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浙江省余姚中学2016届高三数学上学期期中试题 文

浙江省余姚中学2016届高三数学上学期期中试题 文


浙江省余姚中学 2016 届高三数学上学期期中试题 文
(注:本试卷满分 150 分,时间 120 分钟,不准使用计算器) 第 I 卷 选择题部分(共 40 分) 一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是 A. {1,2} B. {x | x ? 1} C. {?1,0,1} D. R ( ) 2.若 sin ? ? cos ? ? tan ? , (0 ? ? ? A. (0, ( )

?
2

), 则? ?

? ? ? ? ? ? , ) C. ( , ) D. ( , ) 6 4 4 3 3 2 6 1 1 1 3.函数 f1 ( x) ? , f 2 ( x) ? ,?, f n ?1 ( x) ? ,?, 则函数 f2015 ( x) 是( ) x x ? f1 ( x) x ? f n ( x)
)
B. ( A.奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 )

?

4.已知 a , b 是空间中两不同直线, ? , ? 是空间中两不同平面,下列命题中正确 的是( .. A.若直线 a / / b , b ? ? ,则 a / /? C.若平面 ? / / ? , a ? ? , b ? ? ,则 a / / b B.若平面 ? ? ? , a ? ? ,则 a / / ? D.若 a ? ? , b ? ? , a / / b ,则 ? / / ?

5 .给出下列结论:①命题“ ?x ? R, sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, sin x ? 1 ”;②命题

p : x ? 2 或 y ? 3 , 命 题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件 ; ③ 数 列 {an } 满 足
“ an?1 ? 3an ”是“数列 {an } 为等比数列”的充分必要条件;④“在三角形 ABC 中,若

sin A ? sin B , 则 A ? B ”的逆命题是真命题;⑤“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若
a ≤b

, )



2a ≤

b

?2

”1















(

A.③④

B.①②④⑤

C. ①③④⑤

D.①②③④⑤

6.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正 视图和俯视图分别为 ( )

x

. 1. 1 . .. y 2 2.O 1
2

z









A.①和②

B.③和①

C.③和④

D.④和②

1

7.已知 f ( x) ?| ln x | ,设 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是 ( A. [3,??) B. (3,??) C. [2 2 ,??) D. (2 2 ,??)



8. 已 知 向 量 OA 与 OB 的 夹 角 为 ? , OA ? 2, OB ? 1, OP ? t OA, OQ ? (1 ? t )OB ,

1 PQ 在 t 0 时取得最小值 . 当 0 ? t0 ? 时,夹角 ? 的取值范围是 5
A. ? 0,





? ?

??
? 3?

B. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

C. ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

D. ? 0,

? ?

2? ? ? 3 ?

第 II 卷 非选择题部分(共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9. 已知直线 l :mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? (m ? 1) y ? 1 垂直, 则 m 的值为 若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为 10.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a8 ? 8, a7 ? a11 ? 14 , ak ? 18 , 则k ? ▲ ;数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ▲ . ▲ ▲ . ;

D1 A1 B1
M

C1

11.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是线段

AA1 的中点, M 是平面 BB1D1D 内的点,则 AM ? ME 的最小
值是 ▲ ;若 ME ? 1 ,则点 M 在平面 BB1D1D 内形成 ▲ .

E
A

D B


C

的轨迹的面积等于

? x ? 0, ? 12.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,则区域 D 的面积为 ?2 x ? y ? 4 ?
若直线 y ? ax ? 1 与区域 D 有公共点, 则 a 的取值范围是 ▲ .



13 .设点 P( x, y) 是曲线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点,其坐标 ( x, y ) 均满足

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 2 2 ,则 2a ? b 取值范围为
14.点 P 是双曲线





x2 y 2 ? ? 1,(a ? 0, b ? 0) 上一点, F 是右焦点,且 ?OPF 为等腰直 a 2 b2

2 2

角三角形( O 为坐标原点),则双曲线离心率的值是
2

. ▲ .

15.已知实数 x 满足 x ? 2 ,且 x ? ax ? b ? 2 ? 0 ,则 a ? b 的最小值为

2

三、解答题:本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

?? ? ? ? 16. (本小题满分 14 分)已知向量 m ? (sin(? x ? ), ? 1), n ? ( 3, cos(? x ? ))(? ? 0) ,函 3 3
?? ? ? 数 f ( x) ? m ? n 的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为 . 4

? ] 上的单调增区间; (Ⅰ)求 ? 的值,并求函数 f ( x) 在区间 [0,
(Ⅱ)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, f ( A) ? 1, cos C ?

