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2019版高考数学创新一轮复习江苏专用课件:第七章第42讲基本不等式及其应用(1)_图文

2019版高考数学创新一轮复习江苏专用课件:第七章第42讲基本不等式及其应用(1)_图文

第42讲 考试要求 问题. 基本不等式及其应用 1.基本不等式的证明过程(A级要求);2.利用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式,然后研究最值 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) a+b (1)当 a≥0,b≥0 时, 2 ≥ ab.( 2 2 ) ) a+b (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同的.( 1 (3)函数 y=x+x 的最小值是 2.( ) 4 (4)函数 f(x)=sin x+ 的最小值为 2.( sin x x y (5)x>0 且 y>0 是y+x≥2 的充要条件.( ) ) 解析 (2)不等式 a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R; a+b 不等式 ≥ ab成立的条件是 a≥0,b≥0. 2 1 (3)函数 y=x+x 值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值. 4 (4)函数 f(x)=sin x+ 的最小值为-5. sin x x y (5)x>0 且 y>0 是y+x≥2 的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2.(教材改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为________. 解析 即 x+y ∵x>0,y>0,∴ 2 ≥ xy, ?x+y? ?2 xy≤? ? 2 ? =81, ? ? 当且仅当x=y=9时,(xy)max=81. 答案 81 3.(教材改编)若 0<x<1,则 x(3-2x)的取值范围是________. 解析 由 0<x<1 知 3-2x>0, 1 1 2x+(3-2x) 3 2 故 x(3-2x)= · 2x(3-2x)≤ · = , 2 4 2 2 3 当且仅当 x=4时,上式等号成立. 3 2 ∴0< x(3-2x)≤ 4 . 答案 ? 3 2? ?0, ? 4 ? ? 1 1 4.(必修 5P106 习题 16 改编)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,那么 x + y 的最小值为 ____________. 解析 因为x>0,y>0,x+2y=1, 1 1 ?1 1? 2y x 所以x + y =?x +y ?(x+2y)=1+2+ x +y≥3+2 ? ? 时取得最小值 3+2 2. 2y x 2 2 · = 3 + 2 2 ,当且仅当 x = 2 y x y 答案 3+2 2 1 5.(教材改编)①若 x∈(0, π), 则 sin x+sin x≥2; ②若 a, b∈(0, +∞), 则 lg a+lg b≥2 lga· lgb; ③若 ? 4? x∈R,则?x+x?≥4.其中正确结论的序号是________. ? ? 解析 ①因为x∈(0,π),所以sin x∈(0,1], 所以①成立; ②只有在lg a>0,lg b>0, 即a>1,b>1时才成立; ? ?4? 4? ③?x+x ?=|x|+?x ?≥2 ? ? ? ? ?4? ? ?=4,当且仅当 |x|· ?x? x=± 2 时“=”成立. 答案 ①③ 知识梳理 a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当_______ (3)适用于求含两个代数式的最值. 2.几个重要的不等式 2ab (a,b∈R). (1)a2+b2≥_____ b a 2 (a,b 同号). (2)a+b≥_____ ?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? ,(a,b∈R). ? ? ? a2 + b 2 ? ?a+b?2 (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ? (以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为 a=b. 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 2 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙 述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数, 当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 x=y 时,x+y 有最___ 小 值 2 p(简记:积定和 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当______ 最小). p2 x=y 时,xy 有最___ 大 值 (简记:和定积最 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当______ 4 大). 考点一 利用基本不等式求最值(多维探究) 命题角度1 配凑法求最值 【例1-1】 (1)已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为________. 5 1 (2)已知 x<4,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为________. 4x-5 x2+2 (3)函数 y= (x>1)的最小值为________. x-1 ? 1 1? ?3x+(4-3x)?2 4 解析 (1)x(4-3x)= · (3x)(4-3x)≤ · ? =3, 3 3? 2 ? ? 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,取等号. 3 5 (2)因为 x< ,所以 5-4x>0, 4 1 1 则 f(x)=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 1 故 f(x)=4x-2+ 的最大值为 1. 4x-5 x2+2 (x2-2x+1)+(2x-2)+3 (3)由于 x>1,故 y= = x-1 x-1 (x-1)2+2(x-1)+3 3 = =(x-1)+ +2≥2 3+2. x-1 x-1 3 当且仅当 x-1= ,即 x= 3+1 时,等号成立. x-1 2 答案 (1)3 (2)1 (3)2 3+2 命题角度2 常数代换或消元法求最值 【例1-2】 (1)(2018· 盐城模拟)

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