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(课件3)1.4三角函数的图像与性质

(课件3)1.4三角函数的图像与性质


三角函数线:
? α在第一象限时:

? 正弦线: sinα=MP>0
? 余弦线: cosα=0M>0 ? 正切线:tanα=AT>0

α在第二象限时:

正弦线: sinα=M’P’>0
余弦线: cosα=0M’<0 正切线:tanα=AT’ <0

作法如下:

Y

?作直角坐标系,并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。

?找横坐标(把x轴上
到 到这一段 分成8等份)
? π 2
π ?

?把单位圆右半圆中
作出正切线。

?

?找交叉点。
?连线。

π 2

O

π ?

X

?

3π 2

π ? 2

π ?

3π 2

y
? 3π 2 ? π 2

π ?

3π 2

o
? tan(? x) ? tan(x)

x

π ? ? x | x ? ? kπ, k ? Z? ? 2 ? ?
全体实数R

? 正切函数是奇函数,正切曲线
关于原点0对称

? tan( x ? π) ? tan( x)
? π π ?

? 正切函数是周期函
数,T=

正切函数在开区间 ? ? ? kπ, ? kπ ? , k ? Z 2 ? 2 ? 内都是增函数。

π

π 例1 求函数 y ? tan( x ? ) 的定义域. 4 π z ? x? , 解:令 4 那么函数 y ? tan z 的定义域是:
π ? ? z | z ? ? kπ, k ? Z? ? 2 ? ?
π π ? ? kπ 4 2

所以由 z ? x ?

π 所以函数 y ? tan( x ? ) 的定义 4 域是:
π ? ? x | x ? ? kπ, k ? Z? ? 4 ? ?

π , 4

可得: x ?

例2

11π tan173 ;(2) tan(? 4 ) 与 (1) tan167 0 0 0 0 解: (1) ? 90 ? 167 ? 173 ? 180
0与
0

不通过求值,比较下列各组中两个正 切函数值的大小:

13π tan(? ) 5



? tan167 0 ? tan173 0 11π 3π (2) ? tan(? ) ? tan(? ) 4 4 13π 3π tan(? ) ? tan(? ) 5 5 π π 是增函数 π 3π 3π π 且 y ? tan x, x ? (? , ) ?? ? ? ? ? ? , 2 4 5 2 2 2



? y ? tan x,

在 (90 0 ,270 0 )上是增函数

3π 3π ? tan(? ) ? tan(? ) 4 5



11π 13π tan(? ) ? tan(? ) 4 5

1 π (1) y ? 3tan( x ? ); 2 4 1 π 解 : (1)令u ? x ? , 则y ? 3tan u 2 4
?u ?

例3

求下列的单调区间:
x π 变题(2) y ? 3tan(? ? ) 2 4
π π 解 : 因为原函数可化为 : y ? ?3tan( ? ); 2 4

1 π x ? 为增函数; 且y ? tan u的单调区间为 : 2 4π π

kπ ? ? u ? kπ ? , k ? Z 2 2 1 π ?由u ? x ? 得 : 2 4

x π 令u ? ? ; 所以y ? tan u的单调递增区间为 : 2 4 π π

kπ ? ? u ? kπ ? , k ? Z 2 2
1 π ?由u ? x ? 得 : 2 4

π 1 π π kπ ? ? x ? ? kπ ? 2 2 4 2
1 π ? y ? 3 tan( x ? )的单调递增区间为 : 2 4

π 1 π π kπ ? ? x ? ? kπ ? 2 2 4 2
? y ? 3 tan(? 1 π x ? )的单调递减区间为 : 2 4

3π π (2kπ ? ,2kπ ? ) 2 2

π 3π (2kπ ? ,2kπ ? ) 2 2

例4 求下列函数的周期:
解 : f ( x) ? 3tan(2 x ? ) ? 4

π (1) y ? 3 tan(2 x ? ); 4 π

1 π (2)变题y ? 3 tan( x ? ); 2 4

? f (x ? ) 2 π ?周期T ? 2

π ? 3tan(2 x ? ? π) 4 π π ? 3tan[2( x ? ) ? ] π 2 4

1 π 解 :? f ( x) ? 3tan( x ? ) 2 4 1 π ? 3tan[ ( x ? 2π) ? ] 2 4

1 π ? 3tan( x ? ? π) 2 4

? f ( x ? 2π) ?周期T ? 2π

周期T ?

π |? |

画出函数y= tanx 的图象,指出它的单调区间,奇偶 性,周期.

?

3π 2

?

π 2

π ?

3π 2

3π ? 2

?

π 2

π ?

3π 2

(1)正切函数的图象

(2)正切函数的性质:
? ?定义域:x | x ? π ? kπ, k ? Z? ? ? ? 2 ?

?

3? 2

?

π 2

π ?

3π 2

?值域:全体实数R
正切函数是周期函数, ?周期性: 最小正周期T= 奇函数, ?奇偶性: 正切函数在开区间 ? ? ? kπ, ? kπ ? , k ? Z ?单调性: 2 ? 2 ? 内都是增函数.
? π π ?

π



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