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上海市(长宁、宝山、嘉定、青浦)四区2016届高三4月质量调研测试(二模)数学(文)试题

上海市(长宁、宝山、嘉定、青浦)四区2016届高三4月质量调研测试(二模)数学(文)试题


长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷(文科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

2016.04.

考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与 答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题) 在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并将核对后的条 形码贴在指定位置上. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对 4 分,否则一律得零分.
2 1.设集合 A ? {x | x |? 2 , x ? R}, B ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0 , x ? R} ,则 A I B ? _________.

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足

1? z ? i ,则 | z |? __________. 1? z

x ?1 3.设 a ? 0 且 a ? 1 ,若函数 f ( x) ? a ? 2 的反函数的图像经过定点 P ,则点 P 的坐标

是___________. 4.计算: lim

Pn2 ? C2 n ? __________. n ? ? ( n ? 1) 2

5.在平面直角坐标系内,直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 ,将 l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕 y 轴 旋转一周,所得几何体的体积为___________. 6.已知 sin 2? ? sin ? ? 0 , ? ? ?

?? ? , ? ? ,则 tan 2? ? _____________. ?2 ?
x

7.设定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 4 ,则不等式 f ( x) ? 0 的 解集是__________________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(1 , 1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 C : y ? 2 px
2

( p ? 0 )的焦点,则抛物线 C 的方程为_____________.

?y ? x , ? 9.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 , 则 z ? 2 x ? y 的最小值为_____ _______. ?y ? 2 ? 0 , ?
10.已知在 ? x 2 ?

? ?

k? 3 ? ( k 为常数)的展开式中, x 项的系数等于 160 ,则 k ? _____________. x?
1

6

11.从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取 3 个点,则以这三点为顶点的三角形的面积等于 是______________. 12.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? n2 ? 3n ( n ? N* ), 则
2 a2 a12 a2 ? ? L ? n ? __________. 2 3 n ?1

1 的概率 2

13.甲、乙两人同时参加一次数学测试,共有 10 道选择题,每题均有 4 个选项,答对得 3 分,答错 或不答得 0 分.甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有 1 道题的选项不同,如果甲最终的得 分为 27 分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________. 14.对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ,其中 b ? 0 ,若 f ( x) 的定义域与值域相同,则非零实数

a 的值为_____________.
二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.“ sin ? ? 0 ”是“ cos ? ? 1 ”的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 16.下列命题正确的是( ). ). (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)若直线 l1 ∥平面 ? ,直线 l 2 ∥平面 ? ,则 l1 ∥ l 2 ; (B)若直线 l 上有两个点到平面 ? 的距离相等,则 l ∥ ? ; (C)直线 l 与平面 ? 所成角的取值范围是 ? 0 ,

? ?

??

?; 2?

(D)若直线 l1 ? 平面 ? ,直线 l 2 ? 平面 ? ,则 l1 ∥ l 2 .

17.已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (c ? a ) ? (c ? b ) ? 0 ,则

r

r

r

r

r

r

r

r | c | 的最大值是(
(A) 1

).

(B) 2

(C) 2

(D)

2 2

18.已知直线 l : y ? 2 x ? b 与函数 y ?

1 的图像交于 A 、 B 两点,设 O 为坐标原点,记 x
). (B)偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增
2

△ OAB 的面积为 S ,则函数 S ? f (b) 是( (A)奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增

(A)奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

(D)偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? AA 1 ?2, C1 B1 D 为侧棱 AA1 的中点. (1)求证: AC ? 平面 BCC1B1 ; (2)求异面直线 B1D 与 AC 所成角的大小(结果用 反三角函数值表示). A1 D C A

B

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? cos2x ? 1( x ? R ). (1)写出函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 f ( B) ? 0 , BA ? BC ? 且 a ? c ? 4 ,求 b 的值.

3 , 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 f ( x) ? M 成立, 则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界. (1)设 f ( x ) ?

x ? 1 1? ,判断 f ( x) 在 ?? , ? 上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出 x ?1 ? 2 2?

f ( x) 的所有上界 M 的集合;若不是,也请说明理由;

?1? ?1? (2)若函数 g ( x) ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? 在 [0 , ? ?) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取 ? 2? ? 4?
值范围.

x

x

3

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F (1 , 0) ,短轴的一个端点 B 到 F 的距离等 a 2 b2

于焦距. (1)求椭圆 ? 的标准方程; (2)设 C 、D 是四条直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点,P 是 椭圆 ? 上任意一点,若 OP ? mOC ? nOD ,求证: m2 ? n2 为定值; (3)过点 F 的直线 l 与椭圆 ? 交于不同的两点 M 、 N ,且满足△ BFM 与△ BFN 的面积的 比值为 2 ,求直线 l 的方程.

y D B C

O

F

x

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 、 {bn } 满足: a1 ? (1)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (2)求证:数列 ?

