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2016高中数学情境互动课型第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例课件新人教_图文

2016高中数学情境互动课型第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例课件新人教_图文

2.5

平面向量应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、

全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性
运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解

决平面几何中的一些问题,下面我们通过几个具
体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.

向量概念源于物理中的矢量,物理中的力、位 移、速度等都是向量,功是向量的数量积,从而使 得向量与物理学建立了有机的内在联系,物理中具 有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.

因此,在实际问题中,如何运用向量方法分析和解
决物理问题,又是一个值得探讨的课题.

日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一 个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F ,物体受到 的重力为 G. 你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的

大小与两绳之间的夹角θ 的关系?

1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、 垂直等问题. 2.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、 角度、垂直等问题.(重点、难点) 3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解 模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的 步骤. 4.掌握向量在物理中应用的基本题型,进一步加 深对所学向量的概念和向量运算的认识.(难点)

探究点1

(长度问题)

1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关 系?

提示:对角线长度的平方=两邻边的平方和.
平行四边形有类似的数量关系吗?

思考1:如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=2,
AD=1,BD=2,那么对角线AC的长是否确定? 提示:确定

D A
B

C

思考2:在平行四边形ABCD中,设向量 AB ? a,AD ? b 则向量 DB 等于什么?向量 AC 等于什么? 提示:
DB ? a ? b, AC ? a ? b.

思考3 利用 a ? 2, b ? 1, a - b ? 2, 如何求a ? b ? AC 等于多少?

提示:
由 a ? b ? 2, 得 a ? b =4
2 即(a ? b ) ? 4, 2 2 2

| AC |? a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ?
2 2 2

a ? 2a ? b ? b ? 4, a ? 2a ? b ? b ? 4, 1 所以a ? b ? . 2
2 2

a ? 2a ? b ? b ? 6.

2

【即时训练】
如图所示,平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1, AB=2,对角线 BD=2.求对角线 AC 的长. → a → b 【解析】设AD= ,AB= , → a b → a b 则BD= - ,AC= + . → 2 a2 b + b 2 = | a |2 - 2 a · b+ 而 | BD | = -2 a ·

b =4,所以 2 a · b =1. | b |2=5-2 a · → b + b 2=| a |2+ 又 |AC|2 = | a + b |2= a 2+ 2 a · b +| b |2=5+2 a · b =6, 2a · → 所以|AC|= 6,即 AC= 6.

例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型,如图, AC ? AB ? AD,DB ? AB ? AD, 你能发现平行

四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 吗?
D C

解:设 AB ? a, AD ? b, 则AC ? a ? b, DB ? a ? b.
A B

AC ? AC ? AC ? (a ? b) ? (a ? b) ? a ? a ? a ?b ? b ? a ? b ?b ? a ? 2a ? b ? b (1)
2 2

2

注意这种求 模的方法

同理 DB ? a ? 2a ? b ? b (2)
(1) ? (2) 得 AC ? DB ? 2( a ? b ) ? 2( AB ? AD ).
2 2 2 2 2 2

2

2

2

平行四边形两条对角线长的平方和等于两 条邻边长的平方和的两倍. 如果不用向量方法,你能证明上述结论吗?

【方法规律】
用向量方法解决平面几何问题的“三步法”: (1)建立平面几何与向量的联 系,用向量表示问题中涉及的几 何元素,将平面几何问题转化为 向量问题. (2)通过向量运算,研究几何 元素之间的关系,如距离、夹角 等问题. (3)把运算结果“翻译”成几 何元素.
几何问题向量化

向量运算关系化

向量关系几何化

【变式练习】
求证:直径所对的圆周角为直角.
→ → [证明] 设AO= a ,OB= b , → → → 则AB= a + b ,OC= a ,BC= a - b ,

| a |=| b |. → → 因为AB· BC=( a + b )· ( a - b )=| a |2-| b |2=0, → → 所以AB⊥BC.所以∠ABC=90° .

例2.如图,□ABCD中,点E,F分别是AD,DC边 的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能

发现AR,RT,TC之间的关系吗?
猜想:AR=RT=TC
E D R B F T C

A

解:设AB ? a, AD ? b, AR ? r, 则AC ? a ? b.

由于 AR 与 AC 共线,故设 r ? n(a ? b),n ? R,
1 因为 EB ? AB ? AE ? a ? b, 2 又因为 ER与EB 共线, 1 所以设 ER ? mEB ? m(a ? b). 2

, 因为 AR ? AE ? ER

1 1 因此n(a ? b ) ? b ? m (a ? b ), 2 2

1 1 所以 r ? b ? m(a ? b). 2 2

m ?1 即(n ? m)a ? (n ? )b ? 0. 2

因为向量a,b不共线,

? n ? m ? 0, ? 所以 ? m ?1 n? ? 0. ? ? 2 1 解得: n ? m= . 3 1 1 1 所以AR ? AC,同理TC ? AC, 于是RT ? AC. 3 3 3 故AR ? RT ? TC.

【方法规律】 利用待定系数法,结合向量共线定理和平 面向量基本定理,将问题转化为求m,n的值, 是处理线段长度关系的一种常用手段.

【变式练习】
如图所示,四边形 ABCD 是菱形,AC 和 BD 是它的 两条对角线,试用向量证明:AC⊥BD.

→ → → → → → 证明:∵AC=AB+AD,BD=AD-AB, → → → → → → → 2 →2 ∴AC· BD=(AB+AD)· (AD-AB)=|AD| -|AB| =0. → → ∴AC⊥BD.∴AC⊥BD.

探究点2

利用向量解决力(速度、位移) 的合成与分解

例1.两个人共提一个旅行包,或在单杠上做引体 向上运动,根据生活经验,两只手臂的夹角大小 与所耗力气的大小有什么关系? 提示:夹角越大越费力.

