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圆锥曲线与方程复习教师用

圆锥曲线与方程复习教师用


圆锥曲线与方程复习 一、点击高考
1.圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容: ①圆锥曲线的两种定义、标准方程及 a、b、c、e、p 五个参数的求解. ②圆锥曲线的几何性质的应用. 2、求动点轨迹方程或轨迹图形 3.有关直线与圆锥曲线位置关系问题,常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、 弦长等,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理. 4.求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运 算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几 何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势. 学好的关键:掌握好定义,能根据图形的几何特征得式子或等式,能对繁杂式子进行化简处理。

二、考题再现
1、(2011· 安徽高考)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( C A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 )

2、(2011· 山东高考)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 |FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( C A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞)
x a
2 2

)

D.[2,+∞)
? y b
2 2

3、 【2012 高考新课标文 4】设 F1 F 2 是椭圆 E :
x ? 3a 2
?

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为直线

上一点, ? F 2 PF 1 是底角为 3 0 的等腰三角形,则 E 的离心率为( c
1 2
(B)



( A)

2 3

(C )

? ?

(D )

? ?
2

4、 【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 的准线交于 A , B 两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)

? 16 x

c )
(D ) ?
2

2

(B)

2 2

(C ) ?
2

5、 【2012 高考全国文 10】已知 F1 、 F 2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
| P F1 | ? 2 | P F 2 | ,则 co s ? F1 P F 2 ? ( C)

(A)

1 4

(B)

3 5

(C)
x a
2 2

3 4

(D)

4 5

6、 【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : 上,则 C 的方程为

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线

1

A.

x

2

-

y

2

=1 B.

x

2

-

y

2

=1 C.

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1

[

20

5

5

20

80

20

20

80

【答案】A 7、 【2012 高考江西文 8】椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分

别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.
1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5 -2

【答案】B 8、(2011· 新课标卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离 心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, 两点, B 且△ABF2 的周长为 16, 那么 C 的方程为__________. 2

x2 y2 2 c 2 解析:根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵e= ,∴ = .根据 a b 2 a 2 △ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2, x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 8 x2 y2 答案: + =1 16 8

9、 【2012 高考江苏 8】 分) (5 在平面直角坐标系 x O y 中, 若双曲线 则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。

x

2

?

y
2

2

m

m ?4

?1

的离心率为 5 ,

10、(2011· 江西高考)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;
??? ? ??? ? ??? ?

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 O C = O A +λ O B ,求 λ 的值. p 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 2 与 y2=2px 联立, 5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以:x1+x2= . 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1, 2=4, 1=-2 2, 2=4 2, x y y 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); 设 O C =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)
2

??? ?

=(4λ+1,4 2λ-2 2). 又 y2=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 3 即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0,或 λ=2.

三、知识要点
(一)圆锥曲线的定义及其简单几何性质: 椭圆 定义 平面内与两个定点 F1、 F 2 的距离
| 之和等于常数(大于 F1 F|)的 2

双曲线 平面内与两个定点 F1、 F 2 的距 离的差的绝对值等于常数(小
| 于 F1 F|且大于零)的点的轨 2

抛物线 平面内与一个定点
F 和一条直线 l( l

点的轨迹
MF 1 ? MF
2

不经过点 F )距离 相等的点的轨迹

? 2a


MF 1 ? MF
2

当 2 a ﹥2 c 时, 轨迹是_________ 当 2 a =2 c 时,轨迹是_________ 当 2 a ﹤2 c 时, 轨迹___________ 标准 方程 abc 关 系式 图形 对称 性 顶点 离心 率
决定形 状的因 素

? 2a

当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是_______ 当 2 a =2 c 时,轨迹是________ 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹_________
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

y ? 2 px( p ? 0)
2

封闭图形

无限延展,有渐近线 对称中心为原点 两条对称轴

无限延展,无渐近 线 无对称中心 一条对称轴

四个

两个

一个

说明: (1)定义中要重视“括号”内的限制条件; (2)圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : I)椭圆:由 x
2

,y
2

2

分母的大小决定,焦点在_________的坐标轴上;
2

II)双曲线:由 x

,y

项系数的正负决定,焦点在__________的坐标轴上;

III)抛物线:焦点在_______的坐标轴上,___________决定开口方向。 (二)直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交
3

___________有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的__________________(填充分与必要条件); ? 0 ? 直线与抛物线相 ? 交,但直线与抛物线相交___________有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线 相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的__________________(填充分与必要条 件)。 (2)相切: ? ? 0 ; (3)相离: ? ? 0 (三)弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x 2 分别为 A、B 的横坐 标,则 A B = 1 ? k
1 k
2
2

x1 ? x 2 =

(1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] ,若 y 1 , y 2 分别为 A、B 的纵坐标,
2 2

则 AB = 1 ?

y1 ? y 2 =

(1 ?

