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【中小学资料】内蒙古包钢第一中学2015届高三数学适应性考试试题(一)理(含解析)

【中小学资料】内蒙古包钢第一中学2015届高三数学适应性考试试题(一)理(含解析)

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包钢一中 2015 届高三适应性考试(一)

理科数学
注意:本试卷分第 I 卷(选择题;填空题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22-24 题为选考题,其它为必考题。考生作答时,将答案写在答题纸上,在 本试卷上答题无效。考试结束后,只需将答题纸交回。 参考公式:样本数据 , , , 的标准差

其中 为样本平均数;

柱体体积公式

其中 为底面面积, 为高;

锥体体积公式

其中 为底面面积、 为高;

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

1. 已知集合

,则集合{

}=(



A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由集合的运算规则可得:

,故



故选 C.

2. 设复数 , 在复平面内的对应点关于虚轴对称,

,则 ( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】D

【解析】由于复数 , 在复平面内的对应点关于虚轴对称,





,故选 D.

3. 以下命题:①随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, 2),若 P(ξ >2)=0.023,则

P(-2≤ξ ≤2)=0.954;②函数

的零点所在的区间是 ;③“|x|>1”的

充分不必要条件是“x>1”;④

。其中假命题的个数是( )

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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】①随机变量 ξ 服从正态分布

,若

,是真命题;②函数

,则 在 上单调递增,又



,∴函数 的零点所在的区间是 ,因此是假命题;



,反之不成立,因此“ ”的充分不必要条件是“ ”,是真命题;



,因此是假命题.其中假命题的个数是 2,故选 C.

4. 已知实数 满足

,则

的最大值为( )

A. 4 B. 0 C.

D. -2

【答案】A

【解析】画出满足条件的平面区域,如图示:





转化为:

,由图象得:



时, 最大,

,故

选 A.

点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值

的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)

找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通

过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

5. 阅读下面的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 为( )

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A. -240 B. -210 C. 190 D. 231

【答案】B

【解析】模拟执行程序框图,可得程序运行的功能是计算并输出求

∵当 时,满足条件 ,程序运行终止,∴

6.

外接圆的半径为 2,圆心为 O,且,



,则

的值是(

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9

【答案】A

的值, ,故选 B.
)

【解析】

即有

,即有

,又

,则

,则

,可得

,则 为 的中点,

为等边三角形,且边长为 ,由勾股定理可得

,故选 A.

7. 若函数

在区间

上是单调减函数,且函数值从 减小到

,则 ( )

A. 1 B. 【答案】C 【解析】∵

C.

D. 0

(且

在区间

上是单调减函数,且函数值从 减小

到 ,∴

,即函数的周期 ,∵

,∴ ,则





,∴

,即

, ,即

,,

∵ ,∴当 时, ,即

,则



故选 C. 8. 已知 是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设

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,则 的大小关系是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】试题分析:∵已知 是定义在

上的偶函数,且在区间

∴在

上单调递减,∴



又∵



,∴





考点:1.偶函数的性质;2.指对数的运算性质.

9. 已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )

上是增函数, , ,

A. 3 B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个三棱锥,如图:

直三棱柱的体积为

,消去的三棱锥的体积为



∴几何体的体积

,故选 B.

点睛:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的

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数据是解答此类问题的关键;几何体是直三棱柱消去一个三棱锥,结合直观图分别求出直三

棱柱的体积和消去的三棱锥的体积,相减可得几何体的体积.

10. 把 5 名师范大学的毕业生分配到 A、B、C 三所学校,每所学校至少一人。其中学数学的

两人,学语文的两人,学英语的一人,若 A 校不招收同一学科的毕业生,则不同的分配方法

共有( )

A. 148 种 B. 132 种 C. 126 种 D. 84 种

【答案】C

【解析】5 名师范大学的毕业生分配到

三所学校,每所学校至少一人,当 校选一名

时 =5 种,另外 4 人分为 和 两组,有

种,故有

种,当

校选两名时

种,另外 3 人分为 一组,有

种,故有

种,当 A

校选三名时

种,另外 2 人分为 一组,有 种,故有 4×2=8 种,根据分类

计数原理得, 校不招收同一学科的毕业生,则不同的分配方法共有

种,故

选 C.

11. 在正四棱柱

中,

,

,点 、B、 、 在球 上,球 与

的另一个交点为 ,与 的另一个交点为 ,且

,则球 表面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

连结 , ,易证得 ,∴

是矩形,则三棱柱

,即

,又

半径

,球 表面积为:

是球 的内接直三棱柱,∵



,∴



,∴球 的

,故选 B.

