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安徽省江南十校2014届高三上学期9月摸底联考文科数学试卷(解析版)

安徽省江南十校2014届高三上学期9月摸底联考文科数学试卷(解析版)


安徽省江南十校 2014 届高三上学期 9 月摸底联考文科数学试卷 (解析版)
一、选择题 1 . 若 复 数 ( A.
1 25 1? i a , b ? R , i 为 虚 数 单 位 ) , 则 ab 的 值 是 ? a? b ( i 2?i 3 25 1 5 3 5

) B. C. D.

【答案】B. 【解析】 试 题















1 ? a? ? 2 a ? b ? 1 ? ? 5 ?? 1? i= ? a ? bi ?? 2 ? i ? ,?1? i= ? 2a ? b? ? ? 2b ? a ? i, ? ? 故选 B. ?2b ? a ? 1 ?b ? 3 ? 5 ?
考点:复数的运算. 2 ( . ) B. ?1 , 3? C. ? ?1 , 3? D. ?1 , 3? 已 知 集 合
A ? x y ? log 2 ? x ? 1? , B ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,

?

?

?

?



A? B ?

A. ? ?1, 3? 【答案】D. 【解析】

试题分析: A ? ?1, ? ? ? , B ? ??1, 3? , A ? B ? ?1, 3? . 故选 D. 考点:1.集合的基本运算;2.一元二次不等式的解法;3.函数的定义域. 3. 设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则 a6 ? a7 ? a8 ? A.40 【答案】C. 【解析】 试 B.50 C.60 D.70 ( )









a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 15 , ? a2 ? 5 , ? a1 ? a3 ? 10 , a1a3 ? 16 , d ? 0 , ? a1 ? 2 , a3 ? 8 , d ? 3 , ? a6 ? a7 ? a8 ? 3a7 ? 3 ? a1 ? 6d ? ? 60 .

故选 C. 考点:1.等差数列的性质;2.求等差数列若干项的和. ? ? ? ? , b? 2? , ? ? 3 1b ,与 4 . 已 知 a ? ?1 ? 若 , ?a ? ( ) A. ?10 C. ?2

? b









??

B.10

D.2

【答案】A. 【解析】 试题分析: ? a ? b ? b ? ? a ? b+ b ? ? ? 10 ? 0 , ? ? ? ?10 , 故选 A. 考点:1.平面向量的数量积坐标运算;2.平面向量垂直的判断. 5 ( A.
13 5

?

?

? ?

?

? ? ?2

. ) B.
5 13



sin ? ? cos ? 4 ? , sin ? 3 13 5 5 13



3sin 2 ? ? cos 2 ? ?

C. ?

D. ?

【答案】A. 【解析】 试 题








2 2


2



得 故 选

4sin ? ? 3sin ? ? 3cos ? , ? tan ? ? 3 , 3sin 2 ? ? cos2 ? ?

3sin ? ? cos ? 3tan ? ?1 13 ? ? . sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1 5

A. 考点:1.三角恒等变换;2.三角函数知值求值问题. 6.执行如图所示的程序框图,则输出 n 的值是 ( )

A.2014 【答案】A. 【解析】

B.2015

C.2016

D.2017

试题分析:由框图可知, n ? 1, 4 , 7 , ? , 3k ? 2 . 当 k ? 672 时, n ? 2014 ? 2013 , 输出

n ? 2014 ,故选 A.
考点:算法框图. 7.函数 f ? x ? ? 3x ? x3 ? 3 在区间 ? 0 , 1? 内的零点个数是( A.0 B.1 【答案】B. 【解析】 C.2 D.3 )

x 3 x 3 试题分析: 令 3 ? x ? 3 ? 0 得 3 ? 3 ? ?x , 画图可知两函数 y ? 3x ? 3 和 y ? ? x3 的图像有一个

交点,故选 B. 考点:函数的零点存在性定理. 8.已知 x 轴上一点 M ? m , 0? , 抛物线 y 2 ? 16 x 上任意一点 N , 满足 MN ? m , 则 m 的取值 范围是( )

A. ? ?? , 0 ? 【答案】B. 【解析】

B. ? ?? , 8?

C. ? 0 , 8?

D. ? 0 , 8 ?

2 ? m2 , 又 x0 ? 0 , ? 2m ? x0 ? 16 恒 成 立 , 试 题 分 析 : 设 N ? x0 , y0 ? , 则 MN ? ? x0 ? m? ? y0 2 2

? 2m ? 1 6 , ? m ? 8 ,故选 B.

