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信息光学课件

信息光学课件


第四章 部分相干理论
前面讨论的情况都假设光波是完全相干或完全不相干的, 完全相干光对应绝对的单色光。由于热振动,原子在发射辐射 时,原子的能级的寿命有限,原子间的碰撞和多普勒效应使得 光源不可能是完全相干的。可用互相干函数表达相干性。 相干性包括两个方面: 1. 时间相干性 空间某一个点,两个不同时刻光场间的相干性。

2.空间相干性

同一时刻,空间两不同点上光场的相干性。

相干性的度量 将不同时刻、不同空间位置引入的光相干涉。 若光场完全相关则形成的干涉条纹最清晰;若两个光线不能形成 干涉条纹则称不相干。一般情况下都是部分相干,这时条纹有一 定的对比度。

统计方法

光场是由大量的具有一定随机性的辐射元产生的。光场 中任一点的振幅和相位都随时间作一定的随机变化,由此要 引入统计理论来处理。

4.1 多色光场的解析信号表示 4.1.1 单色信号的复表示 一个单色信号ur(t)(实信号)可表示成 A、v0和f表示常数振幅、频率、和初相位。该信号的复表示 (复信号)为 (4.1.2) (参羊国光……) 其实部等于原来的实信号ur(t)。这个复信号的复振幅为

它表示单色信号的振幅和相位。复数表示的虚部不是任意加上去的, 这一点在频率域中可以看的更清楚 。实信号ur(t)可用复数表示为 对上式两边作付里叶变换得

对(4.1.2)的表示的复信号作付里叶变换得

比较 和 表达式可见,在频域中两者的差别是,复信 号完全去掉了实信号的负频率成份,并将正频率成分加倍。因此, 复信号与实信号间的关系可用一个一般式表示,即

4.1.2 多色信号的复表示
设实多色信号ur(t)具有傅里叶变换,其频谱为 。下面讨论如 何用复信号u(t)表示实信号ur(t)。采用与讨论单色信号时一样的方 法,我们同样定义多色复信号 称复函数u(t)为实函数ur(t)的解析信号。

由实函数的傅里叶变换性质证明
对于实函数有

说明 的负频率分量和正频率分量载有相同的信息,因而可 以只研究正频率分量。

引进一个复值函数u(t),使它满足
(4.1.8)

它的实部就是原来的实信号ur(t),称u (t)为解析信号。

设解析信号u(t)的频谱为

,由(4.1.8)

从而实现了由ur(t)构造出一个解析信号u (t)。
对于零频分量,v=0处有一d函数,解析函数中应保留 在构造解析函数时应去掉ur(t)的 负频率分量,保留零频分量,加 倍正频率分量。 将符号函数引入

(4.1.12)

因此

在构造解析函数时应去掉ur(t)的负频率分量,保留零频分量, 加倍正频率分量。 上述解析信号表示法强调了物理意义。下面介绍的表示法方 便进一步的数学运算。 将(4.1.12)两边作逆傅里叶变换

(4.1.14)

其中

表示在a=t处的柯西主值,即 (4.1.15)

上式表示的积分称为ur(t)的希尔伯特(Hilbet)变换。

由(4.1.14)和(4.1.15)可看出 解析信号u(t)的虚部ui(t)不是任意的,而是实信号ur(t)的希尔伯特变 换,即

积分回路分析和 留数定理

小结: 1.由实信号ur(t)构造解析信号的方法:对该实信号实行希尔伯特 变换得出ui(t),所求的解析信号为u(t)=ur(t)-iui(t). 2. 函数ur(t)的希尔伯特变换可看作是函数ur(t)和-1/pt的卷积。即

3.希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统,该系统的脉冲 响应为 而 脉冲响应对应的传递函数为

4.解析信号虚部ui(t)的频谱

希尔伯特变换举例

例1 d(t )函数的希尔伯特变换 解 由(4.1.17)有

例2 求cos2pv0t的希尔伯特变换 解 cos2pv0t的频谱为

求逆变换得到 同样

例3 设 ,求ur(t)的希尔伯特变换ui(t) 解 对高斯函数 ,其中

所以
其频谱为 (4.1.24) 式中 为高斯概率密度函数。

在3s外总概率为0.0027, 所以v0>3s时有

因为

比较(4.1.24) 的推导过程和(4.1.25) 可以得出

(4.1.25)

