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[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科) 第一章 第1讲 集合的含义与基本关系[配套课件]

[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科) 第一章 第1讲 集合的含义与基本关系[配套课件]


第一章 集合与逻辑用语
第1讲 集合的含义与基本关系

考纲要求 1.集合的含义与表示. (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关 系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系. (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给 定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算. (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两 个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运 算.

考情风向标 纵观近几年的高考情况,可以看出 本专题高考考查的特点及规律:一般都 是基础题,难度不大,大多出现在选择 题及填空题的前三分之一位置,但也有 少数年份出现在选择题的后两题.预测 2015 年高考仍将以集合的交、并、补 集运算为主要考点,考查学生对集合概 念的认识和理解,如集合与元素,集合 与集合之间的关系及运算;也可以集合 知识为依托考查其他知识,如方程、不 等式等,在考查其他知识的同时,突出 考查准确使用数学语言的能力和运用 数形结合的思想解决问题的能力;定义 新运算在集合方面是一个新型的集合 问题,应予以重视.

1.集合的含义与表示 确定性 、________ 无序性 互异性 和________. (1)集合元素的三个特征:________ 属于 或________ 不属于 ,用符号“∈ (2)元素与集合的关系是______ ____” 或“____”表示.

列举法 、________ 描述法 、图示法. (3)集合的表示法:________

(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z; 有理数集 Q;实数集 R.

2.集合间的基本关系

(1)对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中任何一个元素都是
集合 B 的元素,则称集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合
A?B?若 a∈A,则 a∈B A,记作 A?B 或 B?A.用符号表达即“______________________”.

(2)空集及其性质: 子集 ,其中“任何集合”当然也包 ①空集是任何集合的______
括了?,故有???. 真子集 ,即? ②空集是任何非空集合的________

A(而 A≠?).

(3)子集的有关性质: ①A=B?_______________. A?B 且 B?A

A?C ②A?B,B?C?___________.
2n ③若集合 A 有 n 个元素,则 A 的子集数为________. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的运算:

{x|x∈A 且 x∈B} ①交集:A∩B=________________.
{x|x∈A 或 x∈B} ②并集:A∪B=________________. {x|x∈U 且 x A} ③补集:?U A=________________.

(2)集合的运算性质: 并集的性质:A∪?=A,A∪A=A,A∪B=B∪A,A∪B=

A?B?A.
交集的性质:A∩?=?,A∩A=A,A∩B=B∩A,A∩B=

A?A?B;
补集的性质:A∪?U A=U,A∩?U A=?,?U(?U A)=A,?U (A

∪B)=(?U A)∩(?U B),?U (A∩B)=(?U A)∪(?U B).

1.非空集合 A,B 满足 A?B,则(
A.?x0∈A,使得 x0 B.?x∈A,有 x∈B C.?x0∈B,使得 x0 D.?x∈B,有 x∈A

B )

B

A

2.集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩B 是( C ) A.(1,-1) C.{(1,-1)}
? ?x=1, B.? ? ?y=-1

D.{1,-1}

3.已知集合 A={x|x2<1},B={a},若 A∩B=?,则 a 的取 值范围是( B ) B.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.[-1,1]

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,1)

4.(2012 年广东汕头检测) 已 知 全 集 U = R , 集 合 A = {1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图 1-1-1 中阴影部分所表示的 集合为( A )

图 1-1-1 A.{1} C.{1,2} B.{0,1} D.{0,1,2}

5.(2013 年重庆)已知集合 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B ={2,3},则?U (A∪B)=( D ) A.{1,3,4} B.{3,4} D.{4}

C.{3}

解析: 方法一, 因为 U={1,2,3,4}, 集合 A={1,2}, B={2,3}, A∪B={1,2,3},则?U(A∪B)={4}.故选 D.
? ? ? ? 方法二, ?UA={3,4}, ?UB={1,4} , ?U(A∪B)=???UA??∩???UB??

={4}.故选 D.

考点1 集合的运算 例 1:(2012 年辽宁)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集 合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?U A)∩(?U B)为( A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} 解析:因为全集U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集合 A = {0,1,3,7,9},所以(?U A)∩(?U B)为{7,9}.故选 B. 答案:B 【方法与技巧】本题主要考查集合的交集、补集运算,属 于容易题.利用性质(?U A)∩(?U B)=?U (A∪B)为最佳选择. )

{0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},所以?U A={2,4,6,7,9},?U B=

【互动探究】 1.(2013 年江西)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一 个元素,则 a=( A ) A.4 C.0 B.2 D.0 或 4

解析:若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}只有一个元素,则 方程 ax2+ax+1=0 只有一个实数根,当 a=0 时,方程无根; 当Δ=a2-4a=0 ,即 a=4 或 a=0(舍)时成立.故选 A.