思考1:若两只手臂的拉力为 F1,, F2 物体的重力为 G,

那么 F1,, F2 G 三个力之间具有什么关系? 提示:

F1+F2+G ? 0.

思考2:假设两只手臂的拉力大小相等,夹角为θ , 那么| F1|,| G |,θ 之间的关系如何? 提示:

F
θ
F2

|G| |F1 |= , θ 2cos 2

F1

0? ? ? ? 180?

G

思考3:上述结论表明,若重力 G 一定,则拉力的 大小是关于夹角θ 的函数.在物理学背景下,这 个函数的定义域是什么?单调性如何?

|G| | F1 |? 提示: , ? 2 cos 2

0? ? ? ? 180?
增函数

思考4: | F |有最小值吗?| F1 |与| G |可能相等 1

吗?为什么?

F 1 最小,最小值为 提示: ? ? 0 时,

G 2

,

? ? 120 时, F1 ? G .

用向量解力学问题
对物体进行受力分析

画出受力分析图
转化为向量问题

【方法规律】 1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.
2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型.

3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论
参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的 物理现象.

【互动探究】
用两条成 120° 角的等长的绳子悬挂一个灯具, 如图所 示,已知灯具的重量为 10N,则每根绳子的拉力大小是

10N . ________

解析:因为绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力 所成的角都相等, 且等于 60° , 故每根绳子的拉力都是 10N. 故填 10N.

例2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,

一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度 v1 =10 km/h, 水流速度 v 2 =2 km/h,问行驶航程最短时,所用的 时间是多少(精确到0.1 min)?
C B

·

D

A

C

·

B

D
v1

v

A

v2

分析:如图,已知 v ? v1 ? v 2, v1 ? 10km / h, v 2 ? 2km / h, v ? v 2,求t.

解:由已知条件得v ? v2 ? 0.
| v |?
所以

| v1 |2 ? | v 2 |2 ?

96(km / h),

d 0.5 t? ? ? 60 ? 3.1(min). |v| 96

答:行驶航程最短时,所用时间是3.1 min.

【变式练习】
一艘船用 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶, 航船实际航行方向与水流方向成 30° 角, 求水流速度与 船的实际速度. → → 【解析】如图,OA表示水流速度,OB表示船向垂直 → 于对岸行驶的速度, OC 表示船实际速度,∠ AOC = → 30° ,|OB|=5km/h.

∵四边形 OACB 为矩形, → → | AC | | OB | → |OA|= = =5 3(km/h), tan30° tan30° → |OA| → |OC|= =10(km/h), cos30° ∴水流速度为 5 3km/h,船实际速度为 10km/h.

1.在四边形ABCD中AB ? BC=0,且AB=DC,则四边形 ABCD是( B ) A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.正方形

→ +CB → )· → -CB → )= 0 , 2.在△ABC 中,若(CA (CA 则△ABC 为( C ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.形状无法确定

→ +CB → )· → -CB → )=0, 【解析】 ∵(CA (CA → 2 - CB → 2 = 0 , CA → 2 = CB → 2 ,∴ CA= CB,△ ABC ∴ CA 为等腰三角形.

B

4.如图,已知甲、乙两人同时从 O 出发,甲行走 10 km 到达 B 处,乙出发的方向与甲的方向的夹角 为 60° ,乙走了 14 km 后到 A 处,求此时甲、乙两 人之间的距离.

→2 → → 2 →2 →2 → → 解析: AB =(OB-OA) =OB +OA -2OA· OB, → → 又∵|OB|=10,|OA|=14, → ∴AB2=100+196-2×14×10×cos60° =156, → ∴|AB|=2 39. ∴此时甲、乙两人之间的距离为 2 39km.

5.已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-6,点 R 是直线 l → =2AP → ,求点 P 的轨迹方程. 上的一点,若RA
【解题关键】代入法求轨迹方程
设出P(x,y)和R(x0,y0)的坐标,用 P的坐

标表示R点的坐标,之后代入已知直线方程化简即
得。

【解析】 设 P(x,y),R(x0,y0), → =(1,0)-(x ,y )=(1-x ,-y ), 则RA 0 0 0 0 → =(x,y)-(1,0)=(x-1,y). AP
?1-x0=2?x-1?, → =2AP → ,得? 由RA , ?-y0=2y

又∵点 R 在直线 l: y=2x-6 上, ∴y0=2x0-6, ?1-x0=2x-2, ① ∴? ② ?6-2x0=2y. 由①得 x0=3-2x,代入②得 6-2(3-2x)=2y, 整理得 y=2x,即为点 P 的轨迹方程.

1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基
底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,

进而解决问题.
2.要掌握向量的常用知识:①共线;②垂直; ③模;④夹角;⑤向量相等.

3.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问 题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化 为向量问题 通过向量运算,研究几何元素之间的关系,

转化

运算

如距离、夹角等问题

翻译

把运算结果“翻译”成几何关系

4.利用向量解决物理问题的基本步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题; ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.

5.平面向量知识结构图
定义 表示方法 向量的概念 向量的模 几何表示 符号表示 坐标表示 平行向量 垂直向量 向量间的关系 相等向量 相反向量 平 面 向 量 平面向量基本定理 加法法则 加法 运算性质 坐标运算 向量共线定理

向量的运算

减法

减法法则
坐标运算 实数与向量的积 定义 定义 运算性质 坐标运算

向量的数量积

运算性质 坐标运算

向量的应用

一年之计,莫如树谷:十年之计,莫如树木;终 身之计,莫如树人。长才靡入用,大厦失巨楹。 ——邵谒


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