1 bn , an ? bn ? 1 , bn ?1 ? . 2 4 1 ? an

? 1 ? ? 是等差数列,并求 {bn} 的通项公式; ? bn ? 1?
*

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ? ? an an ?1 ,若不等式 4aSn ? bn 对任意 n ? N 恒成立,求实数 a 的 取值范围.

4

文科数学参考答案 一.填空题 1. (?2 , 1] 8. y ? 4 x
2

2. 1 9. ? 6

3. (3 , 1) 10. 2 14. ? 4

4.

3 2

5.

2? 3

6. 3

7. [ ?2 , 2]

11.

3 7

12. 2n 2 ? 6n

13. {24 , 27 , 30}

二.选择题 15.B

16.D

17.C

18.B

三.解答题 19.(1)因为底面△ ABC 是等腰直角三角形,且 AC ? BC ,所以, AC ? BC ,(2 分) 因为 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC , 所以, AC ? 平面 BCC1B1 . ???????????????(4 分)

????????????????????(5 分)

(2)取 CC1 点 E ,连结 DE 、 B1E ,则 DE ∥ AC 所以, ?B1DE 就是异面直线 B1D 与 AC 所成角(或其补角). 形,且 ?B1ED ? 90? , ???????(2 分) 解法一:由已知, DE ? CC1 , DE ? AC ,所以 DE ? 平面 BCC1B1 ,所以△ B1DE 是直角三角 ????????????????(4 分)

B1E 5 , ????????(6 分) ? BE 2 5 所以,异面直线 B1D 与 BC 所成角的大小为 arctan . ??????????(7 分) 2 解法二:在△ B1DE 中, B1D ? 3 , B1E ? 5 , DE ? 2 ,
因为 DE ? 2 , B1E ? 5 ,所以, tan?B1DE ?

B1D2 ? DE2 ? B1E 2 9 ? 4 ? 5 2 由余弦定理得, cos?B1DE ? ? ? . ?????(6 分) 2 ? B1D ? DE 2 ? 3? 2 3 2 所以,异面直线 B1D 与 BC 所成角的大小为 arccos . ???????????(7 分) 3
20.(1) f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

? ? 1, 6? 所以, f ( x) 的最小小正周期 T ? ? ,

? ?

??

????????????????(3 分) ????????????????(4 分)

? ?? ? f ( x) 的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ? , k ? Z . ???????????(6 分) 3 6? ? ?? ?? 1 ? ? (2) f ( B) ? 2 sin? 2 B ? ? ? 1 ? 0 ,故 sin ? 2 B ? ? ? , 6? 6? 2 ? ? ? ? ? 5? 所以, 2 B ? ? 2k? ? 或 2 B ? ? 2k? ? ( k ? Z ), 6 6 6 6
5

因为 B 是三角形内角,所以 B ? 而 BA ? BC ? ac ? cos B ?

?
3



??????????(3 分)

3 ,所以, ac ? 3 , ??????????(5 分) 2 又 a ? c ? 4 ,所以, a 2 ? c 2 ? 10 ,所以, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B ? 7 , 所以, b ? 7 . ?????????????(8 分)
21.(1) f ( x ) ? 1 ? 即 ? 1 ? f ( x) ?

1 ? 1 1? ,则 f ( x) 在 ?? , ? 上是增函数, 故 x ?1 ? 2 2?

? 1? f ? ? ? ? f ( x) ? ? 2?

?1? f? ?, ?2?

故 | f ( x) |? 1 ,所以 f ( x) 是有界函数.

1 , 3

?????????????????(2 分) ?????????????????(4 分)

所以,上界 M 满足 M ? 1 ,所有上 界 M 的集合是 [1 , ? ?) . ????????(6 分) (2)由题意, ? 3 ? g ( x) ? 3 对 x ? [0 , ? ?) 恒成立, 即 ? 3 ?1? a ? ? ? ? ? ? ? 3 ,
x

?1? ? 2?

x

?1? ?4?

x

?????????????????(1 分)

