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排列与组合习题课

排列与组合习题课


排列与组合
习题课

排列组合公式
n! n 1.A ? ,An ? n! ?n - m ?!
m n

n! n 0 2.C ? ,C n ? Cn ?1 ?n - r ?! r!
r n

3.C ? C
r n

n-r n

4 * .C

m n ?1

? C ?C
m n

m -1 n

排列组合计算问题
1.m ( m ? 1)(m ? 2)? ( m ? 20)可表示为(
20 A. Am 21 B . Am 20 C . Am ? 20 21 D . Am ? 20

)

m ( m ? 1)(m ? 2)? ( m ? 20) 2. 可表示为( ) 20! 20 20 20 21 A. Am B . C C . 21 C D . 21 C ? 20 m ? 20 m ? 20 m ? 20 3. 解方程(1)3 A8x ? 4 A9x ?1
5? n 9?n 4. 求值C n ? Cn ?1 2 2 2 94 95 96 97 5.求和: (1)C 2 ? C 32 ? C 4 ? ? ? C100 ; ( 2)C 96 ? C 97 ? C 98 ? C 99 . x x 2 x?2 ( 2)C17 ? C16 ? C16

1 2 n 6.求和: ? ? ? ? 2! 3! ( n ? 1)!

区分排列、组合与重复选取
? 1.判断下列问题是否排列或组合问题,并列出计算式
– 从1,2,3,5中任取两个不同的数相减(除)可得到 多少个不同的结果?(若改为相加或相乘呢?) – 某班50名同学,约定互相握手一次,共需要握手多 少次?(若改为写信呢?) – 把3封不同的信投入4个不同的信箱,有多少种不同 的投法? – 把3封不同的信投入4个不同的信箱,不同的信须投 入不同的信箱,有多少种不同的投法? – 把4封不同的信投入3个不同的信箱,每个信箱至少 投入1封信,有多少种不同的投法?

组合问题:选取(抽样)
? 2、从4名男生,3名女生中选出3名代表.
(1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同选法共有多少种?
“选取(抽样)”是典型的组合问题,常见的附加条件是分类选元. 在解(2)、(3)时易犯的错误是重复选: 如解(2)为C13C26=45种,解(3)为C13C14C15=60种.

? 3. 有11名外语翻译人员,其中5名英语翻译员,4名日
语翻译员,另两名英、日语都精通, 从中找出8人, 使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英文,另4人 翻译日文,这两个小组能同时工作,问这样的分配名 单共可开出几张? “多面手”问题,注意分类的方法

排队问题
? 常用方法:捆绑(相邻)、插空(相离)、位臵分析
(特殊位臵)、元素分析(特殊元素)、定序问题 (变组合或除以内部排序)、分排问题连排处理

? 4.从8人中选5人排成一排照相,每次拍照时甲或乙两
人中要有1人排在中间,有多少种不同的排法? 变式:从8人中选5人排成一排照相,若选到甲或乙时, 他们两人都不能排在中间的一个位臵,有多少种不同 的排法? 5.有4名男生、5名女生排成一横队,下列情况各有多 少种不同的排法? (1)任何两个男生都不能连排在一起; (2)男女相间 (3)男生不能都排在一起;(4)男生、女生各在一边

?

排数问题
? 常见问题:区别数学能否重复选取;注意0能否出现在
首位;注意分类讨论首位或末位;比某个数大的个数 或大小顺序中第几个数的问题,用分类讨论一类类计 算个数.

? 6.由0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数
字的四位数 (1)能组成多少个不同的四位数? (2)能组成多少个不同的四位偶数? (3)能组成多少个能被3整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问 第85个数是什么? (5)比4032大的数有多少个?

定序问题
? 7.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙 ?

?

必须在甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成 后才能进行,又工程丁必须在丙完成后立即进行,那 么安排这6项工程的不同排法种数? 8.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加 围棋擂台赛,两方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜 者再与负方2号队员比赛……直到一方被完全淘汰为止, 形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程有 多少种? 9.如图某城市中A,B两地有整齐的矩形道路网。 (1)从A地到B地共有 B 多少种最近的走法; (2)从A经过C到B地 C 共有多少种不同最 近走法?
A

分组与分配问题
? 常见问题:1.区分“分组”与“分配”;
2.区分“均匀分组”与“非均匀分组”; 3.均匀分组要避免重复计算(除以组与组之间的排列数)

? 10.有6本不同的书,下列问题各有多少种不同的分法?
(1)甲、乙、丙3人每人2本; (2)分成3堆,每堆2本; (3)分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本; (4)分给甲,乙,丙3人,一人1本,一人2本,一人3本; (5)分给甲,乙,丙3人,甲1本,乙2本,丙3本; (6)分成3堆,有2堆各1本,另一堆4本; (7)分给甲,乙,丙3人,有两人各1本,另一人4本; (8)摆在3层书架上,每层2本.

