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上海市黄浦区2013 学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文科)及答案评分标准

上海市黄浦区2013 学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文科)及答案评分标准


黄浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷(文科)

2014.1.9

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写 上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 函数

f ?x ? ?

log 2 ? x ? 1? 的定义域是 x?2



2 .己知全集 U

x?2 ? ? R ,集合 A ? ?x | x ? 1 ? 2, x ? R?, B ? ? ? 0, x ? R ? ,则 ?x | ? x ?
?1

?C A? ? B ? 3. 已知幂函数 f ? x ? 存在反函数, 且反函数 f ? x ? 过点 (2, 4) , 则 f ? x ? 的解析式是
U

.

4.方程

7?3 ? 2 的解是 9x ? 2
x

.
6

5.己知数列

?a ?是公差为 2 的等差数列,若 a
n

是 a7 和 a8 的等比中项,则 a n =________.

6 .已知向量 a 是 .

? ?cos? , sin ? ? , b ? ?1,?2? , 若 a‖b ,则代数式

2 sin ? ? cos? sin ? ? cos?

的值

? sin x 0 ? 1 7. 三阶行列式 6 cos x 2 sin x ? x ? R ? 中元素 4 的代数余子式的值记为 f ? x ? ,则函数 ?5 4 0 f ? x ? 的最小值为
8. 各 项 都 为 正 数 的 无 穷 等 比 数 列

?a ? , 满 足 a
n

2

? m, a4 ? t , 且 ? ?

? 3 ? 1 22 ? 的线性方程组 ? a11 x ? a12 y ? c1 的解,则无穷等比数列 ?a ? 各项和的数值是 ? n ? ?0 1 2 ? ? ? ? ?a21 x ? a22 y ? c2
_ ______. 9.

x?m 是增广矩阵 y ? t ?

1 ? ?3 ? x? ? x? ?

15

的二项展开式的常数项的值是__________.

10.把 4 个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子里 .则恰好有一个盒子 空的概率是 (结果用最简分数表示)

11. 将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图是一个圆和扇形,己知该扇形的半 径为 24cm,圆心角为

4? 3

,则圆锥的体积是________ cm .
3

12.从某项有 400 人参加的群众性运动的达标测试中,随机地抽取 50 人的成绩统计成如下表,则 400 人的成绩 的标准差的点估计值是 .
第 1 页 共 9 页

分数 人数 13、设向量 ?

5 5

4 15

3 20

2 5

1 5

[来源:Zxxk.Com]

? ?a, b ?, ? ? ?m, n ? ,其中 a, b, m, n ? R ,由不等式 ? ? ? ? ? ? ?

恒成立,

可以证明(柯西)不等式

?am ? bn?
?

2

? ?a 2 ? b 2 ??m2 ? n 2 ?(当且仅当?‖? ,即 an ? bm
? x 3 x 恒成立,利用可西不等式可求得实数 k ? x? y x? y
n

时等号成立),己知 x, y ? R ,若 k

的取值范围是 14.己知数列 ?an ?满足 a1

? ?42 , an?1 ? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?an ?的前 2013 项

的和 s2013的值是___________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 己知实数 a, b 满足 ab
[来源:学科网]

? 0 ,则“ 1 ? 1 成立”是“ a ? b 成立”的(
a b
( B) 必要非充分条件.

).

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

16、己知空间两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题:

( D) 既非充分又非必要条件.

‖n, m ? ? , ? n ? ?; ①m


② ?‖? , m ? ? , n ? ? ? ?

? m‖ n ;
? ?。

? , ? n‖ ?; m‖n, m‖
).

‖n, m ? ? , ? n ④ ?‖? , m
( D) ①③④

其中正确命题的序号是(

( A) ①④

( B) ②③
1
x

(C ) ①②④

17. 某程序框图如图所示,现在输入下列四个函数,则可以输出函数是( ).

( A) f ?x ? ?

2 ?1 1? x ? 2x ( B) f ?x ? ? lg 1? x x 1 ? x (C ) f ?x ? ? x 2 ?1 2

?

