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2019届高考数学一轮复习第九章解析几何专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题文

2019届高考数学一轮复习第九章解析几何专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题文


专题研究二 圆锥曲线中的最值与 范围问题 专 题 讲 解 题型一 最值问题 (2018· 四川成都五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭 x2 y2 2 圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,且点 P(2,1)在椭圆 C a b 2 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A, B 都在椭圆 C 上, 且 AB 中点 M 在线段 OP(不包 括端点)上. ①求直线 AB 的斜率; ②求△AOB 面积的最大值. 【解析】 c 2 (1)离心率e= = ,将P点坐标代入椭圆方程, a 2 4 1 可得a2+b2=1, 2 x 又a2-b2=c2,解得a= 6 ,b=c= 3 ,故椭圆C的方程为 6 y2 + 3 =1. (2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x12+2y12=6,x22+2y22 =6, 相减可得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0, y1+y2 1 1 由题意可得kOM=kOP=2,即为 =2, x1+x2 y1-y2 x1+x2 1 可得直线AB的斜率 =- =-2×2=-1. x1-x2 2(y1+y2) ②设直线AB的方程为 y=-x+t,代入椭圆方程可得3x2- 4tx+2t2-6=0, 4t 由Δ=16t -12(2t -6)>0,解得-3<t<3,x1+x2= ,x1x2 3 2 2 2t2-6 = 3 . 因为|AB|= 2· |t| , 2 2 · (x1+x2)2-4x1x2 = 2 16t2 8t -24 4 =3 9 - 3 9-t2 ,又O到直线 AB的距离为d= 1 所以△AOB的面积S= |AB|d= 2 2 2 2 t +9-t 3 2 = 2 , 3· 2 2 3 t2(9-t2) ≤ 3 2 当且仅当t2=9-t2,即t=± 时,取等号,此时Δ>0,所以 2 S的最大值为 3 2 . 2 x2 y2 (1) 6 + 3 =1 (2)①-1 3 2 ② 2 【答案】 【讲评】 本题求最值方法:均值不等式. ★状元笔记★ 圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意 义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法. (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数, 则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值 的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调 性法等. x2 思考题1 (2018· 福建闽侯县三中期中)已知椭圆C: a2 + y2 6 b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,且与直线y= x+2相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设点A(2,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆 C上,且P在 y轴的右侧,若|BA|= |BP|,求四边形 OPAB(O为坐标原点)面积的 最小值. 6 c 6 【解析】 (1)由题意知,离心率e= 3 =a,所以c= 3 a,b 3 = a,所以x2+3y2=a2, 3 将y= x+2代入得4x2+12x+12-a2=0, 由Δ=122-4×4×(12-a2)=0,得a= 3,b=1, x2 所以椭圆C的方程为 3 + y2=1. (2)设线段AP的中点为D,因为 |BA|= |BP|,所以BD⊥AP, 由题意得直线BD的斜率存在且不为零,设P(x0, y0)(0<x0< 3,y0≠0), x0+2 y0 则点D的坐标为( 2 , 2 ), y0 直线AP的斜率k AP= ,


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