9299.net
大学生考试网 让学习变简单
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型


圆学子梦想 铸金字品牌

温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,关闭 Word 文档返回原板块。

考点 49 随机事件的概率、古典概型、几何概型
一、选择题 1. (2013·四川高考理科·T9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯在 4 秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮 的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( A.
1 4

) C.
3 4

B.

1 2

D.

7 8

【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后 4 秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立 ,而满足要求的是两串彩灯第一 次闪亮的时刻相差不超过 2 秒. 【解析】选 C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后 4 秒内任一时刻等 可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积 ,而要求的是第一次闪 亮的时刻相差不超过 2 秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,

根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是
12 3 ? ,故选 C. 16 4

2.(2013·安徽高考文科·T5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、
-1-

圆学子梦想 铸金字品牌

戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 A.





2 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

9 10

【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑,先组合再求概率。 【解析】选 D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率 P 1 =2 ? 甲、乙两人都被录用时的概率 P2 =
C32 3 C5 2 3 6 = ;当 10 10

1 3 6 9 C3 3 + = 。 = ,所以所求概率为 P = P 1 +P2 = 3 10 10 10 C5 10

3.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取 出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( A.
1 2


1 6

B.

1 3

C.

1 4

D.

【解析】选 B.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有 6 种,取出的 2 个数之差的 绝对值为 2 有 2 种,则概率 P ?
2 1 ? . 6 3

4. (2013·陕西高考理科·T5)如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有 一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩 形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率是 ( .
D F C

)

1 E A 2
1? 2?

B

A. C.

?
4

B. D.

?
2

?1

?
2

? 4

【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所占
-2-

圆学子梦想 铸金字品牌

有的面积的比值求出该几何概型的概率. 【解析】 选 A.由题设可知, 矩形 ABCD 的面积为 2, 曲边形 DEBF 的面积为 2 ? 故所求概率为
2? 2 ? 1? ? . 2 4

?
2



?

5.(2013·江西高考文科·T4)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个 数,则这两数之和等于 4 的概率是( A.
2 3

) C.
1 3

B.

1 2

D.

1 6

【解题指南】属于古典概型,列举出所有的结果是关键. 【解析】选 C.所有的结果为(2,1) , (2,2) ,(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共 6 种,满足所 求事件的有 2 种,所以所求概率为 1 .
3

6. (2013·湖南高考文科·T9).已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取 一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ,则 A.
1 2 1 2 AD =( AB



B.

1 4

C.

3 2

D.

7 4

【解题指南】本题的关键是找出使△APB 的最大边是 AB 的临界条件,首先是 确定 AD<AB,然后作出矩形 ABCD,最后分别以 A、B 为圆心以 AB 为半径作圆 弧交 CD 于 F、E,当 EF= CD 时满足题意。 【解析】选 D,如图,
1 2

在矩形 ABCD 中, 以 AB 为半径作圆交 CD 分别于 E,F,当点 P 在线段 EF 上运动 时满足题设要求,所以 E、F 为 CD 的四等分点,设 AB ? 4 ,则 DF ? 3, AF ? AB ? 4
-3-

圆学子梦想 铸金字品牌

在直角三角形 ADF 中, AD ? AF 2 ? DF 2 ? 7 ,所以 二、填空题

AD 7 . ? AB 4

7.(2013·浙江高考文科·T12)从 3 男 3 女 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中 的机会均相等),则 2 名都是女同学的概率等于 【解题指南】根据概率的知识求解.
C32 3 1 【解析】 P ? 2 ? ? . C6 15 5

.

【答案】 . 8.(2013·上海高考理科·T8)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示)
C52 13 【解析】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ? 2 ? . C9 18

1 5

【答案】

13 . 18

9.(2013·上海高考文科·T11)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七 个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示). 【解析】考查排列组合;概率计算策略:正难则反。
2 从4个奇数和 3个偶数共 7个数中任取 2个,共有 C7 ? 21个
2 2个数之积为奇数? 2个数分别为奇数,共有 C4 ? 6个.
2 C4 6 5 ? 1? ? 2 21 7 C7

所以2个数之积为偶数的概率 P ? 1?

【答案】

5 . 7
-4-

圆学子梦想 铸金字品牌

10. (2013· 江苏高考数学科· T7)现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m,n(m≤7,n ≤9)可以任意选取,则 m,n 都取到奇数的概率为 .

