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4-1复数项级数与幂级数-精品文档_图文

4-1复数项级数与幂级数-精品文档_图文

第一节 复数项级数与幂级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、幂级数 五、小结与思考

一、复数列的极限

1.定义 设 {?n}(n?1 ,2,? )为一,其 复中 数 ?n?an?in b,又设 ??a?ib为一确定, 的复
如果任?意 ?0,给 相定 应地都能数 找到

N (?)使 ,? n? ?? ?在 n ? N 时,成立
? ? 那称 末为 {n } 当 复 n ? ? 时 数的 ,列极

记作

ln? i? m ?n??.

此时也称 {?n}复 收数 敛 ?.列 于

2

2.复数列收敛的条件
复数 {?n}(n 列 ?1,2,? )收敛 ?的于 充要
l n ? ? ia n m ? a , l n ? ? ib n m ? b . 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似, 故省略.
3

课堂练习:

下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.

(1)

zn

?1?ni; 1?ni

收敛到-1

(2)zn?(?1)n?n? i1;

不收敛

(3)

zn

?

1e?n2?i n

.

收敛到0

4

二、级数的概念

1.定义 设 {?n}?{an?ib n}(n?1,2,? )为一,复

表达式

?
??n??1??2?? ??n??
n?1

称为复数项无穷级数.

部分和 其最前面 n 项的和
?? ? s n ?1 ?2? ? ?n称为级数的部分和.

5

收敛与发散
?
? 如果部分和 {sn}数 收列 敛 , 那末级?数 n收敛 ,
n?1
并且极 ln? i? m sn限 ?s称为级.数的和
如果部分{s和 n}不 数收 列 , 敛
?
那末级 ??数 n发散 .
n?1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 利用ln? 极 i? m sn? 限 s.
6

?
例如 , 级数 ?zn:
n?0
s n ? 1 ? z? z 2? ? ? z n -1?11??zzn

(z?1),

由于 z?当 1时 , ln? i? msn

?lim1?zn n??1?z

?

1

1 ?

z

,

所以z当 ?1时级数. 收敛

7

2.复数项级数收敛的条件

?

?

定理二 级数 ??n??(an?ibn)收敛的充要

n?1

n?1

?

?

?an和?bn都收. 敛

n?1

n?1

?? ? 证 因为 s n ?1 ?2? ? ?n

? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? i ( b 1 ? b 2 ? ? ? b n )

??n?i?n,

8

根据{sn}极限存在的充要 : 条件

{?n}和{?n}的极限 , 存在

?

?

于级 是? 数 an和 ?bn都收 . 敛

n?1

n?1

说明 复数项级数的审敛问题

? (定理二)
实数项级数的审敛问题

9

? 课堂练习

?
级数

1(1?i

)是否收敛?

n?1n n

? ? 解

?
因为an
n?1

? ? 1发散 ; n?1n

? ? ? bn
n?1

?n? ?1n12

收敛 .

所以原级数发散.

10

必要条件

?

?

因为实数 ?a 项 n和 ? 级 bn收 数敛的必要条

n?1

n?1

l n ? ? ia n m ? 0和 l n ? ? ib n m ? 0 .
?
所以复数? 项 ?n级 收数 敛的必要条件是
n?1
ln? im ??n ?0
?
? 重要结论: ln? i? m ?n?0?级n 数 ?1?n发.散

11

?
? 例如 ,级数 ein:
n?1
? 因 ln ? i? 为 m n?ln ? i? e m in ?0 ,

不满足必要条件,

所以原级数发散.

启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 ln? im ??n ??0

如果

? ? ?

lim
n??

?

n

?

0,

?? ln? im ??n ?0,

级数发散; 应进一步判断.

12

3. 绝对收敛与条件收敛

定理三

?

?

如? 果 ?n收,那 敛? 末 ?n也收 . 敛

n?1

n?1

?

?

且不? 等 ?n? 式 ??n成.立

n?1

n?1

注意

?
??n 的各项都是非负的, 实数
n?1
应用正项级数的审敛法则判定.

13

?

?

? ? 证

由于 ?n ? an2?bn2,

n?1

n?1

而 a n ? a n 2 ? b n 2 , b n ? a n 2 ? b n 2 ,

根据实数项级数的比较准则, 知

?

?

