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校格式(文)全国2009年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码:04184(含参考答案)

校格式(文)全国2009年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码:04184(含参考答案)

全国 2009 年 10 月高等教育自学考试 线性代数(经管类) 线性代数(经管类)试题 课程代码: 课程代码:04184

说明:在本卷中, 的转置矩阵, 的伴随矩阵, 说明:在本卷中, AT 表示矩阵 A 的转置矩阵, A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵, A 表示方阵
A 的行列式, A ?1 表示方阵 A 的逆矩阵, E 表示单位矩阵 的行列式, 逆矩阵, 表示单位矩阵 单位矩阵.

小题, 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 单项选择题( 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 括号内。错选、多选或未选均无分。 括号内。错选、多选或未选均无分。
0 1 ?1 1 ?1 0 1 ?1 第二行第一列元素的代数余子式 A21 =( 1 ?1 0 1 ?1 1 ?1 0

1.

行列式

B



A.-2 2.

B.-1

C.1

D.2 C )

2.设 A 为 2 阶矩阵,若 3 A =3,则 2 A = ( A.
1 2 B.1 C. 4 3 D.2

3.

设 n 阶矩阵 A 、 B 、 C 满足 ABC = E ,则 C ?1 = (
A. AB B. BA C . A ?1 B ?1 D. B ?1 A ?1

A )

4.

已知 2 阶矩阵 A = ? ?
?? a ? b ? ? ? ?? c ? d?

?a b? ? 的行列式 A = ?1 ,则 ( A*) ?1 = ( ? ?c d ? ? d ? b? ? ? ?? c a ?

A )

A. ? ? 5.

B. ? ?

C. ? ?

?? d ? c

b ? ? ? a? ?

D. ? ?

?a b? ? ? ?c d ?

向量组 α 1 , α 2 , ? , α s ( s ≥ 2) 的秩不为零的充分必要条件是(
A. α 1 , α 2 , ? , α s 中没有线性相关的部分组 B. α 1 , α 2 , ? , α s 中至少有一个非零向量 C. α 1 , α 2 , ? , α s 全是非零向量

B



D. α 1 , α 2 , ? , α s 全是零向量 6. 设 A 为 m × n 矩阵, n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 则 ( A. r ( A) = n 7. B. r ( A) = m C. r ( A) < n D. r ( A) < m D ) C )

已知 3 阶矩阵 A 的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( A. A B. E ? A C. ? E ? A D ) D. 2 E ? A

8.

下列矩阵中不是初等矩阵的为( ..
?1 0 0? ? 1 0 0? ? ? ? ? A. ? 0 1 0 ? B. ? 0 1 0 ? ?1 0 1? ? ? 1 0 1? ? ? ? ?

?1 0 0? ? ? C. ? 0 2 0 ? ?0 0 1? ? ?

?1 0 0 ? ? ? D. ?1 1 0 ? ?1 0 1 ? ? ?
B )

9.

4 元二次型 f ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) = 2 x1 x 2 + 2 x1 x 4 + 2 x 2 x3 + 2 x3 x 4 的秩为( A.1 B.2 C.3 D.4 D )

?0 0 1? ? ? 10. 设矩阵 A = ? 0 1 0 ? ,则二次型 x T Ax 的规范形为( ? 1 0 0? ? ?
2 2 A. z12 + z 2 + z 3 2 2 C. z12 ? z 2 ? z 3 2 2 B. ? z12 ? z 2 ? z 3 2 2 D. z12 + z 2 ? z 3

小题, 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 填空题( 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.已知行列式

a1 + b1 a 2 + b2

a1 ? b1 a = ?4 ,则 1 a 2 ? b2 a2

b1 = ___ 2 ___. b2

?? 2 1 ?1? ? ? 12.已知矩阵 A = (1,2,?1), B = (2,?1,1) ,且 C = A B ,则 C =___答: ? ? 4 2 ? 2 ? ___. 答 ? 2 ?1 1 ? ? ?
T 2

? 2 ? 1 0 0? ?1 ? ? ? ?1 ? 13.设矩阵 A = ? 2 2 0 ? ,则 ? A ? = ___答: ? ? 2 答 ?2 ? ? 3 3 3? ? 0 ? ? ?
14.已知矩阵方程 XA = B ,其中 A = ? ?

