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高中数学人教A版选修2-1模块综合测试 (1)

高中数学人教A版选修2-1模块综合测试 (1)


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1 1.已知命题 p:“x∈R 时,都有 x2-x+ <0”;命题 q:“存在 x∈R,使 4 sinx+cosx= 2成立”.则下列判断正确的是( A.p∨q 为假命题 C.綈 p∧q 为真命题 B.p∧q 为真命题 D.綈 p∨綈 q 是假命题 )

解析:易知 p 假,q 真,从而可判断得 C 正确. 答案:C 1 1 2.已知 a,b∈R,则“lna>lnb”是“( )a<( )b”的( 3 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 1 解析:∵lna>lnb?a>b>0,( )a<( )b?a>b.而 a>b>0 是 a>b 的充分而不必要条件. 3 3 1 1 ∴“lna>lnb”是“( )a<( )b”的充分而不必要条件. 3 3 答案:A 3.已知抛物线 C:y2=x 与直线 l:y=kx+1,“k≠0”是“直线 l 与抛物线 C 有两 个不同交点”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 答案:B x 2 y2 4.以双曲线 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 x 2 y2 x 2 y2 A. + =1 B. + =1 16 12 12 16 x 2 y2 C. + =1 16 4 x 2 y2 D. + =1 4 16 ) D.既不充分又不必要条件

x 2 y2 y2 x 2 解析:由 - =-1,得 - =1.∴双曲线的焦点为(0,4)、(0,-4),顶点坐标为 4 12 12 4
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x 2 y2 (0,2 3)、(0,-2 3).∴椭圆方程为 + =1. 4 16 答案:D x 2 y2 5.以双曲线 - =1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程 4 5 是( ) A.y2=12x B.y2=-12x C.y2=6x D.y2=-6x

x 2 y2 解析:由 - =1,得 a2=4,b2=5,∴c2=a2+b2=9. 4 5 ∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0). p 故 =3.∴抛物线方程为 y2=12x. 2 答案:A x2 y2 x2 y2 6.已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近 3m 5n 2m 3n 线方程是( A.x=± ) 15 15 y B.y=± x 2 2 3 D.y=± x 4

3 C.x=± y 4

解析:由已知椭圆与双曲线有公共焦点得 3m2-5n2=2m2+3n2,∴m2=8n2.而由双曲 x2 y2 线 2- 2=1,得渐近线为 y=± 2m 3n 答案:D → =OA → +2OB →+ 7.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,有如下关系:6OP → ,则( 3OC ) 3n2 3 2x=± x. 2m 4

第 2

A.四点 O、A、B、C 必共面 页 共 15 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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B.四点 P、A、B、C 必共面 C.四点 O、P、B、C 必共面 D.五点 O、P、A、B、C 必共面 → =1OA → +1OB → +1OC → ,而1+1+1=1,∴四点 P、A、B、C 共面. 解析:由已知得OP 6 3 2 6 3 2 答案:B

图1 8.如图 1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1、CC1 的中点,P 为 AD 上一动点,记 α 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角,则 α 的集合是( π A.{ } 2 π π B.{α| ≤α≤ } 6 2 π π C.{α| ≤α≤ } 4 2 π π D.{α| ≤α≤ } 3 2 解析:取 C1D1 的中点 E,PM 必在平面 ADEM 上,易证 D1N⊥平面 ADEM.本题也可 建立空间直角坐标系用向量求解. 答案:A )

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图2 → 9.如图 2,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,若点 P 满足BP 1→ 1→ → → |2 的值为( = BA - BC+BD,则|BP 2 2 3 A. 2 10- 2 C. 4 B.2 D. 9 4 )

→ |=1,|BC → |=1,|BD → |= 2.〈BA → ,BD → 〉=45° → ,BC → 〉=45° 解析:由题可知|BA , 〈BD , → ,BC → 〉=60° 〈BA . → |2=(1BA → -1BC → +BD → )2=1BA →2+1BC →2+BD → 2-1BA →· → +BA →· → -BC →· → ∴|BP BC BD BD 2 2 4 4 2 1 1 1 1 2 2 9 = + +2- ×1×1× +1× 2× -1× 2× = . 4 4 2 2 2 2 4 答案:D 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为( A. C. 2 2 B. 4 3 3 3 D. 3 2 )

解析:建立如图 3 所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
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→ =(1,0,1),DB → =(1,1,0),BC → =(-1,0,1). ∴DA 1 1 → =0,n· → =0. 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· DA DB 1

?x+z=0, ∴? ?x+y=0.

