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江苏省溧阳市2014-2015学年高一上学期期中教学情况调研数学试题 Word版含答案

江苏省溧阳市2014-2015学年高一上学期期中教学情况调研数学试题 Word版含答案


2014-2015 学年度第一学期江苏溧阳期中教学情况调研高一数学试题 2014.11
注意事项:1.本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟 2.请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置,在其他位置作答一律无效 一.填空题(本小题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分)只需在答题卡上直接写出结果 1.设 A ? (?1,3], B ? [2,4) ,则 A ? B =___________ 2.函数
f ( x) ? 4 x ? 16 x ? 3 的定义域为___________

3.函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图像必定经过的点的坐标为___________ 4.若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点
1 (9, ) 3 ,则 f (25) 的值是

___________

5.已知点 ( x, y ) 在映射“ f ”作用下的对应点是 ( x ? y,2 x ? y ) ,若点 P 在映射 f 作用下的对应点是

(5,1) ,则点 P 的坐标为___________
?2 ? x , x ? 0 1 f ( x) ? ? f ( x) ? log x , x ? 0 6.已知函数 ,若 4 ,则实数 x 的值为___________ ? 81

7.设 a ? 0,3 , b ? 2
2

0.3

, c ? log

2

2 ,则 a, b, c 的大小关系为_____(用“ ? ”号连结)

x 8.若由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间为 (k , k ? 1)(k ? N ) ,则实数

k 的值为___________

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

9.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时, 发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点,若用 S1 , S 2 分别表示乌龟和兔 子所行的路程, t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是___________

2 10.若 函 数 f ( x) ? x ? 4 x 的 定 义 域 为 [?4, a] , 值 域 为 [ ?4,32] , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为

___________
?2 2? x , x ? 2 f ( x) ? ? 11.已知函数 若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根, 则实数 m 的 ?log3 ( x ? 1), x ? 2 ,
取值范围是___________ 12.若 对 任 意 实 数 x , 规 定 [ x ] 是 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 [?1.5] ? ?2, [1.14] ? 1 等 , 则 当

x ? (?0.5,2.5) 时,函数 f ( x) ? [ x] ? 1 的值域为___________
13.某市规定:出租车 3 公里内起步价 8 元(即不超过 3 公里,一律收费 8 元) ,若超过 3 公里,除起步价 外,超过部分再按 1.5 元/公里收费计价。假如一乘客与司机约定以元为单位计费(按四舍五入的原则不找 零) ,下车后付了 16 元,则该乘客里程的范围是___________

?3 x ,0 ? x ? 1 ? f ( x) ? ? 9 3 ? ? x,1 ? x ? 3 14.已知函数 ,若当 t ? [0,1] 时, f ( f (t )) ? [0,1] , 则实数 t 的取值范围是 ?2 2

___________

二.解答题(本大题共 6 小题,满分 64 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 8 分)计算下列各式的值

2 lg 2 ? lg 3 1 1 ? 1 1 1 3 (?4) 3 ? ( ) 0 ? 0.252 ? ( ) ?4 1 ? lg 0.36 ? lg 8 2 2 3 2 (1) ; (2)

16.(本小题满分 10 分)
2 2 }, C ? {x | mx ? 1 } ,且 A ? B ? {?3} 已知 A ? {a , a ? 1,?3}, B ? {a ? 3,3a ? 1, a ? 1

(1)求实数 a 的值 (2)若 C ? ( A ? B) ,求实数 m 的值

17.(本小题满分 10 分)
2 (1)已知关于 x 的方程 3tx ? (3 ? 7t ) x ? 4 ? 0 的两个实根 ? , ? 满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ,求实数 t 的取

值范围

(2)解方程 lg( x ? 1) ? lg(1 ? x) ? ? lg x

18.(本小题满分 12 分) 已知某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P (元)与时间 t (天)组成有序数对 (t , p ) ,点 (t , p ) 落在 下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的部分数据 如下表所示 第t 天 4 36 10 30 16 24 22 18

Q (万股)

(1)试根据提供的图像,求出该种股票每股交易价格 P (元)与时间 t (天)所满足的函数关系式 (2)若 t , Q 满足一次函数关系,试根据表中数据确定日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的函数关系式 (3)在(2)的结论下,用 y (万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少? 【提示:日交易额=日交易量 ? 每股的交易价格】

19.(本小题满分 12 分)

已知定义在 R 上的函数 (1)求实数 a 的值

f ( x) ?