3 , a ? 5 3 ,求 5

b 的值.

17.(本小题满分 15 分)已知数列 ?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有

Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
* (Ⅱ)当 t ? 1 , a ? 2 时,若对任意 n ? N ,都有 k (

1 1 1 ? ??? ) ? bn , b1b2 b2 b3 bn bn?1

求 k 的取值范围; (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数 对 ( a, t ) .

18. (本小题满分 15 分) 如图所示, PA ? 平面ABCD ,?ABC 为等边三角形,AP ? AB ,

AC ? CD , M 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证 BM // 平面 PCD ; (Ⅱ)若直线 PD 与平面 PAC 所成角的正切值 为

P

6 ,求二面角 A ? PD ? M 的正切值. 2
A

D M

B

C

3

19. (本小题满分 15 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 Q 是抛物线 C 上 一点且 Q 的纵坐标为 4,点 Q 到焦点 F 的距离为 5. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)已知 p ? 8 ,过点 M (5, ?2) 任作一条直线与抛物线 C 相交于点 A, B ,试问在抛 物线 C 上是否存在点 E ,使得 EA ? EB 总成立?若存在,求出点 E 的坐标,若不 存在,请说明理由.

20. (本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x2 ? px ? q( p, q ? R) . (Ⅰ)若 p ? 2 ,当 x ? [?4,?2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 q 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解,试求所有的实数对 ( p, q) .

0 15 学年度 余姚中学2 第 一 学 期 高三数学(文)期中试题参考答案

(2015 年 11 月) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 题目 选项 1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
4

?
9.

1 2 ,? 2

10.

20 ,

n 2 ? 3n 2

11.

3 ? , 2 2

12.

4 7 ;[ , ?? ) 3 4
15.

13.

?2, ???

14.

5 ?1 10 ? 2 3? 5 ? 3? 5 或 ? 2 2 2
?
3

4 5
?
6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 【解析】(Ⅰ)解: f ( x) ? m ? n ? 3 sin(? x ? 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 令 2k? ?

) ? cos(? x ? 2?

?
3

) ? 2sin(? x ?

) ?4 分
??5 分

?

?
2

≤ 2x ?

?
6

≤ 2k? ?

?
2

,解得 k? ?

?

4
3

,所以 T ?

≤ x ≤ k? ?

? ?
6

? 4?

?
4

? ?, ??2

(k∈Z)

? 2? ? ] ,所以所求单调增区间为 [0, ], 又 x ? [0, [ , ? ] ?????????8 分 6 3 ? ? 1 (Ⅱ)解: f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ?1, sin(2 A ? ) ? , 6 6 2
2A ?

?
6

? 2k? ?

?
6

或2 A ?

?
6

? 2k? ?

5? 6

A ? k? 或 A ? k? ?

?
3

? ) ,故 A ? (k∈Z),又 A ? (0,

?
3

????????10 分

4 ? 3 3 ?4 3 sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) ? ∵ cos C ? , C ? (0, ? ) ,∴ sin C ? , 5 3 10 5

由正弦定理得

5 3 sin B b a ?3 3 ?4 ,∴ b ? ? sin A sin B sin A

??????14 分

17. 【解析】 (1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at

当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan
又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) ,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列 an

? an ? at n ?1
( Ⅱ ) 因 为 t ? 1 , a ? 2 , 所 以 可 得 an ? 2, Sn ? 2n , 即 bn ? 2n ? 1 ,

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?, bnbn?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
所以

1 1 1 1?1 1 1 1 ? n ? ??? ? ? ? ? ??? ?? b1b2 b2b3 bnbn?1 2 ? 3 5 5 2n ? 3 ? 3 ? 2n ? 3?

5

因为 k (

2 1 1 1 ? ??? ) ? bn ,所以整理可得 k ? 3(4n ? 8n ? 3) , b1b2 b2 b3 bn bn?1 n

所以 k ? 45 . (Ⅲ)? t ? 1 ,? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t ) 2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有

at ? 2? ?0 ? ?a ? 1 ? (1 ? t ) 2 ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ?t ? 2 ?1 ? t ? a ? 0 ? 1? t ?
18. 【解析】 (Ⅰ)证明:? ?ABC 为等边三角形, M 为 AC 的中点,? BM ? AC .

又? AC ? CD ,? 在平面ABCD中,有BM ? CD .