令 x=1,则 n=(1,-1,-1),

图3 → -2 - 6 n· BC 1 → ∴cos〈n,BC1〉= = = . 3 →| 3· 2 |n||BC 1 ∴直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 ∴直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为 答案:C x 2 y2 11.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|= a b 2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) B .(1,3] ) 6 . 3 3 . 3

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

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图4 解析:由题意知在双曲线上存在一点 P,使得|PF1|=2|PF2|,如图 4. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a, 即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF2|=2a,即|AF2|≤2a. ∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a.∴c≤3a. 又∵c>a,∴a<c≤3a. c ∴1<a≤3,即 1<e≤3. 答案:B 12.(2011· 全国高考)已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60° 二面角的 平面 β 截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为( A.7π B.9π )

C.11π D.13π

图5

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wx.jtyjy.com 42-22 = 2 3.|ON| =

解析: 由圆 M 的面积知圆 M 的半径为 2, |OM|= |OM|· sin30° = 3.从而圆 N 的半径 r= D. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

42-3= 13,所以圆 N 的面积 S=πr2=13π.故选

图6 → =a,OB → =b,OC → =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的 13.在四面体 O—ABC 中,OA → =________.(用 a,b,c 表示) 中点,则OE → =1(OA → +OD → )=1OA → +1(1OB → +1OC →) 解析:OE 2 2 22 2 1→ 1→ 1→ 1 1 1 = OA + OB+ OC= a+ b+ c. 2 4 4 2 4 4 1 1 1 答案: a+ b+ c 2 4 4 b 14.若命题 p:一元一次不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>-a},命题 q:关于 x 的不等 式(x-a)(x-b)<0 的解集为{x|a<x<b},则“p∧q”“p∨q”及“綈 p”形式的复合命题中 的真命题是________. 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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解析:p 为假命题,因为 a 符号不定,q 为假命题,因为 a、b 大小不确定.所 以 p∧q 假,p∨q 假,綈 p 真. 答案:綈 p 15.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距离为 d1,到直线 x +2y-12=0 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是________.

图7 解析:如图 7,根据定义,d1 即为 P 到焦点(1,0)的距离,∴d1+d2 的最小值也就是焦 点到直线的距离. |1+2×0-12| 11 5 ∴(d1+d2)min= = . 5 5 答案: 11 5 5

x 2 y2 x2 1 16. 有下列命题: ①双曲线 - =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点; ②“- <x<0” 25 9 35 2 是“2x2-5x-3<0”的必要不充分条件;③若 a 与 b 共线,则 a,b 所在直线平行;④若 a,b,c 三向量两两共面,则 a,b,c 三向量一定也共面;⑤?x∈R,x2-3x+3≠0.其 中正确的命题有________.(把你认为正确的命题的序号填在横线上)
2 解析:①中,双曲线 c2 1=25+9=34,椭圆 c2=35-1=34,故①正确;

1 1 1 ②中,∵2x2-5x-3<0,∴- <x<3.又- <x<0?- <x<3,小范围推出大范围,而大 2 2 2
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范围推不出小范围,∴是充分而不必要条件,故②错; ③中,a 和 b 所在直线可能重合,故③错; ④中,a,b,c 可以不共面,例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量,故 ④错; ⑤中,Δ=9-12<0,故对?x∈R,x2-3x+3≠0 成立. 答案:①⑤ 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17.(10 分)已知 p:“直线 x+y-m=0 与圆(x-1)2+y2=1 相交”;q:“mx2-x+ m-4=0 有一正根和一负根”.若 p∨q 为真,綈 p 为真,求 m 的取值范围. 解:对 p:∵直线与圆相交, |1-m| ∴d= <1.∴- 2+1<m< 2+1. 2 对 q:方程 mx2-x+m-4=0 有一正根一负根, ∴令 f(x)=mx2-x+m-4.
? ? ?m>0, ?m<0, ∴? 或? 解得 0<m<4. ? ? ?f?0?<0 ?f?0?>0.

又∵綈 p 为真,∴p 假.又∵p∨q 为真,∴q 为真. 由数轴可得 2+1≤m<4.故 m 的取值范围是 2+1≤m<4. x 2 y2 18.(12 分)已知椭圆 D: + =1 与圆 M:x2+(y-m)2=9(m∈R),双曲线 G 与椭 50 25 圆 D 有相同的焦点, 它的两条渐近线恰好与圆 M 相切. 当 m=5 时, 求双曲线 G 的方程. x 2 y2 解:椭圆 D: + =1 的两焦点为 F1(-5,0)、F2(5,0),故双曲线的中心在原点,焦 50 25 页 共 15 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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点在 x 轴上,且 c=5. x 2 y2 b 设双曲线 G 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 G 的渐近线方程为 y=± ax, a b 即 bx± ay=0,且 a2+b2=25.当 m=5 时,圆心为(0,5),半径为 r=3. ∴ |5a| a2+b2 =3?a=3,b=4.

