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(教师用书)高中数学 1.4 柱坐标系与球坐标系简介课件 新人教A版选修4-4_图文

(教师用书)高中数学 1.4 柱坐标系与球坐标系简介课件 新人教A版选修4-4_图文

四 柱坐标系与球坐标系简介 课标 解读 1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义,能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置. 2.知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式, 并用于解题. 1.柱坐标系 图 1-4-1 如图 1-4-1 所示, 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 . 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q , 用 (ρ , θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标, 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示. 建立了空间的点与有序数组 (ρ,θ,z) 之间的一 种对应关系, 把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系 , 有序数组(ρ,θ,z)叫做点 P 的柱坐标,记作 P(ρ,θ,z) 其中 ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R. , 2.球坐标系 图 1-4-2 建立如图 1-4-2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点,连接 OP,记 |OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转 到 OQ 时所转过的 最小正角 为 θ.这样点 P 的位置就可以 用有序数组(r,φ,θ) 表示. 这样, 空间的点与(r,φ,θ) 之 间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系(或空间极坐标系). 有序数组(r,φ,θ)叫做点 P 的球坐标,记做 P(r,φ,θ), 其中 r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π). 3.空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为 ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ, ?z=z ? . 4.空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为 ?x=rsin φcos θ, ? ?y=rsin φ sin θ, ?z=rcos φ ? . 1.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什 么限制? 【提示】 空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一 个是距离. 2.在柱坐标系中,方程 ρ=1 表示空间中的什么曲面? 在球坐标系中,方程 r=1 分别表示空间中的什么曲面? 【提示】 ρ=1 表示以 z 轴为中心,以 1 为半径的圆柱 面;球坐标系中,方程 r=1 表示球心在原点的单位球面. 3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别 有哪些? 【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标 系为背景,柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标, 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以 一点到原点的距离和两个角刻画点的位置. (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标 系,空间点的坐标都是三个数值的有序数组. 点的柱坐标与直角坐标互化 (1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标 系中的坐标. (2)设点 N 的柱坐标为(π,π,π),求它的直角坐标. 【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 ?x=ρcos θ, ? 坐标,利用公式?y=ρsin θ, ?z=z, ? 求出 ρ,θ 即可. (2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标,利用公式 ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ, 求出 x,y,z 即可. ?z=z, ? 【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ,θ,z), ?1=ρcos θ, ? 则由?1=ρsin θ, ?z=1, ? π 解之得,ρ= 2,θ=4. π 因此,点 M 的柱坐标为( 2,4,1). (2)设 N 的直角坐标为(x,y,z), ?x=ρcos θ, ? 则由?y=ρsin θ, ?z=z, ? ?x=-π, ? ∴?y=0, ?z=π. ? ?x=πcos π, ? 得?y=πsin π, ?z=π, ? 因此,点 N 的直角坐标为(-π,0,π). 1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可以先设出点 ?x=ρcos θ, ? M 的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变换公式? y=ρsin θ, ? z=z, ? 2 2 2 求 ρ; y 也可以利用 ρ =x +y ,求 ρ.利用 tan θ= ,求 θ,在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限,从而确定 θ 的取值. 2.点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同. 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标: 5π π (1)(2, 6 ,3);(2)( 2,4,5). 【解】 设点的直角坐标为(x,y,z). 5π ? ?x=ρcos θ=2cos 6 =- 3, ? 5π (1)? ?y=ρsin θ=2sin 6 =1, ?z=3, ? 因此所求点的直角坐标为(- 3,1,3). π ? ?x=ρcos θ= 2cos4=1, ? (2)?y=ρsin θ= 2sinπ=1, ? 4 ?z=5. ? 故所求点的直角坐标为(1,1,5). 将点的球坐标化为直角坐标 3 3 已知点 M 的球坐标为(2,4π,4π),求它的直角 坐标. x=rsin φcos θ,y=rsin φ sin θ, 【思路探究】 球坐标 ――――――――――――――→ z=rcos φ 直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x,y,z). ? ?x=2sin3πcos3π=2× 2×?- 2?=-1, 4 4 2 2 ? ? 3 3 2 2 则?y=2sin πsin π=2× × =1, 4 4 2 2 ? ? 3 2 z=2cos4π=2×?- 2 ?=- 2. ? ? 因此点 M 的直角坐标为(-1,1,- 2). 1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系, 首先要明确点的球坐标(r,φ,θ)中角 φ,θ 的边与数轴 Oz, Ox

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