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2019届【北师大版】选修2-2数学:5.2《复数的四则运算》课件_图文

2019届【北师大版】选修2-2数学:5.2《复数的四则运算》课件_图文

精 品 数 学 课 件 2019 届 北 师 大 版 成才之路 ·数学 北师大版 ·选修2-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第五章 数系的扩充与复数的引入 第五章 §2 复数的四则运算 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 4 课 时 作 业 课前自主预习 1.理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形 式的四则运算. 2.掌握共轭复数的概念. 本节重点:复数的加、减法运算,乘除运算及理解共轭复 数的概念. 本节难点:共轭复数的求解及特殊复数的灵活应用. 复数的加法与减法 设 z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数, 定义复数的加法、 两个复数相加(减) a±c)+(b±d)i 即________________ 减法为:(a+bi)± (c+di)=( _____________. 就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加 (减). ______________________________________________ 容易验证,复数的加法满足交换律、结合律,即对任意 z1, z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 复数的乘法 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,定义复数的乘法 为:(a+bi)(c+di)=( __________________. ac-bd)+(ad+bc)i 两个复数的乘积仍然是一个确定的复数.两个复数相乘, 类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并 且把实部和虚部分别合并即可. 共轭复数 实部相等,虚部互为相反数时 一般地,当两个复数的 __________________________,这 两个复数叫作互为共轭复数.若 z=a+bi,则它的共轭复数记 - bi 作 za = _______. 实数的共轭复数仍为它________ z =_______. 本身. z· a2+b2 复数的除法 复数的除法是复数乘法的逆运算,即把满足 (c+di)(x+yi) =a+bi(c+di≠0)的复数 x+yi(x,y∈R)叫作复数 a+bi 除以 c a+bi +di 所得的商,记作(a+bi)÷ (c+di)或 . c+di ac+bd bc-ad 2 2+ 2 2i ?a+bi? ac+bd bc-ad c + d c + d = ____________________ 2 + 2 i(c + ?c+di? c +d2 c +d2 di≠0). 由此可见,两个复数相除(除数不为 0),所得的商是一个确 定的复数. 在进行复数除法运算时,通常先把 (a + bi)÷ (c + di) 写成 a+bi 的形式,再把分子、分母同乘以分母的共轭复数 c-di, c+di 从而使分母实数化,化简得结果. 复数的运算律 在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成 立. zm+n , 即对任意复数 z,z1,z2 和正整数 m,n,有 zm· zn=______ n n mn n z z2. z 1· (z ) =______,(z1z2) =______ m n 1. 学习复数的加 ( 减 ) 法,只需把握复数的实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减)即可.对于加(减)法的几何意义,应明确 它们符合向量加(减)法的平行四边形法则.另外,还可以按三 角形法则进行,这样类比记忆就把复杂问题简单化了. 2 .对于复数的代数形式乘除法法则,不必死记硬背,乘 法可按多项式乘法类似的办法进行,除法只需记住两个复数相 除,就是先把它们的商写成分数的形式,然后把分子、分母都 乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可. 3.复数加法、减法的几个注意点 (1)复数加法、减法类似于多项式的加法、减法的合并同类 项. (2)两复数的和(差)是一个确定的复数. (3)实数的运算性质,在复数集中仍然成立. 4. 复数的乘法满足交换律、 结合律以及乘法对加法的分配 律, 即对任意的 z1, z2, z3∈C, 有 z1· z2=z2· z1, (z1· z2)· z3=z1· (z2· z3), z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 5.根据共轭复数的定义,若 z1,z2 是共轭复数,则它们在 复平面内所对应的点 Z1,Z2 关于实轴对称. 若 z=a+bi, 则 z =a-bi, z· z =(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2. 6.复数的加、减、乘、除混合运算与实数的运算一样满足 实数的运算律和运算法则. 7.z· z =|z|2=| z |2 是复数运算与实数运算互相转化的重要 依据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据. (1) 复数问题向实数问题转化的思想和综合运用各种数学 知识是解答复数问题的关键. (2)利用整体代入、整体构造、整体变换等整体思想进行求 解,往往能获得简捷、明快、别具一格的解法,在解复数问题 时,更显突出. (3)牢记共轭复数的定义,熟悉共轭复数的相关性质. 8.常用知识 (1)常用小结论 ①虚数 i 的乘方及其规律:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n +3 =-i(n∈N*),即 in 具有周期性且最小正周期为 4; ②in+in+1+in+2+in+3=0; ③(1± i)2=± 2i; 1+i ④ =i; 1-i 1-i ⑤ =-i. 1+i -1+ 3i n 3n 3n + 1 ⑥设 ω = ,则 ω 的规律为: ω = 1 , ω = 2 -1+ 3i 3n+2 n , ω = ω ,且 ω 也是具有周期性且最小正周期为 2 3. (2)复数的运算性质 ①设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi(a,b∈R),有以下 性质 (ⅰ)z+ z =2a,z- z =2bi; (ⅱ)|z|2=| z |2=z· z =a2+b2; (ⅲ)z∈R

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