为 g (t ) 为常数,故有
g ( t 1 ) ? g ( t 2 ) ,即 [ g ( 0 ) ?
p r
p r
r r

?

t1

][ e

?e

?

t2

]? 0,

由 t1 , t 2 的任意性,所以 g ( 0 ) ? (2)设 0 ? t 1 ? t 2 ,则
g (t1 ) ? g (t 2 ) ? [ g ( 0 ) ?
p r
? r v t1



][ e

?e

?

r v

t2

]

=[ g (0 ) ?
r v

p r

]?

ev

t2

? ev
( t1 ? t 2 )

t1

r

ev

? g (0) ?

p r

? 0 , 0 ? t1 ? t 2 , r ? 0

?

t2 ?

r v

r

t1

?ev

t2

r

? ev , ev

t1

r

( t1 ? t 2 )

? 0

所以 g ( t 1 ) ? g ( t 2 ) . 即污染越来越严重. 20、解: (1)由 x ? 2 x ? m ? 0 ,且 ? ? 4 (1 ? m )
2

当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时, x ? 1 ? 1 ? m 或 x ? 1 ? 1 ? m 当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时, x ? 1 当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时, x ? R 综上, m ? 1 时, f ( x ) 定义域为 R , m ? 1 时, f ( x ) 定义域为 ? ? ? ,1 ? ? ?1, ?? ? , 当 当
4

当 m ? 1 时, f ( x ) 定义域为 ( ?? ,1 ? 1 ? m ) ? (1 ? (2)由(1)知,要使函数 f ( x ) 的定义域为 R ,须 m ? 1 要使函数 f ( x ) 的值域为 R ,须
? ? 4 ? 4 m ? 0 ,即 m ? 1

1 ? m , ?? )

两者同时成立须 ?

, m 无解,即不可能 f ( x ) 的定义域与值域能否同时为实数集 R 。 ?m ? 1 (3)设存在直线 x ? a ( a ? 0 ) ,满足 f ( x ) ? f ( 2 a ? x )
? lg( x ? 2 x ? m ) ? lg ( 2 a ? x ) ? 2 ( 2 a ? x ) ? m
2 2

?m ? 1

?

?

化简得
(1 ? a )( x ? a ) ? 0 ?a ? 1
? x 2 ? 2 x ? 4 ( x ? 2) ? ?? x ?
2

所以函数 f ( x ) 的图象有平行于 y 轴的对称轴 x ? 1 21、解:解: (1) m ? 2 时, g ( x ) ? ?
? 2 x ? 4( x ? 2)



函数 g ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? ,1), ( 2, ? ? ) ,单调减区间为 (1, 2 ) . (2)由 f ( x ) ? 2 | x ? m | 在 x ? [ ? 4, ? ? ) 恒有唯一解,得 x ? m ? m 在 x ? [ ? 4, ? ? ) 恒有唯一解. 当 x ? m ? ? m 时,得 x ? 0 ? [ ? 4, ? ? ) ; 当 x ? m ? m 时,得 x ? 2 m ,则有 2 m ? 0 或 2 m ? ? 4 ,即 m ? ? 2 或 m ? 0 . 综上, m 的取值范围是 m ? ? 2 或 m ? 0 .
?2 (x ? m) ? (3) f ( x ) ? ? m ? x ,则 f ( x ) 的值域应是 g ( x ) 的值域的子集. (x ? m) ?2 ?
x?m

① 当 m ? 4 时, f ( x ) 在 ( ? ? , m ] 上单调减, [ m , 4 ] 上单调增,故 f ( x ) ? f ( m ) ? 1 .
g ( x ) 在 [ 4, ? ? ) 上单调增,故 g ( x ) ? g ( 4 ) ? 8 ? 2 m
7 2

由 8 ? 2 m ? 1 ,解得

? m ? 4



② 当 4 ? m ? 8 时, f ( x ) 在 ( ? ? , 4 ] 上单调减,故 f ( x ) ? f ( 4 ) ? 2 m ? 4 ,
g ( x ) 在 [ 4, m ] 上单调减, [ m , ? ? )
m?4

上单调增,故 g ( x ) ? g ( m ) ? 2 m ? 8 ,

? 2 m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5 或 6 ? m ? 8 . 所以 2 ③ 当 m ? 8 时, f ( x ) 在 ( ? ? , 4 ] 上单调减,故 f ( x ) ? f ( 4 ) ? 2 m ? 4

而 g ( x) 在 ?4,
?

?

m? ?m ? , m 上单调减, [ m , ? ? ) 上单调递增 ? 单调增, ? 2 ? 2 ? ? ?

? g ( 4 ) ? 4 m ? 16 ? g ( m ) ? 2 m ? 8 ? g ( x) ? g (m ) ? 2m ? 8

由 2 m ? 4 ? 2 m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5 或 m ? 6 .所以 m ? 8 综上, m 的取值范围是 [ , 5 ] ? [6 , ? ? ) .
2 7

5



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