不同的球放入不同的盒子:先分组再分配
? 11.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒
?
子中,恰有一个空盒的放法有多少种? 变式1:有4名老师分配到3所中学任教,每校至少要 有1名,有多少种不同分配法? 变式2:已知集合A={1,2,3,4},B={7,8,9},A为定义域, B为值域,由A到B的不同函数有多少个? 变式3:把同一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法 种数是? 1、注意大类:不同的球放入不同的盒 2、不同的题,抽象出一类常见模型

?
?

相同的球放入不同的盒子:隔板模型
? 模型与思想:
1.相同的球放入不同的盒子,每盒非空——隔板模型 2.先预处理,转化为隔板模型,例如(2)(4)(5)

12.(1)10个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中, 问每个盒子中至少一个小球的不同放法有多少种? (2)把上题改为“任意放入”时的方式共有多少种? (3)方程x+y+z+w=10的正整数解有多少组? (4) 10个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中, 每盒可空,问不同放法有多少种? (5)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中, 要求每个盒子中的小球数不小于其编号数,问不同的 放法有多少种?

构造模型
? 13. 8个人分配到4辆车上工作,每车两人,按下列要
求有多少种不同的分配方法? (1)若车不相同,车上工种相同; (2)若车不相同,车上工种不同; (3)若车相同,车上工种相同; (4)若车相同,车上工种不同。
模型转化: (1)就是把8本不同的书分给4个人每人2本 (2)就是8个人站成4排每排两人 (3)就是将8个不同的元素分成4组每组两个

? 排列组合的三大类问题:
1.m个不同的球放入n个不同的盒——分配(排列)或次幂 2.m个相同的球放入n个不同的盒——隔板 3.m个不同的球放入n个相同的盒——分组(组合)

? 14.八人排成一队,A、B、C三人互不相邻,D、E两 ?

间接法

?

人也互不相邻的排法共有多少种? 15.四面体的顶点与各棱中点共有10个点,在其中取 四个不共面的点,不同的取法共有多少种? 16.编号为1,2,3,4,5的五个人,分别坐在编号为 1,2,3,4,5的座位上,则至多两个号码一致的坐 法有多少种?

不对号入座问题

变式1:4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人 从中拿一张别人送来的卡,则四张卡不同的分配方法 有多少种? 变式2:设有编号为1,2,3,4,5的5个球和编号为1, 2,3,4,5的5个盒子,现将5个球放入这5个盒子内, 要求每个盒子内放一球,且恰好有两个球的编号与盒 子的编号相同,有多少种放法?

以下为补充练习

1、要排一张6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单, 任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法? 2、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前 又增加了2个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中, 有多少种不同的插法种类?

区分以上两题不同的插空类型
3、排9个座位,4个人坐在上面,要求每两人之间至少有 一个空位,共有多少种不同坐法? 4、某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从 这7个车队中抽取10辆,且每个车队至少抽一辆组成运 输队,不同的抽法有( )种 A.84 B.120 C.63 D.301

5、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四 个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览 一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,不 同的选择方案有( )种。 A.300 B.240 C.144 D.96 6、甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房 的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2 天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班, 则可以排出不同的值班表有( )种 A.36 B.42 C.50 D.72 7、甲、乙、丙、丁四人互相传球,第一次甲传给乙、 丙、丁三人中任一人,第二次由拿球者再传给其他三 人中任一人,这样共传了4次,则第四次仍传到甲等 方法共有( )种? A.21 B.42 C.24 D.27

8、从0,1,2,3,4,5这六个数中任取2个作除法,可 得出不同的正弦值个数为_____。
9、三组平行线分别有m,n,k条, 在此图形中,共有多少个 三角形?共有多少个 平行四边形? 10、已知平面α∥β,在α内有4个点,在β内有6个点. (1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不 同平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?

11、某电视台邀请了6位同学的父母共12人,请这12位 家长中的4位介绍对子女的教育情况,如果这4位中恰 有一对是夫妻,那么不同选择方法的种数是( ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)480 12、(1)将10个名额分配到8个班中,每班至少一个,有 多少种不同的分配方案? (2)将10名新生分配到8个班中,每班至少一个,有多 少种不同的分配方案? 13、两个三口之家(共4个大人、2个小孩)乘“富康”、 “桑塔纳”两辆小车出外旅游,每辆车最多只能坐4 人,其中两个小孩不能单独坐一辆,则不同的乘车方 法种数是( ) A.40 B.48 C.60 D.68



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