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高中数学选修4-1(人教版)练习:第三讲3.1平行射影 含解析

高中数学选修4-1(人教版)练习:第三讲3.1平行射影 含解析


第三讲 3.1 圆锥曲线性质的探讨 平行射影 A级 基础巩固 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影 B.投影线与投影平面有且只有一个交点 C.投影方向可以平行于投影平面 D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的 答案:A 2.若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的正射影垂直,则这条直线与 这条斜线的位置关系是( A.垂直 C.相交 ) B.异面 D.不能确定 解析:当这条直线在平面内,则 A 成立,若这条直线是平面的垂线,则 B 或 C 成立. 答案:D 3. 直线 a, b 在平面 α 内的正射影互相平行, 则直线 a, b 的位置关系是( A.平行 C.异面 答案:D B.相交 D.平行或异面 ) 4.Rt△ABC 的斜边 BC 在平面 α 内,则△ABC 的两条直角边在平面 α 内的 射影与斜边组成的图形只能是( A.一条线段 C.一个钝角三角形 答案:D 5.球在点光源 P 的照射下,在一个平面 π 上的射影的形状为( A.圆 B.椭圆 C.圆或椭圆 D.圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支 π 解析:设平面 π 与 PO 的夹角为 β(O 为球心),若 β= ,则射影为圆;再设 2 π PO 与过 P 点的球的切线的夹角为 α,则 α<β< 时,射影为椭圆;α=β 时,射影 2 为抛物线;α>β 时,射影为双曲线的一支. 答案:D 二、填空题 6.一条直线在平面上的正射影是________. 解析:当直线和平面垂直的时候,直线在平面内的正射影是一个点;当直线 和平面不垂直的时候,直线在平面内的正射影是一条直线. 答案:一个点或一条直线 7.下列语句不正确的是________(填序号). (1)正射影是平行射影的特例; ) ) B.一个锐角三角形 D.一条线段或一个钝角三角形 (2)平行于投影面的线段,它的平行射影与这条线段平行且相等; (3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比; (4)两条相交直线的平行射影还是两条相交直线. 解析:正射影是平行射影的特例,从而(1)正确;根据平行射影的性质,(2) 是正确的;同样(3)也是平行射影的性质,因此也正确.而(4)中,两条相交直线 的平行射影是两条相交直线或一条直线,故(4)不正确. 答案:(4) π 8.如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC= ,则 2 PA 与底面 ABC 所成角为________. 解析:如图所示,PA 在面 ABC 的正射影必在 BC 中点 E 及点 A 的连线上, 则所求角平面为∠PAE. 1 π 又∠BAC= ,则 A 在以 BC 为直径的圆周上,即 AE= BC. 2 2 π π 易得△PAE 为直角三角形,且∠PAE= .故所求为 . 3 3 答案: π 3 三、解答题 9.如图所示,已知 DA⊥平面 ABC,△ABC 是斜三角形,A′是 A 在平面 BCD 上的正射影,求证 A′不可能是△BCD 的垂心. 证明:假设 A′为△BCD 的垂心,连接 BA′,并延长 BA′交 CD 于点 E, 则 A′B⊥CD. 由题意知 AA′⊥平面 BCD 于点 A′, 所以 AA′⊥CD. 又因为 AA′∩A′B=A′, 所以 CD⊥平面 AA′B. 所以 AB⊥CD. 又因为 DA⊥平面 ABC, 所以 DA⊥AB, 所以 AB⊥平面 ACD. 所以 AB⊥AC,这与△ABC 是斜三角形相矛盾, 故 A′不可能是△BCD 的垂心. 10.


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