【解题指南】先计算所有的结果数再计算事件所含结果数,利用古典概型概率公 式求得. 【解析】所有的情况数为 7×9=63,都取到奇数的情况数为 4×5=20,所以 m,n 都 取到奇数的概率为 【答案】
20 . 63 20 . 63

11.(2013·福建高考理科·T11)利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a , 则事件“3a-1>0”的概率为_______ 【解题指南】对于几何概型,一个变量是长度,两个变量是面积。
1 1? 1 2 1 0? ” 【解析】设事件 A: “ 3a ? ,则 a ? ( ,1] ,所以 P( A) ? 3 ? 3 1 3

【答案】 . 12.(2013·福建高考文科·T14)利用计算机产生 0 1之间的均匀随机数a, 则事件 “3a-1<0”发生的概率为 .

2 3

【解题指南】对于几何概型,一个变量是长度,两个变量是面积。
1 ?0 1 1 3 1 0? ” 【解析】设事件 A: “ 3a ? ,则 a ? [0, ) ,所以 P( A) ? ? 3 1 3

【答案】 . 13. (2013·湖北高考文科·T15)在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足
| x | ? m 的概率为

1 3

5 6

,则 m ?

.

【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解. 【解析】由| x |≤m,得-m≤ x ≤m,当 m≤2 时,由题意 当 2<m<4 时,由题意得
m ? ( ?2) 5 ? , 解得 m=3. 6 6
-5-

2m 5 ? ,m=2.5 矛盾,舍去; 6 6

圆学子梦想 铸金字品牌

【答案】3. 14.(2013· 山东高考理科· T14) 在区间[-3,3]上随机取一个数 x, 使得 |x+1 |- |x-2 | ≥1 成立的概率为__________. 【解题指南】 可先定义新函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,然后根据分段函数的特点将问 题转化为几何概型问题.
??3, ?3 ? x? ? 1 ? 2x?1 , ?1 ? x? 2 【解析】设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,则 f (x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ? ?3,2 ? x ?3 ?

.由 2 x ? 1 ? 1 ,解
3 ?1 2 1 ? ? . 3 ? (?3) 6 3

得 1 ? x ? 2 ,即当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 1 .由几何概型公式得所求概率为 【答案】 .
1 3

15.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个 不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为
1 ,则 n= 14

.

【解题指南】 表示出两数之和等于 5 的概率,并建立方程,利用组合数的计算公式, 解方程求得 n. 【解析】从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,所有的取法有 Cn2 种,而 取出的两数之和等于 5 的取法只有两种 , 即 (1,4),(2,3), 所以其概率为 n2-n-56=0,所以 n=8. 【答案】8. 16. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T13)从 1, 2,3, 4,5 中任意取出两个不同的 数,其和为 5 的概率是_______. 【解题指南】列举基本事件总数,从中找出和为 5 的情况,两者作比即可得概 率.
-6-

2 1 ? ,即 2 Cn 14

圆学子梦想 铸金字品牌

【解析】从 5 个正整数中任意取出两个不同的数,有10 种,若取出的两数之和 等于 5,则有 (1, 4), (2,3) ,共有 2 个,所以取出的两数之和等于 5 的概率为 【答案】 . 三、解答题 17. (2013·辽宁高考文科·T19) 现有 6 道题,其中其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答. 试求: (?) 所取的 2 道题都是甲类题的概率;
(?? ) 所取的 2 道题不是同一类题的概率;

2 1 ? 。 10 5

1 5

【解题指南】利用列举法,弄清楚基本事件总数和所求的事件 A 包含的基本事 件数,利用古典概型的公式计算概率 【解析】 (?) 将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4,2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题的基本事件为 ?1,2?, ?1,3?, ?1,4?, ?1,5?, ?1,6?, ?2,3?, ?2,4?, ?2,5?, ?2,6?,

?3,4?, ?3,5?, ?3,6?, ?4,5?, ?4,6?, ?5,6? 共有 15 个;并且这些基本事件的出现是等可能
的,记事件 A ? “张同学所取的2道题都是甲类题” ;则A包含的基本事件有 共6个,所以 P( A) ? 3, 4 , ?1, 2?, ?1, 3 ?, ? 1, 4 ?, ? 2,? ? 2,? ? 3,?4
6 2 ? . 15 5

