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2.1.2离散型随机变量的分布列(2课时)

2.1.2离散型随机变量的分布列(2课时)


新课讲授
引例: 抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些
值?X取每个值的概率是多少? X的取值有1、2、3、4、5、6 解: 1 1 1 则 P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , 6 6 6 1 P( X ? 4) ? , P( X ? 5) ? 1 , P( X ? 6) ? 1 . 6 6 6 列表
X P 1 2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

1 6

⑴列出了随机变量X的所有取值. ⑵求出了X的每一个取值的概率.

1.离散型随机变量的分布列:
设离散型随机变量X的所有可能的取值为

x1 , x2 , x3 , ???, xn .

X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率为P(X=xi)=pi, 以表格的形式表示如下: X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn 这个表就称为离散型随机变量X的概率分布列, 简称为X的分布列.

注: 1、分布列的构成:
⑴从小到大列出了随机变量X的所有取值.

⑵求出了X 的每一个取值的概率.

2.概率分布还经常用图象来表示. 可以看出 ? 的取值 范围{1,2,3,4,5,6}, p 0.2 它取每一个值的概 1 率都是 。
0.1

6

O

1

2

3

4

5

6 7 8

?

(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。 (2)函数可以用解析式、表格或图象表示,离散型随 机变量可以用分布列、等式或图象来表示。

1.离散型随机变量的分布列:
X
P

x1
p1

x2
p2




xi
pi




xn
pn

2.离散型随机变量分布列的性质: ⑴ pi ? 0, i ? 1, 2, ???, n; ⑵ p1 ? p2 ? ??? ? pn ? 1. 3.X的分布列的表示法: (1)表格法; (2)解析式法: P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n) (3)图象法.

课堂练习:
1、设随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3 4

P

1 6

则p的值为

1 3

1 3

1 6

p
i


?1? 的分布列为 P(? ? i) ? a? ? , i ? 1,2,3 ? 3? 27

2、设随机变量 ?

则a的值为

13



例1:一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小 球,已知红球的个数是绿球个数的两倍,黄球个数是 绿球个数的一半,现从该盒中随机取出一球,若取出 红球得1分,取出绿球得0分,取出黄球得-1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数ξ的分布列. 解;设黄球个数为n,则绿球个数为2n,红球个数为4n,盒 中总球数为7n, ξ的所有可能取值为-1,0,1,

说明:在写出ξ的分布列后,要及时 检查所有的概率之和是否为 1. 所以ξ的分布列为:
ξ
P -1
1 7

4n 4 2n 2 n 1 则 P(? ? ?1) ? 7n ? 7 , P(? ? 0) ? 7n ? 7 , P(? ? 1) ? 7n ? 7 .

0
2 7

1
4 7

例 2: 一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、 2、3、4、5、6,现从中随机取出3个小球,以X 表示取出球的最大号码,求X的分布列.
解: X的所有取值为:3、4、5、6. {X=3}表示其中一个球号码等于“3”,另两个都比“3” 1 2 1 1 2 小 C1 C2 3 C C 1 3 ? , ? P( X ? 3) ? 3 同理 P( X ? 4) ? ? ,
C6

P( X

1 2 C1 C4 ? 5) ? 3 C6

所以,X的分布列为
X P 3

20 1 2 3 C 5 ? , P( X ? 6) ? 1 C 3 C6 10
4 5 6

3 C6

?

1 . 2

20

1 20

3 20

3 10

1 2

求离散型随机变量的概率分布列 的方法步骤:
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值

xi (i ? 1, 2, );
2、求出各取值的概率

P(? ? xi ) ? pi ;
3、列成表格.

思考题:一个口袋里有5只球,编号 为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X 表示取出的3个球中的最小号码,试 写出X的分布列.

1,2,3,4,5
解: 随机变量X的可取值为 1,2,3. 当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则 其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任 2 3 取两只,故有P(X=1)=C4 / C5 =3/5;
同理可得 P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10.

因此,X 的分布列如下表所示

X 1 P 3/5

2 3/10

3 1/10

例3. 某一射手射击所得环数ξ的分布列如下:

ξ P

4
0.02

5
0.04

6
0.06

7
0.09

8
0.28

9
0.29

10
0.22

求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事 件”ξ=7”, ”ξ=8”, ”ξ=9”, ”ξ=10” 的和. 解: 根据射手射击所得环数ξ 的分布列,有 P(ξ=7)=0.09, P(ξ=8)=0.28,

P(ξ=9)=0.29, P(ξ=10)=0.22, 所求的概率为 P(ξ≥7)=0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88

例4.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次 分裂为四,如此进行有限多次,而随机终止,设分裂 n 1 n (n=1,2,3,……),记ξ为原物 次终止的概率是 2 体在分裂终止后所生成的子块数目,求 P(ξ≤10).
解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的数目ξ的分布列为

ξ
P

2
1 2

4
1 4

8
1 8

16
1 16

. . . . . .

2n

. . . . . .

1 2n



P (ξ ≤ 10)= P (ξ =2)+ P (ξ =4)+ P (ξ =8)
1 1 1 7 =2? 4?8 ? 8.

说明:一般地,离散型随机变量在某一范围内取值 的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

练习:将一枚骰子掷2次,求随机变量两次 掷出的最大点数X的概率分布.

