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2017

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专题 06 大题易丢分(20 题) 一、解答题 1.已知函数 y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数. (1)求证:对任意 x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0; (2)若 f(1-a)+f(1-a )<0,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)见解析; (2)0≤a<1. 2 (2)因为 f(1-a)+f(1-a )<0?f(1-a )<-f(1-a)=f(a-1), 2 2 ?1 ? 1 ? a ? 1 0 ? a2 ? 2 所以由 f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得 { ?1 ? a ? 1 ? 1 ? { 0 ? a ? 2 1 ? a2 ? a ?1 a2 ? a ? 2 ? 0 解得 0≤a<1. 点睛:本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.解抽象函数不等 式问题时,一般利用函数的奇偶性,和单调性转化为括号内的自变量的大小关系的比较。 2.已知 (1)若 ( a ? R ), ,求实数 a 的值; 1 (2)是否存在实数 使函数 f ? x ? 为奇函数,说明理由. 【答案】 (1) a ? 1 ; (2)见解析. 2 2 3.已知 x ? R, a ? R ,且 a ? 0 ,向量 OA ? ?acos x,1 , OB ? 2, 3asin2 x ? a , f ? x ? ? OA ? OB . ? ? ? ? (1)求函数 f ? x ? 的解析式,并求当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间; (2)当 x ? ?0, ? ?? ? 时, f ? x ? 的最大值为 5,求 a 的值; ? 2? ? ?? ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 2? (3)当 a ? 1 时,若不等式 f ? x ? ? m ? 2 在 x ? ?0, 【答案】 (1) f ? x ? ? 2asin ? 2 x ? ? ? ?? ? ?? ? (2)a ? ?5 或 ? , f ? x ? 单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z ; 6 3? 6? ? a? 5 ; (3) ? 0,1? . 2 【解析】试题分析: (Ⅰ)化简 f ? x ? ? 2asin ? 2 x ? ? ? ?? ? ? ? ? ,解不等式 2k? ? 2 ? 2 x ? 6 ? 2k? ? 2 求得 x 6? 的范围即得增区间(2)讨论 a 的正负,确定最大值,求 a; (3 )化简绝对值不等式,转化 2 ? ?? ? ?? f ? x ? ? 2 ? m ? f ? x ? ? 2 在 x ? ?0, ? 上恒成立,即 f ? x ?max ? 2 ? m ? f ? x ?min ? 2, x ? ? 0, ? ,求出 ? 2? ? 2? ?? ? ? ?? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 在 x ? ?0, ? 上的最大值,最小值即得解. 6? ? ? 2? (3) f ? x ? ? m ? 2 在 x ? ?0, ? ?? ? 上恒成立, ? 2? ? ?? ? 上恒成立, ? 2? ? ?? ? ? 2? 即 f ? x ? ? 2 ? m ? f ? x ? ? 2 在 x ? ?0, ∴ f ? x ?max ? 2 ? m ? f ? x ?min ? 2, x ? ? 0, ?? ? ? ?? f ? x ? ? 2

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