1 k
2

)[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] , 若 弦 AB 所 在 直 线 方 程 设 为
2

x ? ky ? b ,则 A B = 1 ? k

2

y1 ? y 2 =

(1 ? k )[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] 。
2 2

(四)圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆
x a
2 2

?

y b

2

2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=__________;

在双曲线

x a

2 2

?

y b

2

2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=________;

在抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=__________
2

(同学们要自己动手看看斜率公式的得来) (五)几个重要的结论 (1)双曲线 x
a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的渐近线方程为

x a
2 2

2 2

?

y b

2 2

? 0


x a
2 2

(2) y ? ? 以

b a

x

为渐近线 (即与双曲线 x
a

?

y b

2 2

的双曲线方程可设为 ? 1 共渐近线)

?

y b

2 2

? ? (?

为参数, ? ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 m x ? n y ? 1 ;
2 2

四、求轨迹问题——

求轨迹的常用方法:

(1)直译法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线 的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)相关点法(代入法):若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化,并且 Q(x1,y1) 又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹 方程; (4) 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义, 则可由曲线的定义直接写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。(如导学案 35 页变 式 2 中求抛物线方程和直线方程)
4

五、例题讲解
例 1(1) 【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C 1 :
C 2 : x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的焦点到双曲线 C 1
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的离心率为 2.若抛物线

的渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程为( d ) (C) x 2
? 8y

(A)

x ?
2

8 3 3

y

(B)

x ?
2

16 3 3

y

(D) x 2

? 16 y

(2) 【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线 的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

【答案】B (3) 【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点 在坐标原点 O , 并且经过点 M ( 2 , y 0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点 的距离为 3 ,则 | O M | ? ( A、 2 2 【答案】B (4) 【2012 高考福建文 5】已知双曲线
x a
3 14 14 3 2 4
3 2
2 2

) C、 4 D、 2 5

B、 2 3

-

y

2

=1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于

5
4 3

A

B

C

D

【答案】C. 例 2、如图,平面上定点 F 到定直线 l 的距离 | F M | ? 2 , P 为该平面上的动点,过 P 作直线 l 的 垂线,垂足为 Q ,且 ( P F ? P Q ) ? ( P F ? P Q ) ? 0
??? ? ???? ??? ? ????

(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线:交轨迹 C 于 A 、 B 两点,交直线 l 于点 N ,已知 N A = ?1 A F , N B ? ? 2 B F , 求证 ? l ? ? 2 为定值. 8、 【答案】(1)由 ( P F ? P Q ) ? ( P F ? P Q ) ? 0 得 P Q ? P F ,所以动点 P 的轨迹是抛物线,以线段
??? ? ???? ??? ? ????

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

5

F M 的中点为原点 O ,以线段 F M 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 x O y ,可得轨迹 C 的

方程为 x ? 4 y .
2

??? ? ???? NA AF ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? (2)由已知 N A = ?1 A F , N B ? ? 2 B F ,得 ?1 ? ? 2 ? 0 ,于是 ???? = ? 1 ? ???? ① ?2 BF NB ??? ? ???? ???? NA A A1 AF 过 A,B 两点分别做直线 l 的垂线,垂足分别为 A1 , B 1 ,则有 ???? = ???? = ???? ② NB B B1 BF

由①②得, ?1 ? ? 2 ? 0 例 3、已知椭圆 C 1 、抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C 1 的中心和 C 2 的顶点均为原点 O ,从每条曲 线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
x
y

3
?2 3

?2

4
?4

2
2 2
[

0

⑴求 C 1、 C 2 的标准方程; ⑵请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C 2 的焦点 F ;②与 C1 交不同两点 M 、 N , 且满足
???? ? ???? O M ? O N ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

【答案】(1)设抛物线 C 2 的方程为 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,则有
2 2

y

2

? 2 p ( x ? 0 ) ,据此验证可知点

x

(3, ? 2 3 ), ( 4, ? 4 ) 在抛物线上,易求 C 2 的方程为 y ? 4 x

设椭圆 C 1 的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,把点 ( ? 2 , 0 ), ( 2 ,

?a ? 4 ? ) 代入得 ? 2 2 ?b ? 1 ?
2
2

故 C 1 的方程为

x

2

? y ? 1.
2

4

(2)假设存在这样的直线 l 的斜率为零时,直线 l 与 C 1 的交点为 C 1 的左顶点和右顶点,
???? ? ???? O M ? O N 不成立,故不妨设直线 l 的直线为 x ? 1 ? m y , M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,
?x ?1 ? my ?3 ?2m ? 2 2 , y1 ? y 2 ? 2 由? x2 ,得 ( m ? 4 ) y ? 2 m y ? 3 ? 0, y 1 y 2 ? 2 ① 2 m ?4 m ?4 ? y ?1 ? ? 4

x1 x 2 ? (1 ? m y 1 )(1 ? m y 2 ) ?

4 ? 4m
2

2

m ?4



6

? 由 O M ? O N 知, O M ? O N = 0, x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0

???? ?

