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2017_2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案北师大版选修2_1

2017_2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案北师大版选修2_1

3.1 学习目标 双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方 程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 知识点一 双曲线的定义 思考 如图,若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线 上的点应满足怎样的几何条件? 梳理 (1)平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的______等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的 轨迹叫作双曲线.__________叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的______. (2)关于“小于|F1F2|”:①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点 轨迹是以 F1,F2 为端点的______(包括端点);②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其 余条件不变,则动点轨迹不存在. (3)若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的______. (4)若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是__________________. 知识点二 双曲线的标准方程 思考 1 双曲线的标准方程的推导过程是什么? 思考 2 双曲线中 a,b,c 的关系如何?与椭圆中 a,b,c 的关系有何不同? 1 梳理 (1)两种形式的标准方程 焦点所在的坐标轴 标准方程 x轴 y轴 图形 焦点坐标 a,b,c 的关系式 (2)焦点 F1,F2 的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正 项走”,若 x 项的系数为正,则焦点在______上;若 y 项的系数为正,那么焦点在______ 上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为 Ax +By =1(AB<0). (4)标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里 的 b =____________与椭圆中的 b =________相区别. 2 2 2 2 2 2 类型一 双曲线的定义及应用 命题角度 1 双曲线中焦点三角形面积问题 例 1 已知双曲线 - =1 的左, 右焦点分别是 F1, F2, 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=60°, 9 16 求△F1PF2 的面积. x2 y2 引申探究 本例中若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2 的面积. 2 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一: ①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a; ②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|?|PF2|的值; 1 ④利用公式 S△PF1F2 = ?|PF1|?|PF2|sin∠F1PF2 求得面积. 2 (2)方法二: 1 利用公式 S△PF1F2 = ?|F1F2|?|yP|(yP 为 P 点的纵坐标)求得面积. 2 特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2|| =2a 的变形使用,特别是与|PF1| +|PF2| ,|PF1|?|PF2|间的关系. 2 2 x2 y2 跟踪训练 1 如图所示,已知 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1 的左,右焦点,点 M 为双曲线上 a b 一点,并且∠F1MF2=θ ,求△MF1F2 的面积. 命题角度 2 利用双曲线定义求其标准方程 例 2 (1)已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线 的是( ) B.|PF1|-|PF2|=±4 D.|PF1| -|PF2| =±4 2 2 2 2 2 2 A.|PF1|-|PF2|=±3 C.|PF1|-|PF2|=±5 (2)已知圆 C1:(x+3) +y =1 和圆 C2:(x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为________________. 反思与感悟 双曲线定义的两种应用 (1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时, 一定要注意双曲线定义中的各个条件, 不要一看到动 点到两个定点的距离之差的绝对值是常数,就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于 两个已知定点之间的距离且大于零,否则就不是双曲线. (2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程, 可以使运算量大大减小, 同时提高解题速度和 3 质量. 其基本步骤为 ①寻求动点 M 与定点 F1,F2 之间的关系; ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|-|MF2||=2a(常数,a>0). ③判断:若 2a<2c=|F1F2|,满足定义,则动点 M 的轨迹就是双曲线,且 2c=|F1F2|,b =c -a ,进而求出相应 a,b,c. ④根据 F1,F2 所在的坐标轴写出双曲线的标准方程. 跟踪训练 2 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点 F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|= 2的点 P 的轨迹为双曲线; ②已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),则满足||PF1|-|PF2||=4 的点 P 的轨迹为两条射线; ③到定点 F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于 7 的点 P 的轨迹为双曲线; ④若点 P 到定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点 M(1,2)到点 N(-3,-1)的 距离,则点 P 的轨迹为双曲线. 类型二 待定系数法求双曲线的标准方程 2 2 2 ?9 ? 例 3 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3,-4 2)和? ,5?,求双曲线的标 ?4 ? 准方程; (2)求与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3

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