考点:抛物线的简单几何性质. 9.在同一平面直角坐标系中,函数 f ? x ? ? lg ? x ? 1? 的图像与函数 g ? x ? ? lg ? ? x ? 1? 的图像关 于( ) A.原点对称 【答案】D. 【解析】 试题分析:由题意得 g ? x ? ? f ? ? x ? , f ? ? x ? 与 f ? x ? 关于 y 轴对称,故选 D. 考点:函数的图形与性质. ??? ? ???? ??? ? 10. 已知 AB ? ?1, k ? , AC ? ?4 , 2 ? , AB ? 5 , k ? Z 则 ?ABC 是钝角三角形的概率为 A.
1 9

B. x 轴对称

C.直线 y ? x 对称

D. y 轴对称





B.

4 9

C.

5 9

D.

2 3

【答案】C. 【解析】 试 题 分 析 :
? ?A ? ? 1B
2

? ?

? 5 k ? ,

? 2 又 ?k 6

?

2

??? ? ???? ??? ? ? k ? Z , ? k ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3 , ? 4 .? BC ? AC ? AB ? ?3 , 2 ? k ? ,

若 AB ? AC ? 0 ,则 k ? ?2 , k ? ?3 , ? 4 . 若 BA ? BC ? 0 ,则 ?1 ? k ? 3 , ? k ? 0 , 1 , 2 . 若 CA ? CB ? 0 ,则 k ? 8 (舍) .
?P ? 5 , 故选 C. 9
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ????

考点:1.古典概型;2.平面向量的应用.

二、填空题 11.命题“对于任意正实数 x , 都有 2x ? log 2 x ”的否定是 【答案】 ?x0 ? R , 使得 2x0 ? log3 x0 . 【解析】 .

试题分析:根据全称命题的否定可得“对于任意正实数 x , 都有 2x ? log2 x ”的否定是 “ ?x0 ? R , 使得 2x0 ? log3 x0 ” . 考点:全称命题与特称命题.
?x ? 2 y ? 4 , ? 12.若实数 x , y 满足约束条件 ? y ? 0 , 6 ?x ? y ? 1. ?
4

则 z ? 2 x ? y 的最小值



A
2

5

O
2

5

10

【答案】 ?7 . 【解析】 4 试题分析: 作出可行域, 由图可知当直线 z ? 2 x ? y 过直线 x ? 2 y ? 4 , x ? y ? 1 的交点 A ? ?2 , 3? 时, zmin ? 2 ? ? ?2? ? 3 ? ?7 . 考点:线性规划. 13.已知函数 f ? x ? 是 R 上的单调递增函数,若 A ? ?2 , ? 4? , B ? 0 , 4? 是其图像上的两点,则 不等式 f ? x ? 2? ? 4 的解集是 【答案】 ? 0 , 2? . 【解析】 试题分析:由已知得 ?4 ? f ? x ? 2? ? 4 , ??2 ? x ? 2 ? 0 , ? 0 ? x ? 2 . 考点:函数的单调性质. 14.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 .
6



【答案】 10 ? 2 . 【解析】 试题分析:该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,四棱锥的表面积为
1 1 1 1 1 S ? ? 22 ? ?1 ? 2? ? 2 ? ?1? 2 2 ? ? 22 ? ? 2 ? 3 ? 10 ? 2 . 2 2 2 2 2