1 2

开始

输入函数 f ?x ?

( D) f ?x ? ? ?2 x ?

3 x

f ?x ? ? f ?? x ? ? 0



18、己知 z1 , z 2 , z3 ? C ,下列结论正确的是( ).
2 2 2 ( A) 若 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? z3 ? 0
2 2 2 ( B) 若 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? ? z3


f ?x ? ? 0 有实数根

否 是 输出函数 f ?x ?

2

2

2

(C ) 若 z1 ( D) 若 z1

2

2 2 ? z2 ? ? z3

,则 z1

2

2 2 ? z2 ? z3 ?0

? ? z1 ( z 为复数 z 的共轭复数),则 z1 纯虚数。
第 2 页 共 9 页

结束

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 .
[来源 :学 |科 |网 ]

已知三棱柱 ABC- A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2,A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面△ ABC 的中心,如图所示: (1)联结 BC1 ,若 BC1 ? 2 2 ,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小; (2)联结 A1C 、 A1 B ,求四棱锥 A1 — BCC1B1 的体积。
C

C1 A1
[来源:学科网 ZXXK]

B1

A

o

B

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分 . 已知函数 点?

f ?x ? ? 3 sin ?x ? cos ?x ? c ( ? ? 0, x ? R ,c 是实数常数)的图像上的一个最高

?? ? 2? ? ,1? ,与该最高点最近的一个最低点是 ? ,?3 ? , ? ?6 ? ? 3 ?

(1)求 函数 f ?x ? 的解析式及其单调增区间;

1 ( 2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 AB ? BC ? ? ac ,角 A 的取值范围是区间 M, 2
当 x ? M 时,试求函数 f ?x ? 的取值范围.

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 10 分 . 我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础 设施,据 调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数

f ?x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ?
足 g ?x ? ? 143 ? x ? 22 (元)。

8 (千人),且参观民俗文化村的游客人均消费 g ?x ? 近似地满 x

求该村的第 x 天的旅游收入 p?x ? (单位千元,1≤x≤30, x ? N )的函数关系;
?

若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成本,试问该村 在两年内能否收回全部投资成本?

第 3 页 共 9 页

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)满分 6 分,第(3)小题 满分 6 分. 已知函数 f ?x ? ?

ax 2 ? bx ? c (其中 a, b, c, d 是实数常数, x ? ?d ), x?d

(1)若 a ? 0 ,函数 f ?x ? 的图像关于点(—1,3)成中心对称,求 b, d 的值; (2)若函数

f ?x ? 满足条件(1),且对任意 x0 ? ?3,10? ,总有 f ?x0 ? ? ?3,10? ,求 c 的取值范围;

(3) 若 b=0 ,函数 f ?x ? 是奇函数, f ?1? ? 0 , f ? 2 ? ?

? ?

3 ,且对任意 x ? 1,?? ? 时,不等式 2

?

f ?mx ? ? mf ?x ? ? 0 恒成立,求负实数 m 的取值范围。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知数列 ? a n ? ,满足 a2 ? 6 , (1)求 a1 , a3 , a4 , a5 的值; (2)猜想数列 ? an ? 的通项公式 a n ,并用数学归纳法证明; (3)己知 lim n ? 0 ,设 bn ?
n ??

an ?1 ? an ? 1 1 ? ?n ? N ? ? , an ?1 ? an ? 1 n

n

an n?2
n

2

Sn . ?n ? N ? ,记 sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求 lim n ??
?

第 4 页 共 9 页

黄浦区 2013 学年度第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷(文科)
参考答案和评分标准(2014 年 1 月 9 日)
说明: 1.本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行 评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生 的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可 视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概 念性错误,就不给分. 一、填空题 1. (1,
);

8. 32 ; 9. 5005 ;

2. (0,1] ; 3. f ( x)
x (x 0)



10. 9 ; 16 11.