? 2x ? a 2 x ? 1 是奇函数

(2)用定义证明 f ( x ) 在 R 上是减函数

(3)已知不等式

f (log m

3 ) ? f ( ?1) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围 4

20.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图像经过点 (1,3) ,且函数
2

y ? f (x ?

1 ) 2 是偶函数

(1)求 f ( x ) 的解析式 (2)已知 t ? 2, g ( x) ? [ f ( x) ? x ? 13]? | x | ,求函数 g ( x) 在 [t ,2] 的最大值和最小值
2

(3)函数 y ? f ( x) 的图像上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果 存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由。

高一年级阶段性检测数学参考答案(14.11)
一.填空题

1. [2,3]

2. [2,3) ? (3,??)

1 3. (2,1) 4. 5

5. (2,3) 6.3
[8,

7. c ? b ? a

8.1 9.(2)10. [2,8] 11. (1,??) 12. {0,1,2,3} 13. 二.解答题
15.解: (1)原式
? ?4 ? 1 ? 1 ? ( 2)4 2

26 7 ) log 3 ? t ? 1 14. 3 3

......................................3 分 ......................................4 分 ......................................6 分

? ?5 ? 2 ? ?3

(2)原式
?

?

lg 4 ? lg 3 lg10 ? lg 0.6 ? lg 2

lg 4 ? 3 lg 12 ? ?1 lg 10 ? 0.6 ? 2 lg 12

......................................8 分

16.解:(1)由 A ? B ? {?3} 得, a ? 3 ? ?3 或 3a ? 1 ? ?3 ......................1 分
2 解得 a ? 0 或 3 ......................2 分 当 a ? 0 时, A ? {0,1,?3}, B ? {?3,?1,1}, A ? B ? {?3,1} 不合题意......................3 分 2 4 1 11 13 a?? A ? { , ,?3}, B ? {? ,?3, }, A ? B ? {?3} 当 符合题意................4 分 3 时, 9 3 3 9 a?? 2 所以实数 a 的值为 3 ......................5 分 (2)由题意 A ? B ? {?3} ,所以由 C ? ( A ? B) 可得 C ? ? 或 C ? {?3} .............7 分 若 C ? ? ,则方程 mx ? 1 无解,所以 m ? 0 ......................8 分 若 C ? {?3} ,则方程 mx ? 1 有唯一解 x ? ?3 ?

所以 ? 3m ? 1 ,解得 综上可得 m ? 0 或

m??

1 3 ......................9 分

m??

1 3 ......................10 分

2 17.(1)设 f ( x) ? 3tx ? (3 ? 7t ) x ? 4 ,则 f (0) ? 4 ? 0 ......................1 分

? f (1) ? 0 ?? 4t ? 7 ? 0 7 ? ? ?t?5 f ( 2 ) ? 0 10 ? 2 t ? 0 所以由题意知, ? ,即 ? ,解得 4 ......................4 分

所以实数 t 的取值范围为 4

7 ( ,5)

......................5 分

(2)由题知, x( x ? 1) ? 1 ? x ,即 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ......................7 分

解之得 x ? ?1 ? 2 或 x ? ?1 ? 2 ......................8 分 因为函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (0,1) 所以 x ? ?1 ? 2 应舍去,满足条件的实数 x ? ?1 ? 2 ......................10 分

18.解: (1)当 0 ? t ? 20 时,设 p ? at ? b ,则由题意可知其图像过点 (0,2), (20,6)
?b ? 2 ? ?2 ? b 1 ? a? ? ? 6 ? 20 a ? b 5 所以 ? ,解得 ?

所以

p?