?1? 2 令 t ? ? ? ,则 t ? (0 , 1] ,原不等式变为 ? 4 ? at ? t ? 2 , ?2? ? 4 ? t2 2 ? t2 ? 4 ? ?2 ? ?a? 故 , 故?? ? t ? ? a ? ? ? t ? , ????????(3 分) t t ? t ?max ?t ?min 4 ? 4 ? 因为 y ? ? ? t 在 ? (0 , 1] 上是增函数,故 ? ? ? t ? ? ?5 , ???????(5 分) t ? t ?max 2 ?2 ? 又 y ? ? t 在 t ? (0 , 1] 上是减函数,故 ? ? t ? ? 1 . ?????????(7 分) t ?t ?min 综上,实数 a 的取值范围是 [?5 , 1] . ?????????(8 分)
22.(1)由已知, c ? 1 , ???????????????????(1 分)

又 | BF |? b2 ? c2 ? 2 ,故 a ? 2 , ??????????????????(2 分)
2 2 2 所以, b ? a ? c ? 3 ,所以,椭圆 ? 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ?????(4 分) 4 3

(2) C(2 , 3) , D(?2 , 3) , 设 P( x0 , y0 ) ,则
2 x0 y2 ? 0 ? 1, 4 3

??????????????????(1 分)

由已知 OP ? mOC ? nOD ,得 ?

? ? x0 ? 2(m ? n) , ? ? y0 ? 3 ( m ? n ) ,

????????(4 分)

所以,

1 4(m ? n) 2 3(m ? n) 2 ? ? 1 ,即 m 2 ? n 2 ? 为定值. 2 4 3
6

?????(6 分)

| FM | S ?BFM ? 2, ?????????????????(1 分) ? 2 等价于 | FN | S ?BFN | FM | 当直线 l 的斜斜率不存在时, ? 1 ,不合题意. ???????????(2 分) | FN | 故直线 l 的斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 1) , ? y ? k ( x ? 1) , ? 2 2 2 由 ? x2 y2 消去 x ,得 (3 ? 4k ) y ? 6ky ? 9k ? 0 , ????????(3 分) ?1, ? ? 3 ?4 6k 9k 2 y y ? ? 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 6k | FM | y1 9k 2 2 由 , y2 ? , ? 2 ,得 ? ?2 ,则 y2 ? 3 ? 4k 2 | FN | y2 2(3 ? 4k 2 )
(3) 从而 3 ? 4k 2 ? 8 , k ? ?

5 . 2

????????????????(5 分) ????????????????(6 分)

所以,直线 l 的方程为 y ? ?

5 ( x ? 1) . 2

23.(1)由已知, bn ?1 ? 因为 a1 ?

bn bn 1 , ? ? (1 ? an )(1 ? an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn

1 3 4 5 6 ,所以, b1 ? , b2 ? , b3 ? , b4 ? . ????(4 分)(每个 1 分) 4 5 6 7 4 1 1 b ?1 (2) bn ?1 ? , bn ?1 ? 1 ? , ????????(2 分) ?1 ? n 2 ? bn 2 ? bn 2 ? bn
所以,

1 bn ?1 ? 1

?

2 ? bn 1 ? ?1 , bn ? 1 bn ? 1

所以,数列 ? 所以,

? 1 ? ? 是以 ? 4 为首项, ? 1 为公差的等差数列. ????????(4 分) ? bn ? 1?
?????? ??????(6 分) ????????????(1 分)

n?2 1 * ( n ? N ). ? ?n ? 3 , bn ? n ? 3 bn ? 1 n?2 1 ,从而 an ? 1 ? bn ? , n?3 n?3

(3)因为 bn ?

所以, Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ? ? an an ?1 ?

1 1 1 ? ??? 4?5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)
?????????????(2 分)

?

1 1 n ? ? , 4 n ? 4 4(n ? 4)

解法一:

7

所以,不等式 4aSn ? bn 化为 即a ?

an n?2 ? , n?4 n?3
????????????????(4 分)

(n ? 2)(n ? 4) 当 n ? N* 时恒成立, n(n ? 3)

令 f (n) ?

(n ? 2)(n ? 4) n ? 2 n ? 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1? ? n(n ? 3) n n ? 3 ? n ?? n ? 3 ? n n ? 3 n(n ? 3)
???????????? (7 分) ?????????????(8 分)

则 f ( n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) ? 1 恒成立. 故 a ? 1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] .

解法二:

4an Sn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 , ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
*

若不等式 4aSn ? bn 对任意 n ? N 恒成立,则当且仅当 (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ? 0 对任意 n ? N
2

*

恒成立.
2

????????????(4 分) ??????????(5 分)

设 f (n) ? (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ,由题意, a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立;
2

当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 3(a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x ? ?

3 a?2 ? ? 0, 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) ? 0 即可,

15 * ,所以当 a ? 1 时, 4aSn ? bn 对 n ? N 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ??????????(8 分)
由 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,得 a ?

8



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