3.2互相干函数
两点光源发出的光如果有确定的相位关系则是相干的。热光源 发出的光是由组成光源的不同独立辐射振子发生的。不同点的辐射 是不相关的。由于激光光源的发射时,受激辐射使辐射场的原子彼 此耦合,大大增加了相关性,但总有着不可避免的无规涨落。这种 涨落也无法准确描述。使得不可能精确描述光场,而只能作为随机 过程来讨论。一般情况下可以通过研究二阶矩研究光场的相关性。

4.2.1互相干函数
一个有限带宽的的扩展光源 S,照明在不透明屏上的两个针 孔P1和P2,观察远离屏的Q点光 波。由P1和P2针孔光源在Q点产 生的光振动用解析信号u(P1,t)和 u(P2,t)表示

t时刻Q点的光振动为

(4.2.1)

t1=r1/c, t2=r2/c, c为真空中的光速。K1和K2为传播因子,分别与r1和r2 成反比,和针孔处光波的入射角和衍射角有关。

探测器在Q点测得的信号是光强的一个时间的平均值
(4.2.2)

角括号代表时间平均,将 (4.2.1)代入(4.2.2)

假定光场是平稳的,其统计性质不随时间改变,设t=t2- t1=(r2-r1 )/c, 上式取平均时可以移动时间原点



为光场的互相干函数,

其共轭为

P1与P2点重合时,上式为

称 简写为



为自相干函数。它是一个关于时间差的函数,

当t=0时

显然, 、 在Q点产生的光强为

分别为P1和P2点的光强。单孔P1和P2单独

Q点的光强为

引入一个归一化函数 称 为复相干度。

(4.2.13)

Q点的光强为

上式称平稳光场的普遍干涉定律。 利用许瓦兹不等式,易于证明

K1=K2=1

由(4.2.13)

复相干度与条纹可见度关系
设平均频率为 的窄带光,互 相干函数和复相干度可分别表示为

式中 Q点的光强为



的模,a12(t)为两光波在P1、P2点的相位差。

(4.2.20)

式中

为光波从针孔P1、P2到达Q点的相位差,

与光源性质无关。 为平均波长。a12与光源性质有关。

当 取最大值1时,Q点的光强与使用完全相干光产生的干涉情 况相同。 当 取最小值0时,Q点的光强为两光束在该点的光强简单叠加。 这时P1和P2点的光振动是不相干的。



时,P1和P2点的光振动是部分相干的。

干涉条纹的可见度为

Imax和Imin分别是Q点附近干涉条纹的极大值和极小值,由(4.2.20)

于是 表明,只要测出两光束光在Q点产生的光强及 度 的模。 就能够得到复相干

的物理意义
反映Q点的干涉条纹的可见度在多大程度上达到P1和P2完全相干时 的程度。 就是相干光部分所占总光强的比例。 的辐角 的意义: 是光波从P1和P2点到达Q所引起的相位延迟,与光源 无关。a12(t)是光源面上各点光振动引起P1、P2点振动的相位差。 当两束光波在Q点的振动强度相同, 即I1(Q)=I2(Q)时,复相干度 的 模就等于干涉条纹的可见度。

4.2.2 互相干函数的谱表示
为了保证能够进行傅里叶变换,定义截尾函数uT(P1,t) 傅里叶变换的存在条件要 求 uT(P1,t)是与urT(P1,t)相对应的解析信号

由公式

<?

式中 类似有

互相干函数为

于是互相干函数 式中 称为互谱密度。

对于自相干函数 即为自相关定理(参1.5.14) G(v)为辐射场的功率谱密度函数,也即光源的光谱密度分布

互相关定理 ☆ 称F*(x,h)G(x,h)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度(互谱密度)

对于复相干度也有类似的关系

归一化互谱密度为

对自相干函数相应有

式中

归一化功率谱密度

4.3时间相干性
时间相干性指光场中一个固定点,两个不同时刻的光扰动之间 的相干性。

初级光源S位于轴上的有限带宽的 点光源,P1、P2点的振动相同,两 点间的互相干函数变成自相干函数。

如果S是扩展光源,则空间相关性 是主要的。P1和P2点的扰动不同。 干涉条纹取决于G12(t) 。

4.3.1时间相干性 实际光源产生的光场中 P点的振幅和相位都在随机 涨落。其涨落速度取决于 光源的有效频谱宽度Dv , 只有当时间间隔t比1/Dv小 得多时振幅才大体上保持 不变。称 为相干时间.