4. 2log3 2 ; 5. 2n 6. 5 ; 7. 6 ; 16、A

2048 5 ; 3

40 ; 3

12. 1.09 ; 13. k ? 10 ; 14.1015014. 17、B 18、C

二、选择题: 15、C 三、解答题

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. 解(1)依据题意,有 AA1 || CC1 , BC ? CC1 ? 2, BC1 ? 2 2 , ∴ 异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为 ?BC1C , ∴ BC 2 ? CC12 ? 4 ? 4 ? 8 ? BC12 ,即 CC1 ? BC , 四边形 BCC1 B1 为正方形, ∴异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为 1分

? . 4

6分

(2) 联结 AO ,并延长与 BC 交于点 D ,则 AD 是 BC 边上的中线. 点 O 是正 ?ABC 的中心, ∴ BC ? AD .
第 5 页 共 9 页

∵三棱柱的所有棱长都为2, ∴可求算得 AD ? 3, AO ?

2 2 3 2 6 . AD ? , A1O ? AA12 ? AO 2 ? 3 3 3

8分 10 分

∴ VABC ? A1B1C1 ? S?ABC ? AO ?2 2. 1 ∴ VA1 ? B1C1CB ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? ABC ?

4 2 . 3

12 分

20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. 解(1)∵ f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? c , ∴ f ( x) ? 2sin(? x ? ∵(

?
6

)?c.

2分

?
6

,1) 和 (

2? , ?3) 分别是函数图像上相邻的最高点和最低点, 3

? T 2? ? ?2 ? 3 ? 6 , ?T ? ? , ? 2? ? ? , ∴ ?? ? 解得 ?c ? ?1, T ? ?? ? 2. ? ? ? ? ?2sin( 6 ? ? ? 6 ) ? c ? 1. ?
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2k? ?

4分

?
6

) ?1.

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

6分

∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ? (2)∵在 ?ABC 中, AB ? BC ? ? ∴ ac cos(? ? B) ? ?

?

, k? ? ], k ? Z . 3 6

?

1 ? 8分 ac.0 ? B ? ? , B ? . 2 3 2? 2? ∴ A?C ? . 10 分 , 0 ? C ,即 0 ? A ? 3 3 2? ∴ M ? (0, ). 3 ? ? 3? ? 当 x ? M 时, ? 2 x ? ? ,考察正弦函数 y ? sin x 的图像,可知,?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 6 6 2 6
∴ ?3 ? f ( x) ? 1,即函数 f ( x) 的取值范围是 (?3,1] . 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 解(1)依据题意,有 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (8 ? ) ? (143? | x ? 22 |)(1 ? x ? 30, x ? N * )
第 6 页 共 9 页

1 ac , 2

12 分

8 x

4分

968 ? 8 x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? ? x =? 1320 ??8 x ? ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N * ) ? x ?
(2) 1 当 1 ? x ? 22 , x ? N * 时,
0

p ( x) ? 8 x ?

968 968 ? 976 ? 2 8 x ? ? 976 ? 1152 (当且仅当 x ? 11 时,等号成立) . x x
7分

因此, p( x)min ? p(11) ? 1152 (千元) .

1320 ? 1312 . x 1320 1320 考察函数 y ? ?8 x ? 的图像,可知 y ? ?8 x ? 在 (22,30] 单调递减, x x

20 当 22 ? x ? 30 , x ? N * 时, p( x) ? ?8 x ?

于是, p( x)min ? p(30) ? 1116 (千元) . 又 1152 ? 1116 , 所以,日最低收入为 1116 千元.

