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2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案新人教A版必修4

2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案新人教A版必修4


2.3.1 学习目标 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的含义.2.在平面内,当 一组基底选定后, 会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向 量的综合问题. 知识点一 平面向量基本定理 思考 1 如果 e1,e2 是两个不共线的确定向量,那么与 e1,e2 在同一平面内的任一向量 a 能 否用 e1,e2 表示?依据是什么? 答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则. 思考 2 如果 e1,e2 是共线向量,那么向量 a 能否用 e1,e2 表示?为什么? 答案 不一定,当 a 与 e1 共线时可以表示,否则不能表示. 梳理 (1)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. (2)基底:不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 两向量的夹角与垂直 思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点,它们存在夹角吗?若存在,向量的夹角 与直线的夹角一样吗? 答案 存在夹角,不一样. → → 思考 2 △ABC 为正三角形,设AB=a,BC=b,则向量 a 与 b 的夹角是多少? → 答案 如图,延长 AB 至点 D,使 AB=BD,则BD=a, ∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,则∠CBD=120°,故向量 a 与 b 的夹角为 120°. → → 梳理 (1)夹角: 已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示). 当 θ =0°时,a 与 b 同向;当 θ =180°时,a 与 b 反向. (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 90°,则称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 类型一 对基底概念的理解 例 1 如果 e1,e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( ①λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λ e1+μ e2 的实数对(λ ,μ )有无穷多个; ③若向量 λ 1e1+μ 1e2 与 λ 2e1+μ 2e2 共线,则有且只有一个实数 λ ,使得 λ 1e1+μ 1e2= λ (λ 2e1+μ 2e2); ④若存在实数 λ ,μ 使得 λ e1+μ e2=0,则 λ =μ =0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案 B 解析 由平面向量基本定理可知,①④是正确的; 对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底 下的实数对是唯一的; 对于③,当两向量的系数均为零,即 λ 1=λ 2=μ 1=μ 2=0 时,这样的 λ 有无数个,故选 B. 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底, 主要看两向量是否非零且不共线.此外, 一个平 面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练 1 ( ) 1 B.2e1-e2,e1- e2 2 D.e1+e2,e1-e2 若 e1,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 ) A.e1-e2,e2-e1 C.2e2-3e1,6e1-4e2 答案 D 解析 选项 A 中,两个向量为相反向量,即 e1-e2=-(e2-e1),则 e1-e2,e2-e1 为共线向 1 量;选项


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