?an及?bn都收, 敛

n?1

n?1

?

?

故?an及?bn也都收 . 敛

n?1

n?1

14

?
由定理二可得 ??n 是收敛. 的
n?1

n

n

又由??k ???k,

k?1

k?1

n

n

? ? ? ? 可知 ln? i? m k?1 k?ln? i? m k?1 k



?

?

??k ???k.

k?1

k?1

[证毕]

15

定义

?

?

如果 ? ? n 收敛, 那末称级数 ? ? n 为绝对收敛.

n?1

n?1

非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.

说明 由a n 2? b n 2?a n?b n,

n

n

n

? ? ? 知 ak 2?bk 2? ak? bk,

k? 1

k? 1

k? 1

16

所以

?

?

?an与?bn绝对收敛, 时

n?1

n?1

?
??n也绝对收敛 .
n?1

综上:

?

?

?

??n绝对? 收 ?an 敛 与 ?bn绝对. 收敛

n?1

n?1 n?1

17

三、典型例题

? 例1

?
级数

1?i2n?1

是否收敛?

n?1 n

解 级数满足必要条件, 即lim1?i2n?1 ?0,

n?? n

? ? 但 ?1?i2n?1??1?(?1)ni

n?1 n

n?1 n

? ? ?(1?1?1? ? )?i(1?1?1? ? )? ? 1 ?i ? (?1)n 1

23

23

n?1 n

n?1

n

? ? 因为 级数? 1发散 , 虽? (?1)n1收敛 ,

n?1n

n?1

n

原级数仍发散.

18

? 例2

?
级数

(8i)n

是否绝对收敛?

n?1 n!



因为

(8i)n 8n ?,

n! n!

所以由正项级数的比值判别法知:
?? 8n 收敛,
n?1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.

19

例3

? 级数?[(?1)n
n?1 n

?21ni]是否绝对收敛?

? ? 解

因为? (?1)n收敛 ; n?1 n

? n?1

1 2n

也收敛,

故原级数收敛.

? ?


(?1)n为条收 件敛 ,

n?1 n

所以原级数非绝对收敛.

20

四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
?
? fn (z)?f1 (z)?f2(z)? ? ?fn (z)? ? (1 )
n ? 1
称为复变函数项级数. 最前面n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
? 称为这级数的部分和.
21

如果对于D内的某一点z0, 极限
ln? i? m sn(z0)?s(z0)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...

?

? s(z)称为级数

f n ( z ) 的和函数.

n ?1

22

当fn(z)=cn?1(z?a)n?1或fn(z)=cn?1zn?1时, 就得到函数项级 数的特殊情形:
?
?cn(z?a)n ?c0 ?c1(z?a)?c2(z?a)2 ?
n?0

???cn(z?a)n ?? (2)

?

? 或 cnzn ?c0 ?c1z?c2z2 ???cnzn ??(3)

n?0

这种级数称为幂级数.

?

? ? 如果令z?a=z, 则(4.2.2)成为

c nz n , 这是

n?0

? (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论

23

定理一(阿贝尔Abel定理)
?
? 如果级数cnzn在z?z0(?0)收敛 ,则对满足 n?0
| z|?| z0 |的z,级数必绝对,如 收果 敛z在?z1 级数发,则 散对满| z足|?| z1|的z,级数必发 . 散
y
z0

O

x

24

?
? [证] 因n?0cnz0n收敛 ,则ln? im ?cnz0n?0,

则存M在 使对所n有 有|c的 nz0n|?M.

如果|

z

|?|

z0

|,则 | z | z0

| |

?

q

?

1,而

n

|

cnzn
?

|?|

cnz0n

|

?

z z0

? Mqn,

由 于 ?Mqn为 公 比1小 的于 等 比,级 故数 收;敛

n?0

?

?

? ? 因 此|cnzn|亦 收,从 敛而 级 数 cnzn是 绝 对 收.

n?0

n?0

25

?

? 如果级数

c

n

z

n 0

发散

,

且如果

| z |?| z0

|

n?0

?
? 用反证法 , 设级数 cn z n反而收敛 , 则根据 n?0

?