x 2 y2 ∴双曲线 G 的方程为 - =1. 9 16 19.(12 分)已知 ABCD-A′B′C′D′是平行六面体, 1 → → +2AB → ,并在图中标出其结果; (1)化简 AA ′+BC 2 3 3 →= (2)设 M 是底面 ABCD 的中心, N 是侧面 BCC′B′对角线 BC′上的 分点, 设MN 4 → +βAD → +γAA → αAB ′,试求 α,β,γ 的值.

图8 → =1AA → → +2AB →. 解:(1)如图 8,取 AA′的中点 E,D′F=2FC′,EF ′+BC 2 3 → =MB → +BN → =1DB → +3BC → (2)MN ′ 2 4 1 → → 3 → → = (DA +AB)+ (BC +CC ′) 2 4

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 1→ 1→ 3 → = AB + AD+ AA′, 2 4 4 1 1 3 ∴α= ,β= ,γ= . 2 4 4 20.(12 分)已知 f(x)=ax2+bx+c 的图象过点(-1,0),是否存在常数 a、b、c,使不 1+x2 等式 x≤f(x)≤ 对一切实数 x 均成立? 2 1+x2 解:假设存在常数 a、b、c 使不等式 x≤f(x)≤ 对一切实数 x 均成立, 2 ∵f(x)的图象过点(-1,0), ∴a-b+c=0.① 1+x2 ∵x≤f(x)≤ 对一切 x∈R 均成立, 2 ∴当 x=1 时,也成立,即 1≤f(1)≤1, ∴f(1)=a+b+c=1,② 1 由①②得 b= ,故原不等式可化为 2 1 1 ? ?ax2-2x+2-a≥0, ? ? ??1-2a?x2-x+2a≥0

恒成立.

当 a=0 或 1-2a=0 时,上述不等式组不会恒成立,

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? ?Δ ≤0, ∴? a>0, ? ?1-2a>0,
Δ1≤0,
2

? ?1-8a?1-2a?≤0, 即? ?a>0, ?1-2a>0.

1 1 -4a? -a?≤0, 4 2

1 1 1 ∴a= .∴c= -a= . 4 2 4 1+x2 1 1 1 ∴存在一组常数:a= ,b= ,c= ,使不等式 x≤f(x)≤ 对一切实数 x 均成立. 4 2 4 2

图9 21.(12 分)(2011· 辽宁高考)如图 9,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD 1 ∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q-BP-C 的余弦值.

图 10 解:如图 10,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴
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建立空间直角坐标系 D-xyz. → =(1,1,0),DC → =(0,0,1),PQ →= (1)证明:依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则DQ (1,-1,0). →· → =0,PQ →· → =0. 所以PQ DQ DC 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQDC, 所以平面 PQC⊥平面 DCQ. → =(1,0,0),BP → =(-1,2,-1). (2)依题意有 B(1,0,1),CB 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则 → =0, ?n· CB ? → =0, BP ?n·

?x=0, 即? ?-x+2y-z=0.

因此可取 n=(0,-1,-2). 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 → =0, ?m · BP ? → =0. PQ ?m · 可取 m=(1,1,1), 所以 cos〈m,n〉=- 15 . 5

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wx.jtyjy.com 15 . 5

故二面角 Q-BP-C 的余弦值为-

22.(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距 离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. x 2 y2 解:(1)由题意设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),由已知得:a+c=3,a-c=1, a b ∴a=2,c=1.∴b2=a2-c2=3. x 2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 4 3

? ?y=kx+m, (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立?x2 y2 ? ? 4 + 3 =1,
得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,

?x +x =-3+4k , ? 即 3+4k -m >0,则? 4?m -3? x · x = . ? 3+4k ?
8mk
1 2 2 2 2 2 1 2 2

又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) 3?m2-4k2? =k x1x2+mk(x1+x2)+m = , 3+4k2
2 2

∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),

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wx.jtyjy.com y1 y2 ∴kAD· kBD=-1,即 · =-1. x1-2 x2-2

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ + + +4=0. 3+4k2 3+4k2 3+4k2 ∴7m2+16mk+4k2=0. 2k 解得 m1=-2k,m2=- ,且均满足 3+4k2-m2>0. 7 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾. 2 2 当 m2=- k 时,l 的方程为 y=k(x- ), 7 7 2 直线过定点( ,0). 7 2 ∴直线 l 过定点,定点坐标为( ,0). 7

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