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函数解题中容易忽略的细节的问题

函数解题中容易忽略的细节的问题


2 0 1 2年第 2 期 

数 学教 育研 究 

?4 5 ?  

函 数解 题 中 容 易忽略 的细 节 的 问题 
籀 } 景臣  ( 内 蒙古赤 峰市元宝山区第二中学 0 2 4 0 0 0 )  
定义域是构 成 函数 的重要 组成 部分 , 是 中学 数 学  主干知识之一. 高一 新 生 初 学 函数 时 , 由 于 对 函 数 的概  念、 性 质理 解 不 透 , 解 题 中往 往 忽 略 了 一 些 细 节 , 造 成 

3 判 断奇 偶性 时 。 忽略 了定义 域存 在 
例3   判 断 函数 , (  ) =  
x 错解 : 由题 意 , 得 厂 ( z ) 一_ 2 x   2 +  2


错解. 本 文 就此 谈 几 点 , 供大家参考.  

的奇 偶 性 
一2 z. ? I .,( 一 z)  

1 求单 调 区间 . 忽 视定 义域 的存在 
例 1 求 函数 , (  ) 一l o g  (   一2 z 一3 ) 的单 调 区 
间.  
一一 2 x= 一 ,( z),  

. . .函数 , (  ) 一  

为 奇 函数 .  

错解 : ” 一z   一2 z 一3 一( z一 1 )   一 4在 ( 一。 。 , 1 ] 上  是 减 函数 , 在[ 1  + o 。 ) 上 是增 函数. 又 1 0 g 。 . s   是 减 函 

错因分析 : 上 面 解 错 的 原 因 是 没 有 讨 论 函数 的 定  义域 , 避 免 出现 此 类 错 误 的 方 法 是 判 断 函数 的 奇 偶 性  要 遵 循 定 义 域 优 先 的原 则 .  

数, 所 以函数 厂 (   c ) 的递增 区间是 ( 一o o , 1 3 , 递减区间是 
[ 1 , +。 。 ) .   错 因分析 : 上述错解忽略 了函数 厂 ( z ) 的 定 义 域 是 
( 一∞ , 一1 ) U( 3 , +∞) , 而不是( 一∞ , +o o ) .  

正解 : 函数 , (  ) 的定 义域 为 { zl  ≠ 一1 } , 不关 于 
原点对称 , - . .厂 ( z ) 既 不 是 奇 函数 , 也不 是偶 函 数 .  

正解 : 函数 j   ( z ) 一l o g  (   一2 x 一3 ) 的 定 义 域 是 
( 一。 。, 一1 ) U( 3。 +∞) . “一 x   ~2 x一 3 =(  一 1 )  一 4  

4 求反 函数 时 。 忽 略 原 函 数 的 定 义 域 
例4   求 函数 3 , 一  + 1的 反 函 数 .  

在( 一o 。, 一1 ) 上 是减 函数 , 在( 3 , +。 o ) 上 是 增 函数 .  

又l o g 。 l 5 U, l : O , +o 。 ) 上是减函数 , 所 以根 据 复 合 函 


错解 : 由  一一 / j 『 = +1 , 得 J- 1 f =7一 一1 , 即1 -X  
(  一 1 )  , 则 z 一 一y   +2 y  

数的单调性 , 函数 , ( z ) 的递增区间是( 一。 。 , 一1 ) , 递 减 
区间 是 ( 3 , +o 。 )     .

故 函数  一 
( z∈ R)  

+ 1的 反 函数 是  = 一 z   +2 x  

注: 定 义域 :  建立 函数 关 系、 研 究 函 数 性 质 的 基 

础, 忽 略函数 定义 域 的存 在 与作 用 , 就 有 可 能 出 现 错 
解.  

错 因分 析 : 如果一个函数存 在反 函数 , 则 原 函 数 的  定义 域 、 值 域 与 反 函 数 的值 域 、 定义 域是互 换 的. 因 此  反 函数 的定 义 域 取 决 于 原 函 数 的值 域 而 不 是 反 函 数 本 

2 解 决 抽象 函数 . 忽略 了定义 域 的作用 
例 2 已知  厂 (  ) 是定义在[ 一1 , 1 ] 上 的增 函 数 , 且  , (  一 1 ) <- 厂 ( 1 —3 x ) , 求 z的 取 值 范 围.  
错解 : , ( z ) 为增 函数 , 且有 , ( z 一1 ) <, ( 1 —3 x ) ,  
1  

身. 上 述 错 解 的 原 因 就 是 在 求 反 函 数 之 前 没 有 事 先 确 
定 原 函数 的 值 域 .  

正解 : 函数 一 、 / , i _ =   + 1的定 义域 是 ( 一。 。 , 1 3 ,  
值域是[ 1 , +o 。 ) .  

I . .z 一1 <1 —3 x . . 即4 x <2 , 解 得  < ÷ .  
1 )  

由j , 一  

+1 , 得 ̄ /  

一j , 一1, 1 一z一 ( y 一 

错 因分 析 : 只 应 用 了 函 数 的 单 调 性 而 忽 略 了 函 数 
的定 义 域 导 致 错 误 , 此类 题 在 函 数 中 出现 的 较 多 , 学 生 

则 z 一一   +2  

容 易 出现 错 误 , 今后解题时一定要注意函数的定义域.  
f 一1 ≤ X一1 ≤1  

故函数 j , 一  
+2 x( a ? ≥1 )  

+1 ( z ≤1 ) 的反 函数 是  一 一z 。  

正 解 : 由 题 意 可 得 
r   O ≤ z≤ 2  

1 ≤1 —3 z ≤ 1, 即  

注 :本 题 恰 恰 说 明 了 求 函 数 的 值 域 不 宜 提 出 反 函  数法 , 而要慎重.  

【 z 一 1 <1 — 3 z  

总之 , 正 确 地 掌 握 和 应 用 定 义 域 是 我 们 解 决 问 题 
的有 效 方 法 , 强化这方面的训 练 , 有 助 于在 新 课 程 理 论 

≤ z ≤ 号. ? . 。 ≤ z < ÷  

指导下培养学 生 的数学 思想 , 提 高 解 题 的 灵 活 性 和 准 
确 性 有 着 十分 重 要 的作 用 .  

I   z < ÷  

[ 责任 编校

钱 骁 勇]  



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