1 t?2 ......................2 分 5 p?? 1 t ?8 ......................3 分 10

同理可得,当 20 ? t ? 30 时

?1 t ? 2,0 ? t ? 20 ? ?5 p?? ?? 1 t ? 8,20 ? t ? 30 ? 10 ? 综上可得, ......................4 分 (2)由题意可设 Q ? kt ? m ,把 (4,36), (10,30) 代入可得

?36 ? 4k ? m ?k ? ?1 ? ? ?30 ? 10k ? m 解得 ?m ? 40

所以 Q ? ?t ? 40 ......................6 分
? 1 ( t ? 2)(?t ? 40),0 ? t ? 20 ? ? 5 y ? P ?Q ? ? ?(? 1 t ? 8)(?t ? 40),20 ? t ? 30 ? ? 10 (3)由题意可得
? 1 2 ? t ? 6t ? 80,0 ? t ? 20 ? ? 5 ?? ? 1 t 2 ? 12t ? 320,20 ? t ? 30 ? ?10 ......................7 分

当 0 ? t ? 20 时, t ? 15 时, y max ? 125万元......................9 分 当 20 ? t ? 30 时, t ? 20 时, y max ? 120万元......................11 分 综上可得,第 15 日的交易额最大为 125 万元......................12 分

19.解: (1)由于 f ( x) 是奇函数,则 f (? x) ? f ( x) ? 0 对于任意的 x ? R 都成立
? 2?x ? a ? 2 x ? a ? 1 ? a2 x ? 2 x ? a ? ? 0 ? ? ?0 即 2?x ? 1 ......................2 分 2x ?1 1? 2x 2x ?1

x 可得 ? 1 ? a 2 x ? 2 x ? a ? 0 ,即 (a ? 1)(2 ? 1) ? 0 ......................3 分

因为 2 x ? 0 ,则 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ......................4 分 (2)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 ? 1 ? x1 2 x2 ? 1 2 ? 1 ......................5 分

?

(1 ? 2 x2 )(2 x1 ? 1) ? (1 ? 2 x1 )(2 x2 ? 1) (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) 2(2 x1 ? 2 x2 ) (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ......................6 分
1 2

?

因为 x1 ? x 2 ,所以 0 ? 2 x ? 2 x
1 2 2 1

x x x x 所以 2 ? 2 ? 0,2 ? 1 ? 0,2 ? 1 ? 0

从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ......................7 分 所以 f ( x) 在 R 上是减函数......................8 分 (3)由
f (log 3 3 ) ? f (?1) ? 0 f (log ) ? ? f (?1) 4 可得: ......................9 分 m m 4 f (log
m

因为 f ( x) 是奇函数,所以

3 ) ? f (1) 4
log 3 ?1 ......................10 分 m 4

又因为 f ( x) 在 R 上是减函数,所以 解得
0?m?

3 4 ,或 m ? 1 ......................11 分

3 (0, ) ? (1,?? ) 故 m 的取值范围是 4 ......................12 分 1 y ? f (x ? ) 2 是偶函数
2

20.解: (1)因为函数

所以二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的对称轴方程为 所以 b ? 1 ......................1 分

x??

1 b 1 ? ?? 2 ,即 2 2

2 又因为二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图像经过点 (1,13)

所以 1 ? b ? c ? 13 ,解得 c ? 11 ......................2 分
2 因此,函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ? 11 ......................3 分
2 ? ?? ( x ? 1) ? 1, x ? 0 g ( x) ? ( x ? 2)? | x |? ? 2 ? ?( x ? 1) ? 1, x ? 0 ......................4 分 (2)由(1)知,

所以,当 x ? [t ,2] 时, g ( x) max ? 0 ......................5 分 当 1 ? t ? 2 , g ( x) min ? g (t ) ? t 2 ? 2t 当1 ?
2 ? t ? i , g ( x) min ? ?1

当 t ? 1?

2 2 , g ( x) min ? g (t ) ? ?t ? 2t ......................8



2 * (3)如果函数 y ? f ( x) 的图像上存在点 P(m, n ) 符合要求其中 m ? N , n ? N

2 2 则 m 2 ? m ? 11 ? n 2 ,从而 4n ? (2m ? 1) ? 43

即 [2n ? (2m ? 1)][2n ? (2m ? 1)] ? 43 ......................10 分 注意到 43 是质数,且 2n ? (2m ? 1) ? 2n ? (2m ? 1) , 2n ? (2m ? 1) ? 0
?m ? 10 ?2n ? (2m ? 1) ? 43 ? ? 所以有 ?2n ? (2m ? 1) ? 1 ,解得 ?n ? 11 ......................11 分
) .........12 分 因此,函数 y ? f ( x) 的图像上存在符合要求的点,它的坐标为 (10,121



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