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2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.3待定系数法讲理

2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.3待定系数法讲理

方法三 待定系数法 一、待定系数法: 待定系数法是根据已知条件,建立起给定的算式和所求的结果之间 的恒等式, 得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组, 解方程或方程组得到待定的系 数的一种数学方法. 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把 具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一 个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达 式,如果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、 求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待 定系数法求解. 二、待定系数法解题的基本步骤: 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决. 本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上, 从以下四个方面总结高考中的 待定系数法. 1.用待定系数法求曲线方程 确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等,当已知曲线类型及曲线的 几何性质时,往往利用待定系数法,通过设出方程形式,布列方程(组) ,使问题得到解决. 例 1.【2018 届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆 于原点,且过点 【答案】 【解析】 设圆 ∵ ∴其圆心为 的标准方程为 可化简为 ,半径为 ,且圆 过点 , 其圆心为 , 半径为 ,则圆 与圆 相切 的标准方程为__________. ∵两圆相切于原点 ∴ 解得 ∴圆 的标准方程为 故答案为 例 2.【2018 届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷(一) 】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ,且点 到椭圆 上任意一点的最 大距离为 3,椭圆 (1)求椭圆 的离心率为 . 的标准方程; 的直线 与以线段 为直径的圆相交于 、 两点,与椭圆相交 (2)是否存在斜率为 于 、 ,且 ?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由. 【答案】 (1) ; (2) . 解析: (1)设 , 的坐标分别为 , , 根据椭圆的几何性质可得 , 解得 , ,则 ,故椭圆 的方程为 ,则由(1)知 ,圆心 . , 的坐标分别 到直线 的距 (2)假设存在斜率为 为 , 的直线 ,那么可设为 为直径的圆为 ,可得以线段 离 ,得 , , 联立 则 得 ,设 , , , 得 , , , 解得 ,得 .即存在符合条件的直线 . 2.用待定系数法求函数解析式 利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式,在教材中有系统的介绍,通过练 习应学会“迁移” ,灵活应用于同类问题解答之中. 例 3. 【2018 届湖南省长沙市长郡中学高三】 已知函数 的 图象过点 到函数 , 且点 的图象,则函数 是其对称中心, 将函数 的解析式为( ) 的图象向右平移 个单位得 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函数 f(x)过点( ,2) , (﹣ ,0)得: 解得: ∴f(x)=sin2x+ ∴g(x)=2sin2x, 故答案为:A. cos2x=2sin(2x+ ) , 例 4. 【2018 届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】 若幂函数 上为增函数,则实数 【答案】2 的值为_________. 在 例 5.设 (Ⅰ) (Ⅱ)若直线 求 的值. 是二次函数,方程 的表达式; 把 有两个相等的实根,且 . 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分, 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (1) 由已知设 的值,由 ; (II) . , 由 ,求出 的值,得出 , 求出 的表达式; (2) 有两个相等实根有 由题意有 试题解析: (1)设 由已知 又方程 ,即 ,得 , . ,解方程求出 ,则 的值。 . . 有两个相等的实数根, .故 ; (2)依题意,得 , , 整理,得 ,即 , . 例 6.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< 象时,列表并填入了部分数据,如表: )在某一个周期内的图 ω x+φ x Asin(ω x+φ ) 0 π 2π 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式. (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x) 图象的一个对称中心为 【答案】 (Ⅰ) ,求θ 的最小值. . (Ⅱ)当 时, 取得最小值 . 【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 0 . 数据补全如下表: 0 5 0 0 且函数表达式为 . 3.用待定系数法求数列通项式 等差数列、等比数列是高中阶段重点研究的两类数列,在高考题中,除设计直接考查等 差数列、等比数列的题目外,还常常命制通过转化而成为我们熟悉数列的问题,而利用待定 系数法往往可以实现这一转化.利用待定系数法求数列的解析式,首先把某些已知条件转化 成我们熟知的简单的数列的形式,比如等差数列、等比数列等,用字母表示,然后根据数列 的性质,解出未知数,即可得结果. 例 7.已知等差数列 和为( ) 的前 项和为 , , ,则数列 的前 100 项 A. 【答案】C 【解析】 B. C. D. 由题意,得 ,解得 ,所以 ,所以 ?+ = 故选 C. , 例 8.在等比数列 (1)求数列 中, 的通项公式; . (2)设 ,且 为递增数列,若 ,求证: . 【答案】 (1) 【解析】 ; (2)证明见解析. (1)∵ , ∴

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