X 1 2 3 4 5 6
P
1 36
3 36

5 36

7 9 11 36 36 36

课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的两个性质:

⑴ pi

? 0, i ? 1, 2, ???, n;

⑵ p1 ? p2 ? ??? ? pn ? 1.
一般地,离散型随机变量在某一范围内取
值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之

和.

教学反思:
1.离散型随机变量的分布列的理解不是一 个难点内容,难点内容是如何求出概率,因 此应把重点和难点放在此处;

2.注意给学生以独立思考的时间;
3.分布列的应用不是难点,让学生独立解决.

4.教学中注意渗透数学思想方法.

1.离散型随机变量的分布列.
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

2.离散型随机变量的分布列的两个性质:

⑴ pi ? 0, i ? 1, 2, ???, n; ⑵ p1 ? p2 ? ??? ? pn ? 1.
一般地,离散型随机变量在某一范围内取 值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和.

例1.在掷一枚图钉的随机试验中,令 ?1, 针尖向上 X ?? ?0, 针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列

解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p), 于是,随机变量X的分布列是:
X P 0 1-p 1 p

象这样的分布列称为两点分布列.

X P

0 1-p

1 p

X只能取0、1,不能 取其他数.

3.两点分布.
(1)两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否 中奖; 买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投 篮是否命中等等,都可以用两点分布列来研究. (2)如果随机变量X的分布列为两点分布列,则称X 服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率. ①两点分布又称0-1分布. ②如果一个随机试验只有两个可能的结果,那么就 可以用两点分布随机变量来研究它. ③由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试 验,所以还称两点分布为伯努利分布.

例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求: (1)取到的次品数X的分布列; (2)至少取到1件次品的概率. 解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 从100件产品中任取3件结果数为C
3 100

,

从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的结果为

C ?C
k 5

3? k 95

( k ? 0,1, 2, 3)

从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为
k 3?k C5 ? C95 p( X ? k ) ? ( k ? 0,1, 2, 3) 3 C100

例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求: (1)取到的次品数X的分布列; (2)至少取到1件次品的概率. 如取小数 k 3 ? k ,注意保留小数位不 C5能太少 ? C95 ,此外四舍五入时还要 p( X ? k ) ? ( k ? 0,1, 2, 3) 3 注意各个概率和等于 1. C100 所以随机变量X的分布列是

X
P

0
0 3 C5 ? C 95 3 C100

1
1 2 C5 ? C 95 3 C100

2
2 1 C5 ? C 95 3 C100

3
3 0 C5 ? C 95 3 C100

(2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.14400;
0 3 C5 ? C 95 或P(X≥1)=1-P(X=0)=1≈0.14400; 3 C100

4.超几何分布.
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任 取n件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的 概率为 C k ? C n?k

C 其中m ? min{ M , n}, 且n ? N , M ? N , n, M , N ? N *
称分布列

P( X ? k ) ?

M

N ?M

n N

, k ? 0,1, 2,

,m

X
P

0

1



0 n?0 1 n ?1 CM ? CN C ? C ?M M N ?M n n CN CN

...

m m n?m CM ? CN ?M n CN

为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几 何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.

例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 解:设摸出红球的个数为X,则X的所有可能值为0、 1、2、3、4、5,且X服从超几何分布. 一次从中摸出5个球,摸到k(k=0,1,2,3,4,5) 个红球的概率为 k 5? k
于是中奖的概率 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
3 10 2 20 4 10 1 20 5 10 0 20

C10 ? C20 P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2, 3,4,5 5 C30

C ?C C ?C C ?C ? ? ? ? 0.191. 5 5 5 C30 C30 C30

例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 思考?如果要将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右,那么应该如何设计中奖规则?
分析:这是一个开放性问题,它要求根据中奖 概率设计中奖规则,所以问题的答案不唯一.比如用 摸球的方法设计游戏,应包括每种颜色的球各是多 少,从中取几个球,摸到几个红球才中奖等.也就是 说M,N,n,{X=k}中的k都需要自已给出. 因此,我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过 调整k达到目的.

例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 思考?如果要将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右,那么应该如何设计中奖规则? 我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k 达到目的.
∵从中摸5个球,至少摸到2个红球的概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X≥3)
2 3 C10 ? C20 ? ? 0.191 ? 0.551 ? 55.1%. 5 C30

∵游戏规则定为至少摸到2个红球就中奖,中奖的概 率大约为55.1%.

练习:课本P56页练习T3.

课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列及其性质; X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.两点分布(或0-1分布或伯努利分布); X 0 1 P 1-p p 3.超几何分布:

X
P

0

1



0 n?0 1 n ?1 CM ? CN C ? C ?M M N ?M n n CN CN

...

m m n?m CM ? CN ?M n CN

作业:
课本P57页A组T6,B组T1,T2.
教研室编P25-26页随机变量及其分布(3)

教学反思:
1.两点分布又叫0-1分布,学生容易搞错.注意 举例说明; 2.超几何分布较难理解,为什么m=min{M,n}要 举例让学生弄清楚,不能一笔带过; 3.超几何分布的公式不易记忆,要让学生理解, 会根据具体数字灵活写出; 4.判断是否符合超几何分布是个难点,要多举 例.


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