? 前面的结论可导出

c

n

z

n收敛
0

,

与所设

n?0

?
? 矛盾 . 因此只能是 cn z n发散 n?0

26

2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出 幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛 情况不外乎三种:
i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔 定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.
ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级 数在复平面内除原点外处处发散.
iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数 发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b(正实数)时, 级数发散.
27

蓝色:已知收 敛部分,
往外 扩张

绿色圆外是发 散部分

往里压缩

最终,

|z|?R内幂级,|数 z|?R 收 内敛 幂级,数

| z |? R内幂级数的收敛圆域,


| z |? R内幂级数的收敛圆

| z?z0 |?R

28

例4 求幂级数
?
?zn?1?z?z2?? ?zn??
n?0
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为

sn?1?z?z2?? ?zn?1 1 ? ? zzn,(z?1 ),

当|z|?1时,由

于 lim zn?0,从
n??

而ln? i? 有 m sn?1?1z,

? 即|z|?1时

?
级 数 zn收

,敛 和



数 1 ;为

n?1

1?z

29

sn?1?z?z2?? ?zn?1 1 ? ? zzn,(z?1 ),
当| z|?1时,由于 n??时zn不趋于,级 零数发. 散 收敛范围 | z|为 ?1,在此范围内绝,对 并收 有敛
1 ?1?z?z2 ???zn ??,| z|?1. 1?z
30

3.收敛半径的求法

定理二(比值法) 如果

lim cn?1 n?? cn

? ? ? 0,

则收敛半径 R ? 1 . ?

定理三(根值法)

如果

lim
n??

n

|

cn

|

?

?

?

0

,则收敛半径

R

?

1
?

.

中心在 z0 的幂级数也是如此求半径,只是收敛圆域的写

法不同而已.

| z?z0 |?R

31

? 例2:求n? ?1(3n?2i)n(z?1?2i)n的 收 敛 半 径 以域及

? 解:

?ln? i?m |ccnn ?1|?ln? i?m |(n n ? 2(13 )2 ? (3 i)? n? i1)n|

?|31 ?i|ln? im ?(nn ?21)2

?1 |3?i|

?

1, 10

故收敛半径 R? 1 ? 10,
?
收敛圆|域 z?1? 为 2i|? 10

32

4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变 幂级数也能进行有理运算. 设

?

?

? ? f(z)? a nzn,R ?r1,g (z)? b nzn,R ?r2

n ? 0

n ? 0

? 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减,
相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)
的和,差与积.

33

?

?

? ? f ( z ) ? g ( z ) ? a n z n ? b n z n

n?0

n?0

?
? ? ( a n ? b n ) z n , n?0

| z |? R ,

? ? f ( z ) g ( z ) ? ?? ? a n z n ?? ?? ? b n z n ??

? n?0

?? n?0

?

?
? ? ( a n b 0 ? a n ?1b1 ? ? ? a 0 b n ) z n n?0

| z |? R . R ? min( r1 , r2 )

34

更为重要的是代换(复合)运算
?
? 如果当 | z|?r时, f (z)? anzn,又设在 | z|?R n?0
内g(z)解析且满| g足 (z)|?r,则当| z|?R时,
?
? f[g(z)]? an[g(z)]n. n?0
? 这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着 广泛的应用.
35

?
定理四 ? 设幂级数 n?0 cn (z ? a)n 的收敛半径为 R, 则

?

1)它的和函数

f

(z) ?

? cn (z ? a)n
n?0

是收敛圆域|z?a|<R

内的解析函数.

2)f(z)在收敛圆域内的导数可将其幂函数逐项求导

得到, 即

?
? f ?(z) ? ncn (z ? a)n?1 n?1

36

3) f(z)在收敛圆域内可以逐项积分, 即

?
? f (z)dz ??cn?(z?a)n dz, C?| z?a|?R

C

n?0 C



? ? z a

f

(z)dz

?
?
n?0

nc?n1(z ?a)n?1

37

五、小结与思考
通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质.
38

思考题

?

?

如果复? 数 ?n和 ? 项 ?n均 级 发 ,问 数 : 散

n?1

n?1

?

级数 ?(?n??n)也发散 ? 吗

n?1

39

思考题答案
否.

放映结束,按Esc退出.

40

作业: 习题四100页: 3(1)(3) 题目改为求收敛半径并写出收敛圆域
新书 作业: 习题四88页: 2(4) 3(1)(3) 题目改为求收敛半径并写出收敛圆域
41

谢谢!


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