12. 已知函数 A. 6 B. 5

C. 4

,则方程 D. 3

的根的个数不可能为( )

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中小学最新教育资料 【答案】D
【解析】

作函数

的图象如图,∵



故当

时,方程

有一个负根 ,再由

得,

,及

,故还有四个解,故共有 5 个解;当 时,方程

有四个解,当

时,方程

有 6 个解;故选 D.

点睛:本题考查了作图能力及分段函数的应用,属于难题;作函数

的图

象,由于

,故可分为

,和

析根的个数. 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13. 二项式

展开式的常数项是_______

【答案】15

【解析】二项式

展开式中的通项公式为

三种情形,结合图象分 ,



,求得 ,故展开式中的常数项为

14. 在

中,内角

=________________

的对边分别是 ,若

【答案】

【解析】将

,利用正弦定理化简得:

,故答案为 . ,

,则

,代入得

,即

,∴由余弦定理得:

,∵ 为三角形的内角,

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∴ ,故答案为 .

点睛:此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关

键;已知

利用正弦定理化简,代入第一个等式用 表示出 ,再利用余弦定理列

出关系式,将表示出的 与 代入求出 的值,即可确定出 的度数.

15. 如图过拋物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A,B,C,

若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为___________

【答案】

【解析】试题分析:设

,作 AM、BN 垂直准线于点 M、N,则|BN|=|BF|,又

|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|,

∴∠NCB=30°,有|AC|=2|AM|=6,设|BF|=x,则 2x+x+3=6? x=1,



,由直线 AB:

,代入抛物线的方程可得,

,即有



得 y2=3x 考点:抛物线的标准方程 16. 若实数 满足

,则

的最小值为____

【答案】

【解析】∵ ∴

表示

,∴



,设函数





上的点到直线

上的点的距离平方,∵对于函数



∴ ,令

得 ,曲线



平行的切线的切点坐标为 ,所以切

点到直线



的距离为



所以

的最小值为

,故答案为 .

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 17 题---第 21 题为必考题,第 22 题—第 24 题为 中小学最新教育资料

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选考题,考生任选一题做答。 三、解答题:解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤 17. 公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和为 , =15,且 (1)求 的通项公式;

成等比数列。

(2)设 =

,证明: <2。

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析:(1)设出等差数列的首项和公差,由已知得到首项和公差的两个关系式,

求出首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;(2)利用放缩法及列项相消法得证.

试题解析:(1)在等差数列 中,设其首项为 ,公差为 ,∵





① 又∵ , , 成等比数列,∴





,②∴由①,②得 , ,



,∴ 的通项公式为 .

(2)∵

∴. 点睛:本题主要考查了等差数列,等比数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识 点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于

,其中 和 分别为特殊数列,裂项相消法类似于

,错位相减法类

似于

,其中 为等差数列, 为等比数列等.

18. 如图,已知长方形

中,

, 为 的中点。将

沿 折起,

使得平面

平面

(1)求证:

(2)若点 是线段

。 ; 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角

的余弦值

为。

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【答案】(1)见解析(2) 为 的中点

【解析】试题分析:(1)由已知条件可以比较容易的建立空间坐标系,因此求解时可采用空

间向量求解,求出直线的方向向量和平面的法向量后,证明两直线垂直即证明两直线的方向

向量是垂直的,二面角的大小可转化为两个半平面法向量的夹角,因此(2)求解时先设出

点的位置,直线的方向向量和平面法向量夹角转化为二面角求得点的位置

试题解析:(1)因为平面

平面



是 的中点,



的中点 O,连结 OD,则 平面

,取 AB 的中点 N,连结 ON,则

,以 O 为原

点如图建立空间直角坐标系,根据已知条件,得

,则

所以

,故

(Ⅱ)设

,因为平面 的一个法向量



设平面 的一个法向量为



取 ,得

,所以



因为

求得 ,所以 为 的中点。 考点:1.线面垂直的判定;2.二面角的求解 19. 自驾游从 地到 地有甲乙两条线路,甲线路是

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,乙线是

,其

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中 段、 段、 段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵

车概率及平均堵车时间如表 1 所示.经调查发现,堵车概率 在 上变化, 在 上变化.

在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费 500 元,走线路乙需汽油费 545 元.而每堵车 1 小时, 需多花汽油费 20 元.路政局为了估计 段平均堵车时间,调查了 100 名走甲线路的司机, 得到表 2 数据.

CD 段

EF 段

GH 段

堵车概率

平均堵车时间 (单位:小时) (表 1) 堵车时间(单位:小时)
(表 2)

2

1

频数 8 6 38 24 24

(1)求 段平均堵车时间 的值. (2)若只考虑所花汽油费期望值的大小,为了节约,求选择走甲线路的概率. (3)在(2)的条件下,某 4 名司机中走甲线路的人数记为 X,求 X 的数学期望。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析:(1)用每一段的时间的平均值乘以对应的概率,即为所求;(2)先求出 走线路甲所花汽油费的期望 ,再求出走乙线路多花汽油费的数学期望为 .择走甲线路
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应满足

,结合 、 的范围,利用几何概型求出选择走甲线路的概率;(3)

根据二项分布的特征求其期望.