(?? ) 基本事件同 (?) .记事件 B ? “张同学所取的2道题不是同一类题” ,

则B包含的基本事件有 ?1,5?, ?1, 6?, ?2,5?, ?2, 6?, ?3,5?, ?3, 6?, ?4,5?, ?4, 6? 共8个, 所以 P( B) ?
8 . 15

18.(2013·天津高考文科·T15)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级.若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机 抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2
-7-

A3

A4

A5

圆学子梦想 铸金字品牌

质量指标 (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) (x, y, z) 产品编号 质量指标 (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (x, y, z) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率. (2)在该样品的一等品中,随机抽取 2 件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率. 【解题指南】(1)先计算表格中各样本的综合指标,再计算其中一等品所占比例来 估计该批产品的一等品率. (2)逐一列举,找出符合条件的结果,利用古典概型计算概率. 【解析】(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表 产品编号 A1 S 4
A2

A6

A7

A8

A9

A10

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

4

6

3

4

5

4

5

3

5
6 =0.6,从而可 10

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为 估计该批产品的一等品率为 0.6.

(2) ① 在 该 样 本 的 一 等 品 中 , 随 机 抽 取 2 件 产 品 的 所 有 可 能 结 果 为 (A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4, A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共 15 种. ②在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件
-8-

圆学子梦想 铸金字品牌

B 发生的所有可能结果为 (A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共 6 种. 所以 P( B) ?
6 2 ? . 15 5

19. (2013·湖南高考文科·T18)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形 地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相 同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量 Y (单位:kg)与 它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。

(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量; Y 频数 51 48 4 45 42

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率. 【解题指南】本题先要确定共种植 15 株作物,然后弄懂哪些株之间的距离等于 1 米,哪些超过 1 米,关键是弄懂“相近”即直线距离不超过 1 米的含义. 【解析】 (Ⅰ)由图可知所种作物总株数为 15.其中“相近”作物株数为 1 的作
-9-

圆学子梦想 铸金字品牌

物有 2 株, “相近”作物株数为 2 的作物有 4 株, “相近”作物株数为 3 的作物 有 6 株, “相近”作物株数为 4 的作物有 3 株,列表如下 Y 频数 所种作物的平均收获量为 51 2 48 4 45 6 42 3

51 ? 2 ? 48 ? 4 ? 45 ? 6 ? 42 ? 3 ? 46 15

(Ⅱ)由(Ⅰ)知年收获量至少为 48kg 的有 6 株,故从 15 株中随机选取一株,它 的年收获量至少为 48kg 的概率为
6 2 ? 。 15 5

20.(2013·江西高考文科·T16)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去 下棋.游戏规则为以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取 两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为 X,若 X>0 就去打 球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋.

(1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不 去唱歌的概率. . 【解题指南】(1)写出六个向量中取两个向量的所有情况,便知对应的数量积情 况; (2)找出所求事件包含的结果代入古典概型概率公式. 【解析】(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2 的有 OA2 ? OA5 ,共 1 种; 数量积为-1 的有 OA1 ? OA5 , OA1 ? OA6 , OA2 ? OA4 , OA2 ? OA6 , OA3 ? OA4 , OA3 ? OA5 ,共 6 种; 数量积为 0 的有 OA1 ? OA3 , OA1 ? OA4 , OA3 ? OA6 , OA4 ? OA6 共 4 种;
- 10 -

圆学子梦想 铸金字品牌

数量积为 1 的有 OA1 ? OA2 , OA2 ? OA3 , OA4 ? OA5 , OA5 ? OA6 共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种.所以小波去下棋的概率为 P1 ? 率为 P2 ?
4 , 15 4 11 ? . 15 15 7 ;小波去唱歌的概 15

小波不去唱歌的概率为 P ? 1 ?