10 分

该村两年可收回的投资资金为 1116 ? 20% ? 5% ? 30 ?12 ? 2 =8035.2(千元)=803.52(万元) . 13 分 因 803.52 万元 ? 800 万元, 所以,该村两年内能收回全部投资资金. 14 分

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解(1)

an ?1 ? an ? 1 1 ? , n ? N* , an ?1 ? an ? 1 n

∴ (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? ?(n ? 1), n ? N * .

a2 ? 6 ,分别令 n ? 1, 2,3, 4 ,可得
a1 ? 1 ? 1? (2 ?1 ? 1), a3 ? 15 ? 3 ? (2 ? 3 ? 1), a4 ? 28 ? 4 ? (2 ? 4 ? 1), a5 ? 45 ? 5 ? (2 ? 5 ? 1).
(2)猜想数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n(2n ? 1), n ? N * .用数学归纳法证明如下: 证明 (i)当 n ? 1 时,由(1)知结论成立;当 n ? 2 时, an ? 2 ? (2 ? 2 ? 1) ? 6 ? a2 ,结论成立. 7 分 (ii)假设 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,结论成立,即 an ? k (2k ? 1) .
*



6分

8分

当 n ? k ? 1 时, (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)ak ? ?(k ? 1) ? (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)k (2k ? 1) ? (k ? 1)
第 7 页 共 9 页

? (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)(2k 2 ? k ? 1)

? (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 1)(2k ? 1) .
所以, ak ?1 ? (k ? 1)(2k ? 1) ? (k ? 1)(2(k ? 1) ? 1) ,即 n ? k ? 1 时,结论也成立. 根据(i)和(ii)可以断定,结论 an ? n(2n ? 1) 对一切正整数 n 都成立. (3)由(2)知, bn ?

10 分 11 分 12 分

n(2n ? 1) 2n ? 1 ? n , n ? N * . 于是, n n?2 2

Sn ?

2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2(n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? ? ? ? ? n 2 ? ? 2 2 2n ?1 2 ?? 1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2(n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 相减 Sn ? ? ? ? ? n ?1 2 22 23 2n 2 ? ?

14 分

1 1 2 2 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? ? n ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 Sn ? 3 ? n ?2 ? n . 2 2 1 2n ? 1 所以, lim Sn ? lim(3 ? n ?2 ? ) ? 3. n ?? n ?? 2 2n

16 分 18 分

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

a ? 0, bx ? c c ? bd . ? f ( x) ? ?b? x?d x?d k 类比函数 y ? 的图像,可知函数 f ( x) 的图像的对称中心是 (?d , b) . x
解(1) 又函数 f ( x) 的图像的对称中心是 (?1,3) ,

2分

?b ? 3, ?? ?d ? 1.
(2)由(1)知, f ( x) ? 3 ?

6分

c ?3 . x ?1

依据题意,对任意 x0 ? [3,10] ,恒有 f ( x0 ) ?[3,10] .

10 若 c ? 3 ,则 f ( x) ? 3 ,符合题意. 20 若 c ? 3 ,当 c ? 3 时,对任意 x ?[3,10] ,恒有 f ( x) ? 3 ?
所以 c ? 3 ,函数 f ( x) ? 3 ?

8分

c ?3 在 [3,10] 上是单调递减函数,且满足 f ( x) ? 3 . x ?1
第 8 页 共 9 页

c ?3 ? 3 ,不符合题意. x ?1

因此,当且仅当 f (3) ? 10 ,即 3 ? c ? 31 时符合题意.

12 分

综上,所求实数 c 的范围是 3 ? c ? 31 .

? ? f ( x) ? f (? x) ? 0, ? a ? 1, ? ? (3)依据题设,有 ? f (1) ? 0, 解得 ?c ? ?1, ? d ? 0. ? 3 ? ? f (?2) ? ? . ? 2
于是, f ( x) ? x ?

14 分

1 . x

? f (mx) ? mf ( x) ? 0, 1 m 1 ? ? 2mx ? ? ? 0 ? (2 x 2 ? 1)m2 ? 1 ,解得 m ? ? 由 ?m ? 0, .16 分 2 mx x 2 x ? 1 ? x ? 1. ?
因此, m ? (?

1 2 x2 ? 1 1

)min .

考察函数 y ? ?

2 x2 ?1

( x ? 1) ,可知该函数在 [1, ??) 是增函数,故 ymin ? y(1) ? ?1.
18 分

所以,所求负实数 m 的取值范围是 m ? ?1 .

第 9 页 共 9 页


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