????

???? ???? ?

?m ? ?

1 2

所以假设成立,直线 l 为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2

五、课外作业 x2 y2 1、 (2011· 浙江杭州模拟)双曲线 - =1 的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=2 相交于 M、 两点且|MN| N 3 b =2,则此双曲线的焦距是( D ) A.2 2
2 2

B.2 3

C.2

D.4

x y 2、过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2 a b =60° ,则椭圆的离心率为(B A. 2 2 B. 3 3 ) 1 C. 2 1 D. 3

3、已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上存在关于直线 x ? y ? 1 对称的相异两点,则实数 P 的取值范围
2

为(B) (A) ( ?
2 3 , 0)
2 2

(B) ( 0 , )
3

2

(C) ( ?

3 2

, 0)

(D) ( 0 , )
2

3

4、过双曲线

x a

2 2

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线

的渐近线交于点 M 、 N (均在第一象限内),若 F M ? 4 M N ,则双曲线的离心率为(B) (A)
5 4

???? ?

???? ?

(B)

5 3

(C)

3 5

(D)

4 5 1 2

5、 已知点 F1 ( ? 2 , 0 ) F 2 ( 2 , 0 ) , 动点 P 满足 | P F 2 | ? | P F1 |? 2 , 当点 P 的纵坐标是 到坐标原点的距离是 a (A)
6 2
2

时, P 点

(B)

3 2

(C) 3

(D)2

6、 已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一点, 设点 P 到此抛物线准线的距离为 d 1 , 到直线 x ? 2 y ? 1 0 ? 0 的距离为 d 2 ,则 d 1 ? d 2 的最小值是 c (A)5 (B)4 (C)
11 5 5

(D)

11 5

7、设过点 P ( x , y ) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、 B 两点,点 Q 与点 P 关于

7

??? ? ??? ? ???? ??? ? y 轴对称, O 为坐标原点,若 B P = 2 P A ,且 O Q ? A B ? 1 ,则点 P 的轨迹方程是:d

(A) 3 x ?
2

3 2

y ? 1( x ? 0 , y ? 0 ) (B) 3 x ?
2 2 2

3 2

y ? 1( x ? 0 , y ? 0 )
2 2

(C)

3 2

x ? 3 y ? 1( x ? 0 , y ? 0 ) (D)
2

3 2

x ? 3 y ? 1( x ? 0 , y ? 0 )
2

2 2 8、 【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x ? y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,

若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 2 3

9、 【2012 高考天津文科 11】 已知双曲线 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与双曲线 C 2 :

x

2

?

y

2

?1

4

16

有相同的渐近线,且 C 1 的右焦点为 F ( 5 , 0 ) ,则 a ? 【答案】1,2 10 【2012 高考四川文 15】 椭圆
x a
2 2

b ?

?

y

2

? 1( a 为定值, a ? 且

5 ) 的的左焦点为 F , 直线 x ? m 与

5

椭圆相交于点 A 、 B , ? F A B 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 【答案】
2 3


2 2 2 2

11【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 y ?

b 3a

x 与双曲线

x a

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 左支的交点,

F1 是左焦点, P F1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?

3 2 4

12 2012 高考安徽文 14】 【 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A , B 两点, | A F |? 3 , 若
2

则 | B F | =______。 【答案】
3 2

13、已知椭圆一个顶点为 A (0 , ? 1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,当 | A M |? | A N | 时,求实数 m 的取 值范围. 【答案】(1)依题意设椭圆方程为
x a
2 2

? y ? 1( a ? 1) ,则右焦点为 F ( a ? 1 , 0 ) .
2

2

8

a ?1 ? 2
2

2 ? 3 ,解得 a ? 3 ,所以椭圆方程为
2

右题意知
2

x

2

? y ? 1.
2

3

(2)设 P ( x p , y p )、 M ( x1 , y 1 )、 N ( x 2 , y 2 ) , P 为弦 M N 的中点,
? y ? kx ? m ? 2 2 2 ? (3 k ? 1) x ? 6 k m x ? 3( m ? 1) ? 0 由? x2 2 ? y ?1 ? ? 3

则 由 ? > 0 ,得 m ? 3 k ? 1 ①
2 2

由根与系数的关系可知 x1 ? x 2 ? 从而 k A P ?
yp ?1 xp
2

? 6 km 3k ? 1
2

,则 x p ?

x1 ? x 2 2

?

? 3km 3k ? 1
2

, yp ?

m 3k ? 1
2

? ?

m ? 3k ? 1
2

,因为 A M ? A N ? A P ? M N ,则 ?

m ? 3k ? 1
2

? ?

1 k

3m k

3m k

即 2 m ? 3k ? 1 ② 把②代入①,得 m ? 2 m ,解得 0 ? m ? 2 ,由② k ?
2
2

2m ? 1 3

? 0 ,解得 m ?

1 2

所以 m 的取值范围是 ( , 2 ) .
2

1

9



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