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陕西省西安市第一中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

陕西省西安市第一中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期末 高一年级数学(必修 2)试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个 选项中只有一个是符合题目要求的) 1 ( . 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 一 定 ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 2 . 空 间 中 到 A 、 B 两 点 距 离 相 等 的 点 构 成 的 集 合 是 ) A.线段 AB 的中垂线 C.过 AB 中点的一条直线 ( 3.如图所示,用符号语言可表达为 ) A.α∩β=m,n ? α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n ? α,A ? m,A ? n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈ n . ) A.y 轴上 B.z 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内 点 P( - B.线段 AB 的中垂面 D.一个圆

(

?
A

n

m

?

4 (

2,0,3)





5.点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点, 若 AC=BD,且 AC 与 BD 所成角的大小为 90° ,则四边形 EFGH 是 ( ) A.菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四 边形 6.如图为四棱锥和它的三视图,反映物体的长和高的是 ( )

1

A.俯视图

B.主视图 C.左视图

D.都可以

7 . 已 知 点 A(1, 3 ), B(?1,3 3 ) , 则 直 线 AB 的 倾 斜 角 是 ( ) A.

? 3
x 2 ? y 2 ? 2x ? 0

B.

? 6

C.

2? 3

D.

5? 6

8 . 圆
( )

和 圆

x2 ? y2 ? 4y ? 0

的 位 置 关 系 是

A.相离 切

B.外切

C.相交

D.内

9 . 在 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 下 列 几 种 说 法 正 确 的 是 ( ) A.A1C1 ? AD
60? 角

B. D1C1 ? AB

C. AC1 与 DC 成 45? 角

D. A1C1 与 B1C 成

10.过点 P(1,2)引直线,使 A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则这条直线的方 程是 ( ) B.x+4y-6=0 D.3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0

A.4x+y-6=0 C.2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0

11.若直线 ax+by-3=0 和圆 x2+y2+4x-1=0 切于点 P(-1,2),则 ab 的为 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3

1 12.如图 1,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则 2 该 ( ) 几 何 体 的 俯 视 图 可 以 是

2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横 线上) 13 .一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为 4 的正方形,则它的体积为 __________. 14. 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F、 G、 H 分别为棱 CC1、 C1D1、 D1D、CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及内部运动,则 M 满 足________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

15.两圆 x2+y2-6x=0 和 x2+y2=4 的公共弦所在直线的方程是____________. 16.已知集合 A={(x,y)|y= 49-x2},B={(x,y)|y=x+m},且 A∩B≠? ,则 m 的取值范围是________________. 三、解答题(本大题共 4 个大题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (本小题 12 分)已知直线 l1 : 2 x ? ?m ? 1?y ? 4 ? 0 l 2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 (1)当 l1 // l 2 时,求 m . (2)当 l1 ? l 2 时,求 m .

3

18. (本小题 10 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,
A1

C1 N B1

?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2, AA1 ? 1,点 M , N 分

别为 A1 B A/ B 和 B1C1 的中点. 证明: MN ∥平面 A1 ACC1
M

A

C

B

D

19. (本小题 14 分)如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A (1)求证:AC⊥平面 B1D1DB; (2)求证:BD1⊥平面 ACB1; (3)求三棱锥 B-ACB1 体积.
D1 A1
(第 19 题)

C B

C1 B1

20. (本小题 12 分)已知圆 A:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆 B 平分圆 A 的周长, 且圆 B 的圆心在直线 l:y=2x 上,求满足上述条件的半径最小的圆 B 的方程.

4

姓 班

名: 级:

考试号: 试 场:

西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期末 高一年级数学(必修 2)答题纸
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个 选项中只有一个是符合题目要求的) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横 线上) 13. __________. 14. ________15. ____________. 16. ________________. 三、解答题(本大题共 4 个大题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (本小题 12 分)已知直线 l1 : 2 x ? ?m ? 1?y ? 4 ? 0 l 2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 (1)当 l1 // l 2 时,求 m . (2)当 l1 ? l 2 时,求 m .

座位号:

C1

18. (本小题 10 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,
B1

A1 N

?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2, AA1 ? 1,点 M , N 分别为

A1 B A/ B 和 B1C1 的中点.

M

证明: MN ∥平面 A1 ACC1
B

A

C

5

D

19. (本小题 14 分)如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A (1)求证:AC⊥平面 B1D1DB; (2)求证:BD1⊥平面 ACB1; (3)求三棱锥 B-ACB1 体积.
D1 A1
(第 19 题)

C B

C1 B1

20. (本小题 12 分)已知圆 A:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆 B 平分圆 A 的周长, 且圆 B 的圆心在直线 l:y=2x 上,求满足上述条件的半径最小的圆 B 的方程.

6

高一数学答案
一、 DBA CCBCCDD C C 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 4 14. M∈FH 2 15.x= 16. -7≤m≤7 2 3

三、解答题(本大题共 4 个大题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题 12 分)

解(1) m ? ?3或m ? 2 (2) m ? ?
3 5

18. (本小题 10 分)

【解析】 (1) (法一)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC-ABC ' ' ' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' (法二)取 A?B? 的中点为 P,连结 MP,NP, ∵ M , N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点, ∴MP∥ AA? ,NP∥ A?C ? , ∴MP∥面 A?ACC? ,NP∥面 A?ACC? , ∵ MP ? NP ? P , ∴面 MPN∥面 A?ACC? , ∵MN ? 面 A?ACC? , ∴MN∥面 A?ACC? .

19. (本小题 14 分)
(1)证明:∵ AC⊥BD,又 BB1⊥平面 ABCD,且 AC ? 平面 ABCD, ∴ BB1⊥AC. BD∩BB1=B,∴ AC⊥平面 B1 D1DB. (2)证明:由(1)知 AC⊥平面 B1D1DB, ∵ BD1 ? 平面 B1D1DB,∴ AC⊥BD1. ∵ A1D1⊥平面 A1B1BA,AB1 ? 平面 A1B1BA, ∴ A1D1⊥AB1. 又 ∵ A1B⊥AB1 且 A1B∩A1D1 于 A1, ∴ AB1⊥平面 A1D1B. ∵ BD1 ? 平面 A1D1B, A1
(第 19 题)

D A B

C

D1 B1

C1

7

∴ BD1⊥AB1, 又 ∴ AC∩AB1=A, ∴ BD1⊥平面 ACB1.
1 1 1 (3)解:(方法 1) VB ? ACB1=VA ? BB1C = × 1× ( × 1× 1)= . 2 6 3

(方法 2) VB ? ACB1 =

1 1 1 ( V 正方体)= . 2 3 6

20. (本小题 12 分) [解析] 解法一:设圆 B 的半径为 r,∵圆 B 的圆心在直线 l:y=2x 上,∴圆 B 的圆心 可设为(t,2t),则圆 B 的方程是(x-t)2+(y-2t)2=r2,即 x2+y2-2tx-4ty+5t2-r2=0. ① ∵圆 A 的方程 x2+y2+2x+2y-2=0. ② ∴②-①,得两圆的公共弦方程(2+2t)x+(2+4t)y-5t2+r2-2=0. ③ 又∵圆 B 平分圆 A 的周长,∴圆 A 的圆心(-1,-1)必在公共弦上,于是,将 x=-1, y=-1 代入方程③, 3?2 21 21 3 并整理得:r2=5t2+6t+6=5? ?t+5? + 5 ≥ 5 ,所以 t=-5时,rmin= 3 6 21 x+ ?2+?y+ ?2= . 此时,圆 B 的方程是? ? 5? ? 5? 5 21 . 5

8


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