考点:1.三视图;2.几何体表面积的计算. 15.给出下列命题:
?? ? ①若函数 f ? x ? ? a sin x ? cos x 的一个对称中心是 ? , 0 ? , 则 a 的值等于 ? 3 ; ?6 ? ?? ? ? ?? ②函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 在区间 ?0 , ? 上单调递减; 2 ? ? ? 2? ?? ? ③若函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? 的图像向左平移 a ? a ? 0? 个单位后得到的图像与原图像关于直 3? ? ? ? 线 x ? 对称,则 a 的最小值是 ; 2 6

? ?? ? ④已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? , 若 ? f ? ? ? f ? x ? 对 ?x ? R 恒成立,则 ? ? 或 6 6 ? ?
? 5? . 6

其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④. 【解析】 ?? ? ? c o sx, 可 得 a ? ? 3 , 所 以 ① 正 确 ; ② 试 题 分 析 : ① 将 点 ? , 0 ? 代 入 f ? x? ? as i n x ?6 ? ?? ? ? ?? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? sin 2 x 在区间 ?0 , ? 先递增后递减, 所以②错误; ③将 f ? x ? 的图像向 2? ? ? 2? ?? ? 左平移 a ? a ? 0? 个单位后得 g ? x ? ? sin ? 2 x ? 2a ? ? . 又 ? g ? x ? 的图像与 f ? x ? 的图像关于直 3? ? ?? ?? 2? ? ? ? ? ? 线 x ? 对称, ? g ? x ? ? sin ? 2?? ? x? ? ? ? sin ? ? 2x ? ? ? sin? 2x ? ? . 比较 g ? x ? 的解析式 2 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 可得 2a ?

?
3

? 2k? ?

2? ? 2? ? 或 2a ? ? 2k? ? ? ? ? k ? Z ? , 又 a ? 0 , 易知 a 的最小值是 , 所以 3 3 3 6

③ 正 确 ; ④ 由 题 知 x?

?
6

是 函 数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的 一 条 对 称 轴 ,

? ? ? ? ? ? ?sin ? 2 ? ? ? ? ? ?1, ? 2 ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , ? ? k? ? ? k ? Z ? , 6 6 2 6 ? ?
? ?? ? ? ? ? , ?? ?

?
6

或?

5? ,所以④正确. 6

考点:三角函数的图像及其性质. 三、解答题 16.已知函数 f ? x ? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? x ? R ? . 2 2

(I)当 x ??0, ? ? 时,求 f ? x ? 的最大值和最小值; ( II )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f ? C? ? 0 ,若向量

?? ? m ? ?1, sinA? 与向量 n ? ? 2,sin B ? 共线,求 a , b 的值.
【答案】 (I) f ? x ?max ? 0 , f ? x ?min ? ?2 ; (II) a ? 1 , b ? 2 . 【解析】 试题分析: (I)利用倍角公式等将函数 f ? x ? 化为一个复合角的三角函数关系式,再根据给 定 的 函 数 的 定 义 域 求

f ? x ? 的 最 大 值 和 最 小 值 ; ( II )

?? ? ? f ? C ? ? sin ? 2C ? ? ? 1 ? 0 , ? C ? ? 0 ? C ? ? ? .?1? sin B ? 2 ? sin A , 6? 3 ?
? ?? ? ? ? ?sin ? ? ? ? A ? ? 2sin A . 3 sin ? A ? ? ? 0 , 3 6? ? ? ?
?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 .

又 0 ? A ? ? ,? A ?

?
6

,B?

?
2

,? 在 直 角













I



f ? x? ?

3 1 ? cos 2 x 1 3 1 ?? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? 1. 2 2 2 2 2 6? ?
?
6

? x ? ?0 , ? ? , ? 2 x ?

?? ? ? 11? ? ? ? ?? , ? , ?sin ? 2 x ? 6 ? ? ??1, 1? , ? f ? x ?max ? 0 , f ? x ?min ? ?2 . 6 6 ? ? ? ?

6

分 (II) f ? C ? ? sin ? 2C ?

? ?

??

? ? ? 1 ? 0 ,? C ? 3 ? 0 ? C ? ? ? 6?

? ?? ? ? ? ?1? sin B ? 2 ? sin A , ? sin ? ? ? ? A ? ? 2sin A 3 sin ? A ? ? ? 0 3 6? ? ? ?
又 0 ? A ? ? ,? A ?