0 ? ? 1 0 ? ___. ? 1 2 / 3? ? 0
? 1? ? ___. 0? ?

?3 ? 1 0? ?1 ? 1? ?, B = ? ? ,则 X = ___答: ? 答 ? ? ?1 0 ? ? 2 1? ? ? ?1

15.已知向量组 α 1 = (1,2,3) T , α 2 = (2,2,2) T , α 3 = (3,2, a) T 线性相关,则数 a = ___1___. 16.设向量组 α 1 = (1,0,0) T , α 2 = (0,1,0) T ,且 β 1 = α 1 ? α 2 , β 2 = α 2 ,则向量组 β 1 , β 2 的秩为 ___2___.

2 1? ?1 ?1 ? ? 17.已知 3 元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ? 0 a + 1 0 1 ? ,若该方程组无解, ?0 0 a + 1 0? ? ?
则 a 的取值为___-1___. 18.已知 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1,2,3,则|E+A|=___24___. 19.已知向量 α = (3, k ,2) T 与 β = (1,1, k ) T 正交,则数 k = ___-1___.
2 2 20.已知 3 元二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = (1 ? a) x12 + x 2 + (a + 3) x3 正定,则数 a 的最大取值范围是

___答: ? 3 < a < 1 ___. 答

三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分) 计算题 本大题共 小题, x +1 ?1 1 x ?1
1 1 1 1

21.计算行列式 D =

?1 ?1

?1 ?1

x +1 ?1 1 x ?1

的值.

解答: 解答: D = x 4 ? 2 1? 22.设矩阵 A = ? ? ? 1 2 ? , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA = B + E ,求| B |. ? ? ? 解答: 解答: B = 1 / 2
? x1 ? x 2 = a1 ? 23.已知线性方程组 ? x 2 ? x3 = a 2 ?x ? x = a 1 3 ? 3

(1)讨论常数 a1 , a 2 , a 3 满足什么条件时,方程组有解. (2)当方程组有无穷多解时, 求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表

示). 解答: 解答: 方程组有解。 当 a1 + a2 + a3 = 0 时,方程组有解。通解为 (a1 + a2 , a2 )T + c(1,1,1)T ,这里 c 为任意数。

24.设向量组 α 1 = (1,4,1,0) T , α 2 = (2,1,?1,?3) T , α 3 = (1,0,?3,?1) T , α 4 = (0,2,?6,3) T , 求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. 解答: 是一个极大无关组, 解答:向量组的秩为 3, a1 , a2 , a3 是一个极大无关组, a4 = a1 ? 2a2 + 3a3 , 25.设矩阵 A = ? ?
? 1 2? ?5 0 ? T T ?, B = ? ? ? 2 ? 1? ,存在 α 1 = (1,2) , α 2 = (?1,1) ,使得 Aα 1 = 5α 1 , ? 4 3? ? ? ?

Aα 2 = ?α 2 ;存在 β 1 = (3,1) T , β 2 = (0,1) T , 使得 Bβ 1 = 5β 1 , Bβ 2 = ? β 2 .试求可逆矩阵 P ,使

得 P ?1 AP = B . ? 2 / 3 ? 1? ?1 解答: 解答: P = ? ? 1 / 3 1 ? ,则有 P AP = B 。 ? ? ? 26.已知二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 x3 ,求一正交变换 x = Py ,将此二次型化 为标准形.
? 1 ?? 2 ? ? 1 解答: 解答: P = ? 2 ? ? 0 ? ? 1 6 1 ? 6 2 6 ? 1 ? ? 3? 1 ? ,经正交变换 x = Py 后, 3? 1 ? ? ? 3?

2 2 此二次型化为标准形: 此二次型化为标准形: f ( y1 , y 2 , y 3 ) = ? y12 ? y 2 + 2 y 3

四、证明题(本题 6 分) 证明题 本题
27 .设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,且 β = k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 .证明:若 k1 ≠0 ,则向量组
β , α 2 , α 3 也线性无关.


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