称相干长度. tc大则光波有较高的 时间相干性。 两点间距比lc大得多,则不 能相干。

由迈克耳孙干涉仪的干涉条纹描述和定义时间相关性 S 点光源; B 分束器; M1、M2 可动反射镜; D 探测器;C 补偿板。 两臂光程差2h. D处探测 的信号相当于P的场与t+2h/c 时刻P点场的叠加,即同一点 不同时刻场的干涉。 将光源发出的光信号用解 析信号表示。u(t)为由P点发 出的解析信号。 在D处两束光的解析信号分 别为K1u(t)和K2u(t+t).

K1、K2是由两支路透过率决定 的实数。t=2h/c为时间延迟。

探测器上的合成解析信号为

探测器上的光强信号为对时间的平均

(4.3.2)
光强信号是统计量的平均,它与时间原点无关

(4.3.3)
依据各态历经假设,可用时间平均代替统计量的平均,解析 信号u(t)的自相关函数G(t)(光扰动的自相干函数)为 (4.3.4)

(4.3.4)和(4.3.3)代入(4.3.2)

用I0=G(0), 来归一化

显然 D点的光强 若两路光透过率相等,即K1=K2=K=1

由于u(t)是解析信号,其自相关函数G(t)也是具有单边频谱的解析 信号。复相干度g(t)也是解析信号,也具有单边频谱。复相干度与 归一化功率谱密度关系为

对于窄带光复相干度 式中 检测信号 为光波的中心频率

干涉条纹的可见度 两支光路透射系数相等时

4.3.2 相干时间 可借用复相干度来定义相干时间。L.Mandel给出公式

在这种定义下,tc 与1/Dv有相同数

量级。对不同的谱 分布, tc值不同 高斯线型
洛伦兹线型 矩形线型

4.3.3傅里叶变换光谱术
光波的功率谱与迈克耳孙干涉仪观察的干涉图的特征有对应 关系。通过测量干涉图来确定未知的入射光的功率谱的原理就是 傅里叶变换光谱术。 测量时,移动反射镜从零程差的位置移动到大程差范围内。 将光强作为时间函数进行测量。将得到的数据进行傅里叶变换 得到光源的光谱分布。 在迈克耳孙干涉仪中设K1=K2=K=1, 即

其中利用了功率谱实函数性质G(v)=G*(v),t换成-t时干涉强度不变。

上式的逆傅里叶变换

优点:

1.探测器任何时候接收的都是光源的全波段所有波长光的联 合作用结果,充分利用了光源能量。
2.更高的分辨率。分辨率与动镜移动的距离有关。 3.测量范围宽。近红外到远红外甚至毫米波。 t=2h/c

4.4 空间相干性
在杨氏干涉实验中,如果S是扩展光 源,则空间相关性则是主要的。P1和P2点 的扰动不同。干涉条纹取决于G12(t) 。 考察中心条纹附近区域 r2-r1=0, t=0, 这时g12(0) 是P1和P2两点在 同一时刻的复相干度。在零程差位置形成干涉条纹能力反映了空间 相干效应。 互相干函数
复相干度

G12(0) 称为空间互相干函数,g12(0)称为复(空间)相干度。 描述同一时刻光场中两点的空间相干性,为复数。

Q点的光强

a12为两光波在P1、P2点的相位差,与光源性质有关。

4.5在准单色条件下的干涉
满足窄带和小程差条件 称准单色光。

满足该条件后,可认为在观察范围内,条纹的可见度是常数。 两个解析函数的互相关函数



,积分的主要贡献来自很窄的Dv范围内。由Dv

决定的相干长度tc=1/Dv,由(r2-r1)/c<<tc,即t<<1/Dv,也即t Dv <<1 ,积分的指数部分为1。

由 令

上式为
称J12为P1和P2的互强度,表示相对时间延迟t=0时的互相关。 此外 复相干度

式中 由 称为复相干系数

复相干度

显然
代入辐射场的干涉定律公式(4.2.14)

b12是与t无关的量。 如果I1(Q)和I2(Q)在观察区内近似不变,在该区域内干涉图样具有 近乎恒定的可见度,条纹可见度为

当两支路光强相同时I1(Q)=I2(Q),可见度 结果与严格的单色光类似,但准单色光的干涉条纹 可见度和位置分别决定于复相干度的模和位相。


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