?
6

,B?

?
2

, ? 在直角 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 .

12 分

考点:1.三角函数的最值;2.平面向量坐标运算.
2 17. 已知等差数列 ?an ? 的首项为 a , 公差为 d , 且不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 ?1, d ? .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)若 bn ? 3 n ? an ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn .
a

3 【答案】 (I) an ? 2n ? 1 ; (II) Tn ? ? 9n ? 1? ? n2 . 8

【解析】
2 试题分析: (I )由题设可知 1 , d 是一元二次方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根,由韦达定理得

3 ? 1? d ? , ? ? a 由 此 可 解 得 a , d 的 值 , 进 而 可 写 出 an 的 通 项 公 式 ; ( II ) 由 ( I ) 知 ? 2 ?1 ? d ? . ? a ?
bn ? 32 n ?1 ? 2n ? 1 , 写出 Tn 的表达式,根据 Tn 的结构特征采用分组求和法求 Tn .

3 ? 1? d ? , ? ?a ? 1 , ? a ?? ? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1. 试题解析: ( I )易知: a ? 0 , 由题设可知 ? ?d ? 2 . ?1? d ? 2 . ? a ?

6分 (II)由(I)知 bn ? 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,
? Tn ? ? 3 ? 1? ? ? 3 ? 3? ? ? ? ? 3
3

2 n ?1

? 2n ? 1? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 3
1 3

2 n ?1

? ? ?1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1? ?

31 ?1 ? 9n ? 1? 9

?

?1 ? 2n ? 1? n
2

?

3 n ?9 ? 1? ? 8

12 分 考点:1.一元二次不等式的解法;2.等差数列通项公式的求法;2.分组法求数列前 n 项 和. 18.已知四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱 SA ? 底面 ABCD ,且底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形, SA ? 2 , AC 与 BD 相交于点 O .

S

D O A B

C

(I)证明: SO ? BD ; (II)求三棱锥 O ? SCD 的体积. 【答案】 (I)详见试题解析; (II) 【解析】 试题分析: ( I ) 要 证 SO 与 BD 垂 直 , 只 要 证 明 BD ? 平 面 S A C. ?SA ? 平 面 ABCD , ? S? A B D CA ? BD ,且 SA 与 AC 交于点 A , ? BD ? 平面 SAC . 或者证明三角 ,又 形 SBD 为等腰三角形,可以通过证明直角三角形 SAD 和直角三角形 SAB 全等证得
1 SD ? SB ; (II)可以直接利用棱锥体积计算公式: V ? Sh 直接求三棱锥 O ? SCD 的体 3 2 . 3

积,也可利用等体积法转化为求 VS ? OCD ,这样底面积 S?OCD 易求,而三棱锥 S ? OCD 高即为
SA ,可以利用线面垂直的证法证得. A ?B D ,且 SA 与 AC 交于点 A , 试题解析: (I)证明:?SA ? 平面 ABCD , ? SA ? BD ,又 C ? BD ? 平面 SAC . ?SO ? 平面 SAC , ? SO ? BD . 6分

(II)解: ?SA ? 底面 ABCD , ? SA ? 平面 DOC .
1 1 2 ? BD ? AC ? 2 2 , ? DO ? CO ? 2 , ? S?DOC ? ? 2 ? 2 ? 1, ?VO ? SCD ? VS ?OCD ? ? SA ? S?DOC ? . 2 3 3

13 分 考点:1.立体几何线面垂直的证明;2.锥体的体积公式. 19.已知函数 f ? x ? ? x ? 2a ln x ? a ? R ? .
2

(I)求 f ? x ? 的单调区间; (II)设 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ,若 g ? x ? 在 1, 2 上单调递增,求 a 的取值范围. 【答案】 (I) a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0 , ? ? ? . a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间是

? ?

?

a , ? ? , f ? x ? 的单调递减区间是 0 , a ; (II) a ? ? ?? , 2

?

?

?