2.已知集合 M={x|y= 3-x2},N={x||x+1|≤2},且 M, N 都是全集 I 的子集, 则图 112 的韦恩图中阴影部分表示的集
合为( C )

图 1-1-2
A.{x|- 3≤x≤1} C.{x|-3≤x<- 3} B.{x|-3≤x≤1} D.{x|1<x≤ 3}

考点 2 集合间的基本关系 例 2:集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求

实数 m 的取值范围.
解:(1)①当 m+1>2m-1, 即 m<2 时,B=?.满足 B?A.

②当 m+1≤2m-1,即 m≥2 时,要使 B?A 成立,
? ?m+1≥-2, 需? ? ?2m-1≤5,

可得 2≤m≤3.

综上所述,当 m≤3 时有 B?A.

(2)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m- 1}, 没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立.即 A∩B=?. ①若 B=?,即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件. ②若 B≠?,则要满足条件有:
? ?m+1≤2m-1, ? ? ?m+1>5, ? ?m+1≤2m-1, 或? ? ?2m-1<-2,

解得 m>4. 综上所述,实数 m 的取值范围为有 m<2 或 m>4.

【方法与技巧】(1)空集是任何集合的子集,因此当 B?A

时需考虑 B=?的情形;(2)当 A∩B=?时也需考虑 B=?的情形, 如果集合 B 不是空集,要保证 B?A,可以利用数轴,这样既直 观又简洁;(3)虽然本题的难度不大,但都需要分两种情况讨论, 在(1)中解不等式组时需求交集,而最终结果又都要求两种讨论 结果的并集,因此本题综合性比较强.

【互动探究】 3.(2012 年湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},

B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为
(D )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:求解一元二次方程,得 A={x|x2-3x+2=0,x∈R}=
{1,2},易知 B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4}.因为 A?C?B,所以

根据子集的定义,集合 C 必须含有元素 1、2,且可能含有元素 3、
4,原题即求集合{3,4}的子集个数,即有 22=4 个.故选 D.

4.(2012 年全国)已知集合 A={1,3, m},B={1,m} ,A ∪B=A,则 m=( A.0 或 3

B )
B.0 或 3

C.1 或 3 D.1 或 3 解析:因为 A∪B=A,所以 B?A,所以 m=3 或 m= m.

若 m=3, 则 A={1,3, 3}, B={1,3}, 满足 A∪B=A.若 m= m, 解得 m=0 或 m=1.若 m=0,则 A={1,3,0},B={1,0},满足 A ∪B=A.若 m=1,A={1,3,1},B={1,1},显然不成立. 综上 m =0 或 m=3.

考点 3 与集合有关的新概念问题 例 3:如图 1-1-3 所示的韦恩图中,A,B 是非空集合,定 义集合 A#B 为阴影部分表示的集合. 若 x ,y ∈R ,A ={x|y =

2x-x2},B={y|y=3x(x>0)},则 A#B 为(

)

图 1-1-3

A.{x|0<x<2}
C.{x|0≤x≤1 或 x≥2}

B.{x|1<x≤2}
D.{x|0≤x≤1 或 x>2}

解析: A={x|y= 2x-x2}={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2}, B = {y|y = 3x(x>0)} = {y|y>1} , 则 A ∪ B = {x|x≥0}.A∩B = {x|1<x≤2}.根据新运算,得 A#B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1 或 x>2}.故选 D.

答案:D
【方法与技巧】根据图形语言可知定义的 A#B 可转化为

A#B=?A∪B(A∩B).所以需要求出和,借助数轴求出并集与交集.
解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算 解出.

【互动探究】 5.(2013 年山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈

A,y∈A}中元素的个数是( C )
A.1 个 B.3 个 C.5 个 D.9 个 解析:∵A={0,1,2},B={x-y|x∈A,y∈A}, ∴当 x=0,y 分别取 0,1,2 时,x-y 的值分别为 0,-1, -2;

当 x=1,y 分别取 0,1,2 时,x-y 的值分别为 1,0,-1;
当 x=2,y 分别取 0,1,2 时,x-y 的值分别为 2,1,0; ∴B={-2,-1,0,1,2}, ∴集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 5 个.

6. 对任意两个正整数 m , n ,定义某种运算⊕: m ⊕ n =
? ?m+n,m与n奇偶性相同, ? ? ?mn, m与n奇偶性不同,

则集合 P={(a,b)|a⊕b=8,a,

b∈N* }中元素的个数为( C )
A.5 个 B.7 个 C.9 个 D.11 个

解析:当 a,b 奇偶性相同时,a⊕b=a+b=1+7=2+6

=3+5=4+4.当 a,b 奇偶性不同时,a⊕b=ab=1×8,由于(a,

b)有序,故共有元素 4×2+1=9(个).



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