?????3 分

又?CD ? 平面PCD, BM ? 平面PCD, ? BM ? 平面PCD. ??5 分
(Ⅱ)解:? PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD,

P

? PA ? CD , 又? AC ? CD ,

H

PA ? AC ? A,?CD ? 平面PAC .

N
A

? 直线 PD 与平面 PAC 所成角为 ?DPC
?????7 分

D M

tan ?DPC ? 在 Rt?PCD中,

CD 6 ? . PC 2

B

C

设 AP ? AB ? a ,则 AC ? a, PC ? 2a

? CD ?

6 PC ? 3a 2
?????9 分

在Rt?ACD中,AD2 =AC 2 +CD2 =4a2 ,? AD ? 2a .
? PA ? 平面ABCD, ?平面PAD ? 平面ABCD .

6

在Rt?ACD中,过M 作MN ? AD.

又?平面ABCD ? 平面PAD=AD,MN ? 平面ABCD,
? MN ? 平面PAD.
在平面 PAD 中,过 N作NH ? PD ,连结 MH ,则 PD ? 平面MNH .

??MHN 为二面角 A ? PD ? M 的平面角.

?????12 分

在Rt?ACD中,MN =

3 1 7 a, AN = a, ND= a, 4 4 4
PD 4 5

? NH ? DN , ? NH ? PA ? DN ? 7 a
PA PD

? tan ?MHN = MN ? NH

3 a 15 , 4 ? 7 7 a 4 5

? 二面角 A ? PD ? M 的正切值为

15 . 7

????????15 分

19. 【解析】 (I)由题意有 Q( 8 , 4) ,则有 QF ? 8 ? p ? 5 , p ? 2, 或 p=8,所以,抛物 p p 2 线方程为 y ? 4 x, y ? 16 x
2 2 2

??(5 分)

(Ⅱ)? p ? 8 ,? y ? 4 x .假设在抛物线 C 上存在点 E ,使得 EA ? EB 总成立. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , E( x0 , y0 ) , 则有 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 ,
2 2 2 2 即 ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 ,又 ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 16



( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 16 ? 0
① ??9 分





y1

? y2 (
2

2 y0 ? y) ? y2 1? ?? 6 y0 ? 0 1

设直线方程为 x ? m( y ? 2) ? 5 ,代入 y ? 4 x 中,有 y ? 4my ? 8 m ? 20 ? 0,从而
2
2 代入①中得:(4 y0 ? 8)m ? y0 y1 ? y2 ? 4m 且 y1 y2 ? ?8m ? 20 , ? 4 ? 0 对于 m ? R 恒 2 成立,故 4 y0 ? 8 ? 0 且 y0 ? 4 ? 0 ,解得 y0 ? 2 ,得 E (1, 2)

??(14 分)

若直线过点 (1, 2) ,结论显然成立

所以,在抛物线 C 上存在点 E (1, 2) ,使得 EA ? EB ? 0 总成立

??? ? ??? ?

??(15 分)

7

20. 【解析】 (Ⅰ)解: (I)当 p ? 2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? q ? 0 恒成立, 只需 f ( x) min ? 0 易知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? q 在 x ? [?4,?2] 时单调递减, 所以 f ( x) min ? f (?2) ? q ,即 q ? 0 (Ⅱ)要使 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解,必须满足 ? 即 ? 2 ? p ? q ? 1,?2 ? 5 p ? q ? 25 ? 2 ; 所以 ? 3 ? p ? q ? 1 ,即 ? 1 ? ? p ? q ? 3 ,又 ? 27 ? 5 p ? q ? ?23 两式相加可以得到: ? 7 ? p ? ?5 . ? ?(8 分) ? ?(2 分) ??(3 分) ??(6 分)

?? 2 ? f (1) ? 2 , ?? 2 ? f (5) ? 2

f ( x) 的对称轴为 x ? ?
因为 ?

p p ,最小值为 f (? ) ; 2 2

p 5 7 ? [ , ], 则 f ( x) 的对称轴在区间 [1,5] 内, 要使 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解, 2 2 2 p 4q ? p 2 p2 ? ?2 ,可以得到 q ? ? 2 . ??(10 分) 还要满足 f (? ) ? ?2 ,即 2 4 4 ? ?? 3 ? p ? q ? 1 ? 解不等式组: ?? 27 ? 5 p ? q ? ?23, ??(12 分) ? 2 ?q ? p ? 2 4 ?
可以解得: p ? ?6 ,代入不等 式组,得到 q ? 7 . 所以满足题意的是实数对 ( p, q) 只有一对: (?6,7) . ??(15 分)

8


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