?.
2a 2x2 ? 2a ? ,然后分 x x 由 已 知 得

【解析】 试题分析: ( I )先求出定义域,为 ? 0 , ? ? ? , 再求导: f ? ? x ? ? 2x ?
a?0,a?0









II





g ? x ? ? x 2 ? 2a ln x ? 2 x ? x ? 0 ? , g ? ? x ? ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2 x ? 2a ?2? . x x

依 题 意 :

2 x 2 ? 2 x ? 2a ? 0 对 ?x ??1, 2? 恒成立,转化为? a ? ? x 2 ? x ?
试题解析: (I) 定义域为 ? 0 , ? ? ? , f ? ? x ? ? 2x ?

min



2a 2 x2 ? 2a ? . 若 a ? 0 , 则 f ?? x? ? 0 ,? f ? x? 单 x x

调递增区间是 ? 0 , ? ? ? . 若 a ? 0 , 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ? a 或 x ? a , ? f ? x ? 的单调递增区间 是

?

a , ? ? . 令 f ? ? x ? ? 0 , 得 ? a ? x ? a , ? f ? x ? 的单调递减区间是 0 , a . 故 a ? 0 时,

?

?

?

f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0 , ? ? ? . a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间是

?

a , ? ? , f ? x ? 的单调

?

递减区间是 0 , a .

?

?

6分

( II ) g ? x ? ? x ? 2a ln x ? 2 x ? x ? 0 ? , g ? ? x ? ? 2 x ?
2

2a 2 x 2 ? 2 x ? 2a ?2? . 依题意: x x
恒 成 立 ,

2 x 2 ? 2 x ? 2a ? 0
2


2

?x ??1, 2?

1? 1 ? ? a ? x ? x .? x ? x ? ?2x ? ? ? , x ? ?1, 2? , ?? x ? x ? ? 1 ? 12 ? 2 , ? a ? 2 , m i n 2? 4 ?

2



2

a ? ? ?? , 2? .

13 分

考点:1.函数导数与函数的单调性;2.利用导数解决恒成立问题中的参数取值范围问题. 20.已知 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 的左、右焦点,椭圆的离心率 2 b2

e?

2 . 2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)已知直线 y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与 直线 x ? 2 相交于点 Q .求证:以线段 PQ 为直径的圆恒过定点 F2 . 【答案】 (I) 【解析】
2 ? b2 ? 2 ? 2 ?? 试题分析: (I) 由题意可知 e ? (II)由 (I) ? 2 ? ? , b ? 1 , 从而可得椭圆 E 的方程; 2 ? ?
2 2

x2 ? y2 ? 1 ; (II)详见试题解析. 2

? y ? kx ? m , ? ? ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 . 再 知 F2 ?1 , 0 ? , 联立动直线和椭圆方程可得: ? x 2 2 ? y ? 1. ? ?2 利用向量数量积的坐标公式及韦达定理通过计算证明结论.

试题解析: ( I)解:由题意可知 e2 ? 4分

2 ? b2 ? 2 ? x2 2 ?? , b ? 1 , ? E ? y 2 ? 1. 椭圆 的方程为 ? ? 2 ? 2 2 ? ?

2

, 立 动 直 线 和 椭 圆 方 程 可 得 : ( II ) 证 明 : 由 ( I ) 知 F2 ?1 , ? 0 联
? y ? kx ? m , ? 2 ? 2k 1 ? ? ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 . 由 ? ? 0 得 2k 2 ? m2 ? 1 , 且 P ? ? , ? , 又 ?x 2 ? m m? ? ? y ? 1. ?2 ???? ? ? 2k ? 1 ? ???? Q ? 2 , 2k ? m? , ? F2 P ? ? ? ?1, ? , F2Q ? ?1, 2k ? m? . m? ? m ???? ? ???? ? ? 2k ? ???? ? ???? ? 1 ? F2 P ? F2Q ? ? ? ? 1? ?1 ? ? ? 2k ? m? ? 0 , ? F2 P ? F2Q , 故结论成立. 13 分 m ? m ?

考点:1.椭圆的方程及其简单几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.解析几何定点问 题.



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