21.(2013·安徽高考理科·T21)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次 主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生, 每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数) 。假设李老师和张老 师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能 收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (2)求使 P( X = m) 取得最大值的整数 m 。 【解题指南】 (1)利用对立事件的概率计算; (2)根据 P(X=m)的关系式,利用 不等式求解。 【解析】 (1)因为事件 A: “学生甲收到李老师所发信息”与事件 B: “学生甲收 到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以 A与B 相互独立,由于
k-1 Cn k k k 2 2kn - k 2 -1 = , 故 P ( A ) = P ( B ) = 1 P(A)=P(B)= C k n ,因此 P =1 -(1- )= 。 n n n2 n

(2) 当 k=n 时, m 只能取 n, 有 P(X=m)=P(X=n)=1,,当 k<n 时, 整数 m 满足 k #m t , 其中 t 是 2k 和 n 中的较小者,由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动 通知信息给 k 位同学”所包含的基本事件总数为 (Cnk )2 ,当 X=m 时,同时收到李 老师和张老师转发信息的学生人数恰为 2k-m,仅收到李老师或仅收到张老师转发 信息的学生人数均为 m-k, 由乘法计数原理知: 事件{X=m}所包含基本事件数为
k 2 k - m m- k k m- k m- k Cn Ck Cn- k = Cn Ck Cn- k ,

- 11 -

圆学子梦想 铸金字品牌
k 2 k - m m- k m- k Cn Ck Cn- k Ckm- k Cn -k , = k 2 k (Cn ) Cn

此时 P (X=m) =

当 k ? m t 时,P(X=m) ? P( X m +1)
C
m- k k

C

m- k n- k

[ C

m+1- k n

C

m+1- k n- k

(m - k +1) ? (n m)(2k - m) 郏 m

2

2 (k+1) 2k , n +2

假 如 k? 2 k
k ? 2k

2 (k+1) < n +2

2 t 立 , 则 当 (k+1) 成 能 被

n+2

整 除 时 ,

2 2 2 2 (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) < 2k +1 t ,故 P(X=m)在 m=2k 和 m=2k +1 处 n +2 n +2 n +2 n +2

2 (k +1 ) 取得最大值;当 不能被 n+2 整除时, P( X = m)在m=2k - [

2 (k+1) ] 处达最大值。 n +2

(注:[x]表示不超过 x 的最大整数) 下面证明 k ? 2k
2 (k+1) <t 。 n +2

因为1 ? k n ,所以 2k -

2 (k+1) kn-k2 - 1 -k = n +2 n +2

k(k +1)-k 2 - 1 k - 1 = n +2 n +2

0,

2 (k +1)2 (k +1)2 (k +1)2 (n - k +1 ) < n ,显然 2k < 2k , - n=< 0 ,故 2k 而 2k n +2 n +2 n +2 n +2
2 (k+1) <t 。 n +2

因此 k ? 2k

22.(2013·北京高考文科·T16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数 趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表 示空气质量重度污染, 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市, 并停留 2 天。

- 12 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率 (2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率。 (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证 明) 【解题指南】(1)(2)都是古典概型的概率计算问题,先列出基本事件空间所包含的 基本事件及基本事件总数,再求出对应事件所包含的基本事件及基本事件总数 , 再求概率.(3)从图中找出哪三天的波动最大,则方差也就最大. 【解析】 (1)此人到达的时间从 1 日到 13 日,共有 13 种情况。事件 A=“此人 到达当日空气质量优良” = {1, 2, 3, 7, 12, 13} , 包含基本事件数 6。 所以 P( A) ?
6 ; 13

(2)此人在该市停留两天期间的空气质量所有可能情况有:(86,25), (25,57) , (57,143) , (143,220) , (220.160) , (160,40) , (40,217) , (217,160) , (160,121) , (121,158) , (158,86) , (86,79) , (79,37)共有 13 种可能。 其中只有 1 天重度污染的有: (143,220) , (220,160) , (40,217) , (217,160) 共 4 种可能。所以 P ? (3)5,6,7 三天。 23.(2013·广东高考理科·T17)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们 某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
4 。 13

- 13 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 【解题指南】本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概 型等知识,除应用频率估算概率外,还特别要注意基本公式的应用.
17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 ; 6 2 1 (2)样本中优秀工人为 2 名,频率为 ? ,由此估计该车间 12 名工人中有 6 3 1 12 ? ? 4 名优秀工人; 3

【解析】 (1)样本均值 x ?

