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高中数学人教版A版选修1-2课件:3.1.1 数系的扩充和复数的概念_图文

高中数学人教版A版选修1-2课件:3.1.1 数系的扩充和复数的概念_图文

第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 复数的概念及代数表示 思考 为解决方程 x2 = 2 ,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方 程x2+1=0在实数系中无根的问题呢? 答案 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i· i=-1,方 程x2+1=0有解,同时得到一些新数. 答案 梳理 (1)复数 ①定义:把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数 叫做复数,其中i叫做 虚数单位 .a叫做复数的 实部 ,b叫做复数的 虚部 . i b∈R) ,这一表示形式 ②表示方法:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+ (ab , 叫做复数的代数形式. (2)复数集 ①定义: 全体复数 所成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母 C 表示. 知识点二 两个复数相等的充要条件 思考 由4>2能否推出4+i>2+i? 答案 不能 . 当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复 数不全是实数时,不能比较大小. 答案 梳理 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di (a,b,c,d∈R), 我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是 a=c且b= .d 知识点三 复数的分类 ? ?实数?b=0? ? ? (1)复数(a+bi,a,b∈R) ? ?纯虚数?a=0? ?虚数?b≠0?? ? ? ?非纯虚数?a≠0? ? (2)集合表示: 题型探究 类型一 复数的概念 例1 (1)给出下列命题: ①若z∈C,则z2≥0; ②2i-1虚部是2i; ③2i的实部是0; ④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ⑤实数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析 答案 (2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分 ± 2,5 别是________. 解析 2 ? ?a =2, 由题意知? ∴a=± 2,b=5. ? ?b-2=3, 解析 答案 反思与感悟 (1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b 才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的 两大构成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这 类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答. 跟踪训练1 下列命题: ①1+i2=0; ②若a∈R,则(a+1)i为纯虚数; ③若x2+y2=0,则x=y=0; ④两个虚数不能比较大小. ①④ 是真命题的为________.( 填序号) 解析 答案 类型二 复数的分类 例2 m -m-6 求当实数 m 为何值时,z= +(m2+5m+6)i 分别是: m+3 2 (1)虚数; 解 复数z是虚数的充要条件是 2 ? m ? +5m+6≠0, ? ?m≠-3 且 m≠-2. ? ?m+3≠0 ∴当m≠-3且m≠-2时,复数z是虚数. 解答 引申探究 1.若本例条件不变,m为何值时,z为实数. 解 m2-m-6 由已知得,复数 z 的实部为 , m+3 虚部为m2+5m+6. 2 ? ? m ? +5m+6=0, ?m=-2或m=-3, 复数 z 是实数的充要条件是? ?? ? ? ?m+3≠0 ?m≠-3 ?m=-2. ∴当m=-2时,复数z是实数. 解答 m2-m-6 2.已知 i 是虚数单位,m∈R,复数 z= +(m2-2m-15)i,则当 m+3 3或-2 时,z 为纯虚数. m=________ ?m2-m-6 ? =0, 由题意知? m+3 ? 2 ?m -2m-15≠0, 解析 解得 m=3 或-2. 解析 答案 反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列 方程或不等式求参数. 跟踪训练 2 (1)实数; 解 m?m+2? 实数 m 为何值时, 复数 z= +(m2+2m-3)i 分别是 m-1 m?m+2? 要使 z 是实数,m 需满足 m +2m-3=0,且 有意义, m-1 2 即m-1≠0,解得m=-3. 解答 (2)虚数; 解 m?m+2? 要使 z 是虚数,m 需满足 m +2m-3≠0,且 有意义, m-1 2 即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3. 解答 (3)纯虚数. 解 m?m+2? 要使 z 是纯虚数,m 需满足 =0,m-1≠0, m-1 且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2. 解答 类型三 复数相等 例3 (1)已知x0是关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)的实根,则 1 12 m的值(或取值范围)是________. 解析 由题意,得 x2 0-(2i-1)x0+3m-i=0, 即(x2 0+x0+3m)+(-2x0-1)i=0, 2 ? x ? 0+x0+3m=0, 1 由此得? ?m=12. ? ?-2x0-1=0 解析 答案 (2)已知xi+2y-3x-yi=1-i,求实数x,y的值. 解 ∵xi+2y-3x-yi=1-i, ∴2y-3x+(x-y)i=1-i, ? ?2y-3x=1, ∴? ? ?x-y=-1, 解得x=1,y=2. 解答 反思与感悟 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相 等的充要条件可得到两个方程,从

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