试题解析:(1)

(2)设走线路甲所花汽油费为 元,则 法一:设走乙线路多花的汽油费为 元,

段、 段堵车与否相互独立,







走乙线路所花汽油费的数学期望为

依题意选择走甲线路应满足 ,

(3)二项分布 20. 在平面直角坐标系 中, 分别为椭圆 :

的左、右焦点, 为短

轴的一个端点, 是椭圆 上的一点,满足

,且

的周长为

.

(1)求椭圆 的方程; (2)设点 是线段 上的一点,过点 且与 轴不垂直的直线 交椭圆 于
是以 为顶点的等腰三角形,求点 到直线距离的取值范围.

两点,若

【答案】(1)

(2)

【解析】试题分析:(1)由已知

,设

,则





,由此能求出椭圆 的方程;(2)设点

,(

),直

线的方程为

,k≠0,由

,得:

,由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离

公式,结合已知条件能求出点 到直线距离的取值范围......................

试题解析:(1)由已知

,设 ,即

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得: ①



的周长为





又①②得:



∴所求椭圆 的方程为:

(2)设点

,直线的方程为



消去 ,得:



, 中点为











是以 为顶点的等腰三角形 ∴





设点 到直线 则

距离为 , ∴

即点 到直线距离的取值范围是 。

21. 已知函数

,且

(1)当

,求函数 的极值;

(2)设

,若存在 ,使得

成立,求 的取值范围。

【答案】(1)



(2)

【解析】试题分析:(1)求出 , 的函数 的导数,求得单调区间,求得极值;(2)

求出 的导数,由题意可得存在 ,使

成立.由 ,则





( ),求出导数,判断单调性,即可得到所求范围.

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试题解析:(1)当 , 时,





,得

,列表

,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以







极大值 ↘



极小值 ↗

由表知 的极大值是

, 的极小值是

.

(2)因为

,所以





,得



整理得



存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立等价于存在 x>1,使

成立.

因为 ,所以

.设

,则



因为 时,

恒成立,所以 在

是增函数,

所以

,所以

,即 的取值范围为



请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,点 A 在直径为 15 的⊙O 上,PBC 是过点 O 的割线, 且 PA=10,PB=5..
(1)求证:PA 与⊙O 相切; (2)求 SDACB 的值.

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【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析:(1)利用勾股定理证明

出结论;(2)证明

,可得

的值.

,再利用切线的判定方法,即可得 ,求出 , ,即可求

试题解析:

(1)证明:连结





中,

,因为

的直径为 15,所以 即



,所

,又点



相切

(2)解:∵

的切线,

,

又由

, ∴△PAB∽△PCA,∴



,



所以



23. (选修 4—4;坐标系与参数方程)已知曲线 的极坐标方程是

,曲线 经过平

移变换

得到曲线 ;以极点为原点,极轴为 轴正方向建立平面直角坐标系,直线 l

的参数方程是

(为参数).

(1)求曲线 , 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 交于 、 两点,点 的直角坐标为(2,1),若 方程.

【答案】(Ⅰ) :

.;

(Ⅱ)



【解析】试题分析:(1)利用直角坐标与极坐标间的关系:

,进行代换即得;(2)设

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,求直线 l 的普通





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, 方程,根据的几何意义即可求出.

.把直线的参数方程代入曲线 的

试题解析: (1) 曲线 :

.

(2)设

,

,



,得

①…4 分

联立直线的参数方程与曲线 的直角坐标方程得:

,

整理得:

,

,与①联立得:

,

直线的参数方程为

(为参数)或

(为参数)

消去参数的普通方程为



24. (选修 :不等式选讲)已知函数

(1)解不等式

;

(2)设

,对任意

都有

,求 的取值范围.

【答案】(1){ |

6}(2) -2 或 4

【解析】试题分析:(1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式

的解集,再取并

集,即得所求;(2)作出 的图象,数形结合求得满足



的 的取值范

围.

试题解析:(1)

-2 当

时,

, 即 ,∴ ;



时,

,即

,∴



时,

,即

, ∴1

6 综上,{ |

6}

(2) 函数 的图像如图所示:

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, 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,

;∴当-

2,



-2 时成立; 当

,即

时,令

,得

,



2+ ,即

4 时成立,综上

-2 或

4。

点睛:本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及转化与化归思想,难度一般;常见的绝对 值不等式的解法,法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二: 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象 求解,体现了函数与方程的思想.

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