(3)由于 12 名工人中有 4 名优秀工人,任取 2 人恰有 1 名优秀工人的概率
p?
1 1 C8 C4 16 ? . 2 C12 33

24.(2013·广东高考文科·T17)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单 位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) 频数(个) 5 10 20
[95,100)

15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量 在 [80,85) 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1
- 14 -

圆学子梦想 铸金字品牌

个的概率. 【解题指南】本题考查统计中的频率分布、分层抽样、古典概型等知识. 【解析】 (1)苹果的重量在 ?90,95? 的频率为 (2)重量在 ?80,85?的有 4 ?
5 =1 个; 5+15 20 =0.4 ; 50

(3)设这 4 个苹果中重量在 ?80,85? 的为 1,?95,100? 的为 2、3、4,从中任取两个, 可能的情况有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种;设任 取 2 个, 重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有 1 个的事件为 A, 则事件 A 包含有 (1, 2) (1,3) (1,4)共 3 种,所以 P(A) ? ? . 25. (2013·山东高考文科·T17)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们 的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 2) ,如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9
3 6 1 2

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以 下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人, 求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都 在[18.5,23.9)中的概率 【解题指南】 (Ⅰ) 本题考查古典概型, 要将 “身高低于 1.80 的同学中任选 2 人” 都列出,然后找“2 人身高都在 1.78 以下”所含的基本事件的个数,由古典概 型概率公式求得结果.(II)要将基本事件都列出,然后找“2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”所含的基本事件的个数,由古典概型概率 公式求得结果.
- 15 -

圆学子梦想 铸金字品牌

【解析】 (I)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基 本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个.由于每个人被选到的机会 均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事 件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个. 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P= ? . (II)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B) , (A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些事件出现是等可能的.选到的 2 人身高 都在 1.70 以上且体重都在(18.5,23.9)中的事件有: (C,D),(C,E),(D,E), 共 3 个.因此选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重都在(18.5,23.9)中的概率为
P1 ? 3 . 10

3 6

1 2

26. (2013·陕西高考文科·T19)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的 人数如下: 组别 A B C D E

人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取 若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取人数 A B C D E

50 100 150 150 50 6

(Ⅱ ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被
- 16 -

圆学子梦想 铸金字品牌

抽到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 【解题指南】按相同的比例从不同的组中抽取人数;相互独立同时发生的概率公 式 P(AB)=P(A)P(B),代入可求解. 【解析】(Ⅰ)从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 150 人中抽 取 9 人. 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(Ⅱ ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持 1 号歌 手的概率为 , B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手, 则从 6 人中任选 1 人, 支持支持 1 号歌 手的概率为 , 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的 概率 P ? ? ? . 所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概 率为 . 27. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T19)经销商经销某种农产品,在一个销 售季度内,每售出1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每1 t 亏损 300 元。根 据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示。
2 9 2 2 3 6 2 9 2 6 2 3

- 17 -

圆学子梦想 铸金字品牌

经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t , 100 ? X ? 150 ) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经 销该农产品的利润。 (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; 【解题指南】 (1)依题意,可求得 T 关于 x 的分段函数; (2)由频率分布直方图可知,知利润 T 不少于 57000 元当且仅当120 ? X ? 150. 用频 率估计概率,可得概率的估计值; 【解析】 (1)当 X ? [100,130) 时, T ? 500 X ? 300 ?130 ? X ? ? ?800 X ?39000 , 当 X ??130,150? 时,
T ? 500 ?130 ? 65000.

所以

X ? 3 9 0 0 0? ,1 X0 ?0 ?8 0 0 T ?? 13 X0 ? 150. ?6 5 0 0 0 , ?

130,

(2)由(1)知利润 T 不少于 57000 元当且仅当120 ? X ? 150. 由直方图知需求量 X ??120,150? 的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不 少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. 28. (2013·大纲版全国卷高考文科·T20)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛, 其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 , 各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当裁判.
- 18 -

1 2

圆学子梦想 铸金字品牌

(I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判的概率. 【解析】 (I)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜” , , A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”
A 表示事件“第

4 局甲当裁判”.
1 4

则 A ? A1 ? A2 . P( A) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? . (II)记 B1 表示事件“第 1 局比赛结果为乙胜” , , B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时,结果为乙胜” , B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙胜”
B 表示事件“前

4 局中乙恰好当一次裁判”.

则 B ? B1 ? B3 ? B1 ? B2 B3 ? B1 B2
P(B) ? P(B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 )
? P(B1 ? B3 ) ? P(B1 ? B2 ? B3 ) ? P(B1 ? B2 )

? P(B1 )P(B3 ) ? P(B1 )P(B2 )P(B3 ) ? P(B1 )P(B2 )
? 1 1 1 ? ? 4 8 4 5 ? . 8

关闭 Word 文档返回原板块。

- 19 -



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com